平面图形的镶嵌（北师大版八年级上）
长武县昭仁中学 曹宏科
教案背景：
本节教案是北师大版八年级上课题学习中的一节课，通过教师备写教案，搜集网络资源让学生运用网络资源结合自己所学的知识来设计图案，在备写这节教案时充分考虑了学生的认知和思维能力，学生对网络的兴趣比较浓厚而备写的。引导了学生怎样将网络资源应用到学习中来。体现了我校提出“倡导绿色上网”的学习理念。
教学课题：
平面图形的镶嵌
教材分析：
本节是北师大版第四章四边形的性质探索这一章的课题学习，通过四边形的相关知识的学习，学生学习了四边形中平行四边形、矩形、菱形、正方形、四边形的内角和以后，结合七年级学习的三角形和现实生活中的镶嵌图案来进行探索学习的。在教学中对于学生探索的方案应该充分肯定，激发学生的创造力和想象力。教师可以适当分析学生设计的图案，各小组最后分别展示设计的图案。 教学方法：
合作探究，小组学习
教学目标
(一)教学知识点：
1、了解平面图形的镶嵌的含义。
2、掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计。
(二)能力训练要求：
1、经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力。
2、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
(三)情感态度与价值观要求：
平面图形的镶嵌是现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。
教学重点：三角形、四边形和正六边形可以镶嵌。
教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以镶嵌的条件。
教学过程：
一、巧设情景问题，引入课题
我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案。(展示各种地板图片)这些地板漂亮吗？这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。这节课我们来探索平面图形的镶嵌。
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二、讲授新课
平面图形的镶嵌在生活中是随处可见的，在平面上镶嵌需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。那我们先来探索多边形镶嵌的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：
(1)用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌？
(2)用同一种四边形可以镶嵌吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流。
(3)在用三角形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
(4)在用四边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？
(学生动手制作、教师强调：大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形。)
(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)
1、用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌。因为三角形的内角和为
180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面。
从用三角形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°。
2、用同一种四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角。四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°。
3、从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。
通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以镶嵌一个平面，那么其他的多边形能否镶嵌？下面大家来想一想，议一议：
(1)正六边形能否镶嵌？简述你的理由。
(2)分析如下图，讨论正五边形不能镶嵌。
图案来源：(百度搜索结果) http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6&in=20429&cl=2&lm=-1&st=&pn=19&rn=1&di=[1**********]0&ln=670&fr=ala0&fm=ala0&fmq=[1**********]65_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn19&-1&di[1**********]0&objURLhttp%3A%2F%2Ftech.casd.cn%2Fwzym%2F0212%2Fc20212%2Fc2sxw035.files%2Fimage024.jpg&fromURLhttp%3A%2F%2Ftech.casd.cn%2Fwzym%2F0212%2Fc20212%2Fc2sxw035.htm&W322&H140&T9626&S6&TPjpg
(3)还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
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(学生分析、讨论、归纳)
小结：
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌。一般三角形、四边形也可以镶嵌。虽然它们的内角未必都相等。
三、课堂练习：
1、如图，在一个正方形的内部按下图图（1）所示的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如下图图（2）所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？说说理由。
图片来源（百度搜索结果） http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6&in=13224&cl=2&lm=-1&st=&pn=455&rn=1&di=[1**********]&ln=669&fr=ala0&fm=ala0&fmq=[1**********]40_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn455&-1&di[1**********]&objURLhttp%3A%2F%2Fwww.tskpzx.com%3A4601%2F46kt%2Fjxfs%2Fuploadfiles_5764%2F200705%2F[**************]17.jpg&fromURLhttp%3A%2F%2F221.194.113.149%3A4601%2F46kt%2Fjxfs%2Fshowarticle.asp%3Farticleid%3D559%26page%3D7&W310&H231&T10769&S10&TPjpg
2、根据上面的思路，自己独立设计一个可以镶嵌的“基本单位”图形。（可参考网络资源： http://image.baidu.com/i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr=ala0&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6）
试一试：同时用边长相同的正八边形和正方形能否镶嵌？用硬纸板为材料进行实验。
四、课时小结
1、本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形镶嵌的条件。即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°。
2、在学习中可以利用网络资源来搜索（在百度中输入：平面图形的镶嵌即可搜索出所需资源）
五、课后作业
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自己设计一幅镶嵌图案。
六、课后探索：
探索用两种正多边形镶嵌平面的条件。
过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索。
(1)正三角形与正方形
(2)正三角形与正六边形
(3)正三角形和正十二边形
教学反思：
1、这节课学生的兴趣浓厚，主要是边长相同的正n边形的镶嵌，对于不规则图形的镶嵌学生在合作学习的过程中也提出过这样的问题，由于时间的原因和所学知识的限制，课堂中没有解决这一问题。这是本节课的不足之处。
2、本节课的学生操作很多，课堂学习时间不足，因此以后可让学生在课外继续探索和设计方案（包括不规则图形之间的镶嵌）。
3、这节课的教科书的内容有限，而网络资源很丰富，为学生的学习提供了一个很好的平台，这是本节课的成功之处。
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