椭圆的方程

课题：§8.01椭圆的方程

高考目标熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．

第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程:

x2y2

(1)221(ab0),焦点:F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2b2. abx2y2

(2)221(ab0),焦点:F1(0,-c),F2(0,c),其中c=a2b2. ba

xacos

3.椭圆的参数方程:,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).

ybsin

x2y2

4.椭圆的几何性质:以标准方程221(ab0)为例:

ab

①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(-

ca2

a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=,0

ac

径:|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.

课前预习

1．设一动点P到直线x3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为3，则动点P的轨

迹方程是 （ A ）

x2y2x2y2(x1)2y2x2y2

1 (B) 1 (C)1 (D)1 (A)32323223x2y2x2y2

1与曲线1(k9)之间具有的等量关系（ B ） 2．曲线

25925k9k

(A) 有相等的长、短轴 (B)有相等的焦距 (C)有相等的离心率 (D)有相同的准线

3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都在坐标轴上，且过点A(3,0)，则椭圆x2x2y22

y11 的方程是 9819



4．底面直径为12cm的圆柱被与底面成30的平面所截，截口是一个椭圆，这个椭圆的长

1

，短轴长12cm

2

例题分析

例1．设A,B是两个定点，且|AB|2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求动点P的轨迹方程．

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角的坐标系，

∵|PA||PB||PA||PM|4；又|AB|2， ∴P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，

2

2

2

x2y2

1． ∵2a4,2c2，∴bac3， 所求轨迹方程为43

x2y2

例2．已知椭圆221(ab0)，Pab

圆的两个焦点，（1）若PF1F2sin()e；

sinsin

（2）若F1PF22，求证：F1PF2 证明：（1）在PF1F2中，由正弦定理可知

|F1F2||PF1||PF2|

， 

sin()sinsin

|PF1||PF2|2c

则 ， 

sin()sinsin

2csin()2c2a

∴∴e 

sin()sinsin2asinsin （2）在PF1F2中由余弦定理可知

(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2|cos2(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2|

2|PF1||PF2|cos2(2a)22|PF1||PF2|(1cos2)

14a24c22b2

∴|PF1||PF2| 

21cos21cos21sin22

b2tan． ∴SPF1F2|PF1||PF2|sin2b

21cos2

小结：PF1F2的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此

|PF1||PF2|2a，|F1F2|2c，所以我们应以PF1F2为突破口，在该三角形中

用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。

x2

y21的两个焦点是F1(c,0),F2(c,0)(c0)，且椭圆上存在点例3． 设椭圆

m1

P，使得直线PF1与直线PF2垂直．（1）求实数m的取值范围；（2）设l是相应于

|QF2|

焦点F2的准线，直线PF2与l相交于点Q

，若2PF2的方程．

|PF2|

解：（1

）由已知m0,cP(x0,y0)，由PF1PF2得x0y0m，

2

2

m2121x022

,y0 ∵P在椭圆上，y01，∴x0mmm1

m210m1m由，得m1． 011m（2）设Q(x1,y

1)，则x1

，∵x0

|QF2|x1c2 又

|PF2|cx02

当x0

m2

当x0

m2m2．

从而x0y0,c

2

∴直线PF

2的方程：y2)(x．

小结：条件

|QF2|

2m的|PF2|

关系．

五、课后作业：

课题：§8.01椭圆的方程 日期：2009年 月 日星期 一、选择题

x2y2

1．P是椭圆1上的一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积

54

等于

（ ）

3 (B)4(2) (C)16(23) (D) 16 3

x2y2

2．已知椭圆221(ab0)的左焦点为 F，A(a,0),B(0,b)为椭圆的两个顶

ab

点，若F到AB

，则椭圆的离心率为

(A)

（ ）

x2y2

1．（05重庆卷) 若动点(x,y)在曲线

4b2

b2

4(0b4)

(A) 4；

(b4)2bb2

4； (C) 4

(A)

(B)

(C)

1

2

(D)

4 5

1(b>0)上变化，则x22y的最大值( )

b2

4(0b2)(B) 4；

(b2)2b

(D) 2b

x2y2

4．（05天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程221中的m

mn

和n，则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|

A．43 B． 72 C． 86 D． 90

5. （05山东卷）设直线l:2xy20关于原点对称的直线为l，若l与椭圆

y21x1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为的点P的个数

24

2

为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

7到两定点F1(3,0),F2(9,0)的距离和等于10的点的轨迹方程是

1x2y2

1的离心率e，则a的值等于 _________． 8．已知椭圆

2a89

三、解答题

x2y2

9 AB是椭圆221(ab0)中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O

ab

是椭圆的中心，求证：kABkOM为定值．

10. (05全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦



点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与a(3,1)共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；



（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB (,R)，证明22为定值

x2y2

11．已知椭圆1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左

43

准线的距离为它到两焦点F1,F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找

到，请说明理由．

1

,tanPNM2,PMN面积为1，建立适当的2

坐标系，求以M、N为焦点，经过点P的椭圆方程。

6．如图，PMN中，tanPMN

【备用题】

1(05浙江) ．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

2设A,B是两个定点，且|AB|2，动点M到A点的距离是4，线

段MB的垂直平分线l交MA于点P，求动点P的轨迹方程．

P

A1A2的长

x2

y21的两个焦点是F1(c,0),F2(c,0)(c0)3设椭圆

m1

圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直．（1）求实数m的取值范围；（2）设

|QF2|

l是相应于焦点F2的准线，直线PF2

与l相交于点Q，若2，求直线

|PF2|

PF2的方程．

x2y2

1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，4（05上海）点A、B分别是椭圆

3620

点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF。

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。

【参考资料】

§8.1椭圆的定义和标准方程（一）

【复习目标】

1． 掌握椭圆的定义，会用定义解题；

2． 掌握椭圆的标准方程及其简单的几何性质，熟练地进行基本量间a,b,c,e的互求，会根

据所给的方程画出图形；

3． 掌握求椭圆的标准方程的基本步骤——①定型（确定它是椭圆）；②定位（判断它的

中心在原点、焦点在哪条坐标轴上）；③定量（建立关于基本量的方程或方程组，解基本量a,b）。 【课前预习】 1.

1的长轴位于轴，短轴长2. 椭圆43

等于 ；焦点在 轴上，焦点坐标分别为 ，离心率e，准线方程是焦点到相应准线的距离（焦准距）等于 ；左顶点坐标是 ；下顶点坐标是 ，椭圆上的点P(x0,y0)的横坐标x0的范围是，纵坐标y0的范围是 ，x0y0的取值范围是

x2y2

1上的点P到左准线的距离是10，那么P到其右焦点的距离是 3. 椭圆

10036

（ ）

A.15 B.12 C.10 D.8

4. ⊿ABC中，已知B、C的坐标分别是（－3，0）、（3，0），且⊿ABC的周长等于

16，则顶点A的轨迹方程是。

5. 若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭

圆的离心率是 ；若椭圆两准线之间的距离不大于长轴长的3倍，则它的离心率e的取值范围是 。 【典型例题】

例1 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P（3，

2），求椭圆的方程。

x2y2

例2 从椭圆221(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点

ab



F1，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且ABOP(0)。（1）求该椭圆的离

心率；（2

）若该椭圆的准线方程是x

【巩固练习】

x2y2

1． 椭圆1上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原

259

点，则|ON|= .。

2． 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆长轴的长的最小

值是 . 【本课小结】

【课后作业】

1. 设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且

此焦点与长轴较近的端点的距离为，求此椭圆的方程。

2. 已知椭圆的中心在原点，焦点F1（0，－1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准

线，（1）求椭圆的方程；（2）设P点在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|=1，求tan∠F1PF2.

x2y2

3. 椭圆1的焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B，若

4520

⊿ABF2的面积是20，求直线的方程。

4. 求经过点（2，0）与圆(x+2)2+y2=36内切的圆的圆心M的轨迹方程。

§8.1椭圆的定义和标准方程（二）

【复习目标】

4． 灵活应用椭圆的两个定义解题；；

5． 能推导椭圆的焦半径公式，并会用此公式解决问题。 【课前预习】

x2y2

6. 在椭圆221(ab0)上的点M(x0,y0)的左焦半径|MF1，右焦

ab

半径|MF2。（焦半径公式的两个优点：①仅与一个坐标有关；②不带

根号）

x2y2

7. AB是过椭圆221(ab0)的左焦点F1的弦，则⊿ABF2的周长

ab

是 。

8. 设P是椭圆上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF2F1=75°，∠PF1F2=15°，则这个椭圆的

离心率是 .

x2y2

1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，9. 椭圆

312

那么|PF1|是|PF2|

（ ）

A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 10. 若椭圆

（ ）

的

x2y2

1的离心率5m

e

5

，则m的值为

A.3 B.3或【典型例题】

255

C. D.或

33

x2y2

例1 若椭圆221(ab0)上存在一点M，使F1MF2M=0，其中F1、F2为

ab

左、右焦点，求椭圆的离心率的取值范围。

x2y2

例2 已知P为椭圆221(ab0)上除左、右顶点外的任一点，∠F1PF2=θ，

ab

求⊿F1PF2的面积。

x2y2

例3 已知椭圆1内有一点P（1，－1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点

43

M，使|MP|+2|MF|取得最小值，求这个最小值及M的坐标。

【巩固练习】

x2y2

1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那3． 椭圆

312

么点

（ ） A．

M

的

纵

坐

标

是

332

B． C． D．

4422

x2y2

4． 设椭圆221(ab0)的左焦点F1，左准线为l1，若过F1且垂直于x轴的

ab

弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .

5． 点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值；最小值。 6． 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左顶点为A，上顶点为B，若左焦点F1到直线AB

的距离是【本课小结】

【课后作业】

|OB|，则椭圆的离心率e. 7

x2y2

5. 椭圆221(ab0)的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2P0

ab

时，求椭圆离心率的取值范围。

x2y2

1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一6. 设F1、F2为椭圆94

|PF1|

个直角三角形的三顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。

|PF2|

1

7. 在面积为1的⊿PMN中（如图），tanPMN，

2

tanPNM2，建立适当的坐标系，求出以点M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。