指数函数（经典题、易错题）
指数函数（经典题、易错题）
一．选择题（共22小题）
1．若函数，且0≤x ≤1，则有（ ）
A ．
f （x ）≥1
B ．
C ．
D ．
2．函数y=（）x2+2x﹣1的值域是（ ）
A ．
（﹣∞，4）
B ．
（0，+∞）
C ．
（0，4]
D ．
[4，+∞）
3．函数的值域为（ ）
A ．
（0，1]
B ．
（0，+∞）
C ．
（1，+∞）
D ．
（﹣∞，+∞）
4．函数y=4x+2x+1+5，x ∈[1，2]的最大值为（
A ．
20
B ． ）
25
C ．
29
D ．
31
5．函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，则函数的值域为（ ）
A ．
[2，8]
B ．
[0，8]
C ．
[1，8]
D ．
[﹣1，8]
6．函数的值域是（ ）
A ．
（0，+∞）
B ．
（0，1）
C ．
（0，1]
D ．
[1，+∞）
7．（2011? 山东）若点（a ，9）在函数y=3x的图象上，则tan 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
1
D ．
8．设a 、b 、c 、d 都是大于零且不等于1的实数，y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中
的图象如图（1）所示，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）
A ．
a ＞b ＞c ＞d
B ．
a ＞b ＞d ＞c
C ．
a ＞d ＞c ＞b
D ．
a ＞c ＞b ＞d
9．如图，设a ，b ，c ，d ＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序（ ）
A ．
a ＜b ＜c ＜d
B ．
a ＜b ＜d ＜c
C ．
b ＜a ＜d ＜c
D ．
b ＜a ＜c ＜d
10．（2012? 四川）函数y=ax﹣a （a ＞0，a ≠1）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1﹣1的图象，则向量=（ ）
A ．
（﹣3，﹣4）
B ．
（3，4）
C ．
（﹣3，4）
D ．
（3，﹣4）
12．函数y=3x﹣1的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．函数f （x ）=4x+5×2x ﹣1+1的值域是（ ）
A ．
（0，1）
B ．
[1，+∞）
C ．
（1，+∞）
D ．
[0，1]
14．已知a=，b=，c=，则下列关系中正确的是（ ）
A ．
a ＜b ＜c
B ．
c ＜a ＜b
C ．
a ＜c ＜b
D ．
b ＜a ＜c
15．若a ＞0，a ≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点（ ）
A ．
（0，1）
B ．
（1，1）
C ．
（1，0）
D ．
（0，﹣1）
16．已知a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（
A ．
a2＞b2
B ．
（）a ＜（）b
C ．
lg （a ﹣b ）＞0
D ．
＞1
17．函数的单调增区间为（ ）
A ．
[﹣1，+∞）
B ．
（﹣∞，﹣1]
C ．
（﹣∞，+∞）
D ．
（﹣∞，0]
18．函数y=ax﹣1+1（0＜a ≠1）的图象必经过点（ ）
A ．
（0，1）
B ．
（1，1）
C ．
（1，2）
D ． ）
（0，2）
19．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=3﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．
a ＞b ＞c
B ．
b ＞a ＞c
C ．
c ＞a ＞b
D ．
b ＞c ＞a
20．（2005? 山东）下列大小关系正确的是（ ）
A ．
0.43＜30.4＜log40.3
B ．
0.43＜log40.3＜30.4
C ．
log40.3＜0.43＜30.4
D ．
log40.3＜30.4＜0.43
21．设，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．
a ＞b ＞c
B ．
b ＞a ＞c
C ．
b ＞c ＞a
D ．
c ＞b ＞a
22．比较a ，b ，c 的大小，其中a=0.22，b=20.2，c=log0.22（
A ． ）
b ＞c ＞a
B ．
c ＞a ＞b
C ．
a ＞b ＞c
D ．
b ＞a ＞c
二．填空题（共2小题）
23．函数的单调递增区间是 _________ ．
24．（2005? 上海）方程4x+2x﹣2=0的解是 _________
．
指数函数（经典题、易错题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．若函数，且0≤x ≤1，则有（ ）
A ．
f （x ）≥1
B ．
C ．
D ．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
结合指数函数数在[0，1]上的单调性可求．
解答：
解：∵0≤x ≤1且函数单调递减
∴
故选D
点评：
本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础试题．
2．函数y=（）x2+2x﹣1的值域是（ ）
A ．
（﹣∞，4）
B ．
（0，+∞）
C ．
（0，4]
D ．
[4，+∞）
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．
解答：
解：由题意令t=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≥﹣2
∴y=≤=4
∴0＜y ≤4
故选C
点评：
本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．
3．函数的值域为（ ）
A ．
（0，1]
B ．
（0，+∞）
C ．
（1，+∞）
D ．
（﹣∞，+∞）
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
画出f （x ）的图象，由f （x ）图象f （x ）可得的值域．
解答：
解：函数的图象如图：
由f （x ）的图象可得：f （x ）的值域为（0，+∞）．
故选B ．
点评：
本题考查指数函数的值域，用到了指数函数的图象．
4．函数y=4x+2x+1+5，x ∈[1，2]的最大值为（ ）
A ．
20
B ．
25
C ．
29
D ．
31
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的最值及其几何意义．1091931
专题：
计算题．
分析：
由x ∈[1，2]，知2≤2x ≤4，把y=4x+2x+1+5转化为y=（2x+1）2+4，当2x=4时，ymax=（4+1）2+4=29．
解答：
解：∵x ∈[1，2]，∴2≤2x ≤4，
∴y=4x+2x+1+5=（2x ）2+2×2x+5=（2x+1）2+4，
当2x=4时，ymax=（4+1）2+4=29．
故选C ．
点评：
本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．
5．函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，则函数的值域为（ ）
A ．
[2，8]
B ．
[0，8]
C ．
[1，8]
D ．
[﹣1，8]
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
设t=|x|可得出t ∈[0，2]，根据指数函数的单调性求出值域即可．
解答：
解：设t=|x|
∵函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，
∴t ∈[0，2]
∴y=3t﹣1
∴y=3t﹣1在t ∈[0，2]的值域为[0，8]
故选B ．
点评：
本题考查了指数函数的定义域和值域，求出函数y=3t﹣1的定义域是解题的关键，属于基础题．
6．函数的值域是（ ）
A ．
（0，+∞）
B ．
（0，1）
C ．
（0，1]
D ．
[1，+∞）
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．
解答：
解：由题意令t=x2≥0
∴y=≤=1
∴0＜y ≤1
故选C
点评：
本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．
7．（2011? 山东）若点（a ，9）在函数y=3x的图象上，则tan 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
1
D ．
考点：
指数函数的图像与性质．1091931
专题：
计算题．
分析：
先将点代入到解析式中，解出a 的值，再根据特殊三角函数值进行解答．
解答：
解：将（a ，9）代入到y=3x中，得3a=9，
解得a=2．
∴=．
故选D ．
点评：
对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现．在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解．
8．设a 、b 、c 、d 都是大于零且不等于1的实数，y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图（1）所示，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）
A ．
a ＞b ＞c ＞d
B ．
a ＞b ＞d ＞c
C ．
a ＞d ＞c ＞b
D ．
a ＞c ＞b ＞d
考点：
指数函数的图像与性质．1091931
专题：
综合题．
分析：
通过作直线x=1与图象交于四点，利用这几个点的位置关系，从而确定a ，b ，c ，d 的大小关系．
解答：
解：∵a1=a，∴作直线x=1与图象分别交于A ，B ，C ，D 点，
则它们纵坐标分别为：a ，b ，c ，d 由图
a ＞b ＞c ＞d
故选A ．
点评：
本题考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的思想方法，是个基础题．
9．如图，设a ，b ，c ，d ＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序（ ）
A ．
a ＜b ＜c ＜d
B ．
a ＜b ＜d ＜c
C ．
b ＜a ＜d ＜c
D ．
b ＜a ＜c ＜d
考点：
指数函数的图像与性质．1091931
专题：
数形结合．
分析：
要比较a 、b 、c 、d 的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a 、b 、c 、d ，观察图形即可得到结论．
解答：
解：作辅助直线x=1，当x=1时，
y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的函数值正好是底数a 、b 、c 、d
直线x=1与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a 、b 、c 、d
观察图形即可判定大小：b ＜a ＜d ＜c
故选：C ．
点评：
本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
10．（2012? 四川）函数y=ax﹣a （a ＞0，a ≠1）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：
指数函数的图像变换．1091931
专题：
计算题．
分析：
a ＞1时，函数y=ax﹣a 在R 上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A ，B ．当1＞a ＞0时，函数y=ax﹣a 在R 上是减函数，且图象过点（1，0），故排除D ，由此得出结论．
解答：
解：函数y=ax﹣a （a ＞0，a ≠1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移a 个单位得到的．
当a ＞1时，函数y=ax﹣a 在R 上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A ，B ． 当1＞a ＞0时，函数y=ax﹣a 在R 上是减函数，且图象过点（1，0），故排除D ， 故选C ．
点评：
本题主要考查指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1﹣1的图象，则向量=（ ）
A ．
（﹣3，﹣4）
B ．
（3，4）
C ．
（﹣3，4）
D ．
（3，﹣4）
考点：
指数函数的图像变换．1091931
专题：
计算题．
分析：
我们可以用待定系数法解答本题，先设出平移向量的坐标，根据函数图象的平移法则，我们可以求出平移后函数的解析式，根据已知我们可构造出一个关于h ，k 的二元一次方程组，解方程组即可求出平移向量的坐标．
解答：
解：设平移向量=（h ，k ）
则函数y=2x﹣2+3的图象平移后得到的函数解析式为：y=2x﹣h ﹣2+3+k
即x ﹣h ﹣2=x+1且3+k=﹣1
解得h=﹣3，k=﹣4
故向量=（﹣3，﹣4）
故选A
点评：
本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于h ，k 的二元一次方程组，是解答本题的关键．
12．函数y=3x﹣1的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：
指数函数的图像变换．1091931
专题：
作图题．
分析：
可利用排除法解此选择题，由特殊点（0，0）在函数图象上可排除A 、B ；由特殊性质函数的值域为（﹣1，+∞），排除C ，即可得正确选项
解答：
解：由函数y=3x﹣1的图象过（0，0）点，排除A 、B ，
由函数y=3x﹣1的值域为（﹣1，+∞），排除C
故选 D
点评：
本题考查了指数函数的图象变换，排除法解选择题
13．函数f （x ）=4x+5×2x ﹣1+1的值域是（ ）
A ．
（0，1）
B ．
[1，+∞）
C ．
（1，+∞）
D ．
[0，1]
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
令2x=t，t ＞0，则函数f （x ）=t2+t+1，利利用二次函数的性质求出值域．
解答：
解：令2x=t，t ＞0，则函数f （x ）=t2+t+1=﹣＞﹣=1，
且由二次函数的性质知，函数f （x ）=﹣无最大值，
故值域为（1，+∞）．
故选 C ．
点评：
本题考查指数函数的单调性和值域，二次函数的值域的求法，体现了换元的思想．
14．已知a=，b=，c=，则下列关系中正确的是（ ）
A ．
a ＜b ＜c
B ．
c ＜a ＜b
C ．
a ＜c ＜b
D ．
b ＜a ＜c
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
常规题型．
分析：
利用幂的运算性质将a 化简；由于三个数同底；研究指数函数的单调性，判断出三个数的大小．
解答：
解：∵
∵是同底数的幂
考查指数函数是减函数
故选D
点评：
本题考查指数函数的单调性取决于底数的范围、考查利用指数函数的单调性比较幂的大小．
15．若a ＞0，a ≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点（ ）
A ．
（0，1）
B ．
（1，1）
C ．
（1，0）
D ．
（0，﹣1）
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
令令x ﹣1=0求出x 的值，代入解析式求出定点的坐标．
解答：
解：令x ﹣1=0得，x=1，代入数y=ax﹣1=1，
∴函数y=ax﹣1的图象一定过点（1，1），
故选B ．
点评：
本题考查了指数函数的图象过定点（0，1）的应用，令指数为零求解即可，是基础题．
16．已知a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A ．
a2＞b2
B ．
（）a ＜（）b
C ．
lg （a ﹣b ）＞0
D ．
＞1
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
不妨设 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行检验可得 A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，从而得到结论．
解答：
解：令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行检验可得 A 、C 、D 都不正确，只有B 正确， 故选B ．
点评：
本题考查不等式的性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
17．函数的单调增区间为（ ）
A ．
[﹣1，+∞）
B ．
（﹣∞，﹣1]
C ．
（﹣∞，+∞）
D ．
（﹣∞，0]
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数．
解答：
解：外层函数是，内层函数是y=x2+2x
由题意可得外层函数是减函数
∵根据复合函数同增异减的性质
∴只要找到y=x2+2x的减区间即可
∵y=x2+2x的对称轴是x=﹣1
∴它的减区间为（﹣∞，﹣1）
∴函数的增区间为（﹣∞，﹣1）．
点评：
复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性 （1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数 （2）一个是减一个是增，那就是减函数 （3）两个都是减，那就是增函数．
18．函数y=ax﹣1+1（0＜a ≠1）的图象必经过点（ ）
A ．
（0，1）
B ．
（1，1）
C ．
（1，2）
D ．
（0，2）
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
由a0=1，可得当x=1时，函数y=ax﹣1+1=a0+1=2，从得到函数y=ax﹣1+1（0＜a ≠1）的图象必经过的定点坐标．
解答：
解：由a0=1，可得当x=1时，函数y=ax﹣1+1=a0+1=2，
故函数y=ax﹣1+1（0＜a ≠1）的图象必经过点（1，2），
故选C ．
点评：
本题主要考查指数函数的单调性及特殊点，属于基础题．
19．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=3﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．
a ＞b ＞c
B ．
b ＞a ＞c
C ．
c ＞a ＞b
D ．
b ＞c ＞a
考点：
指数函数单调性的应用．1091931
专题：
计算题．
分析：
先取中间量1，利用指数函数的图象性质，判断c 最小，排除C 、D ；再将a 、b 两数变形比较，即可得正确选项
解答：
解：利用指数函数的图象性质知a ＞1，b ＞1，而c ＜1，故c 最小，排除C 、D
∵a=＜31=3，b==53=125
∴b ＞a
故选B
点评：
本题主要考查了幂的大小的比较，利用指数函数图象和幂的运算性质比较大小的技巧
20．（2005? 山东）下列大小关系正确的是（ ）
A ．
0.43＜30.4＜log40.3
B ．
0.43＜log40.3＜30.4
C ．
log40.3＜0.43＜30.4
D ．
log40.3＜30.4＜0.43
考点：
指数函数单调性的应用．1091931
专题：
常规题型．
分析：
结合函数y=0.4x，y=3x，y=log4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小．
解答：
解：∵0＜0.43＜0.40=1，30.4＞30=1，log40.3＜log0.41=0
∴log40.3＜0.43＜30.4
故选C
点评：
本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．
21．设，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．
a ＞b ＞c
B ．
b ＞a ＞c
C ．
b ＞c ＞a
D ．
c ＞b ＞a
考点：
指数函数单调性的应用．1091931
专题：
证明题．
分析：
先利用指数函数y=为R 上的单调减函数，比较a 、b 的大小，排除A 、B ，再利用幂函数y=x3在R 上为增函数，比较b 、c 的大小，即可得正确选项
解答：
解：考察函数y=为R 上的单调减函数，∴，即a ＜b ，排除A 、B ；
∵b3=，c3==，∴b3＞c3，
考察幂函数y=x3在R 上为增函数，∴b ＞c ，排除D ；
故选 C
点评：
本题主要考查了指数函数、幂函数的图象和性质，利用函数的单调性比较大小的方法和技巧，属基础题
22．比较a ，b ，c 的大小，其中a=0.22，b=20.2，c=log0.22（ ）
A ．
b ＞c ＞a
B ．
c ＞a ＞b
C ．
a ＞b ＞c
D ．
b ＞a ＞c
考点：
指数函数单调性的应用；不等式比较大小．1091931
专题：
计算题．
分析：
将log0.22看作函数y=log0.2x当x=2时所对应的函数值小于零，将a=0.22看作函数y=0.2x当x=2时所对应的函数值小于1，将b=20.2看作函数y=2x当x=0.2时所对应的函数值大于1．
解答：
解：根据对数函数的性质可知c=log0.22＜0
根据指数函数的性质可知0＜0.22＜1，20.2＞1
∴b ＞a ＞c
故选D
点评：
本题主要考查在数的比较中，我们要注意函数思想的应用．
二．填空题（共2小题）
23．函数的单调递增区间是 （﹣1，+∞） ．
考点：
指数函数综合题．1091931
专题：
计算题．
分析：
令t=x2+2x﹣3，则y=3t，本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间，由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为（﹣1，+∞）．
解答：
解：函数=，令t=x2+2x﹣3，则y=3t．
故本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间．
由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为（﹣1，+∞），
故答案为 （﹣1，+∞）．
点评：
本题主要考查指数型复合函数的单调性的应用，二次函数的性质，属于中档题．
24．（2005? 上海）方程4x+2x﹣2=0的解是 0 ．
考点：
指数函数综合题．1091931
专题：
计算题；转化思想．
分析：
先换元，转化成一元二次方程求解，进而求出x 的值．
解答：
解：令t=2x，则t ＞0，
∴t2+t﹣2=0，解得t=1或t=﹣2（舍）
即2x=1；
即x=0；
故答案为0．
点评：
考查了指数运算，对于不是同底的指数问题，首先换成同一底数，体现了换元的思想，在换元中注意新变量的取值范围．属容易题．