平行四边形辅助线总结
1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1 如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分
.
2.利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证
:ED+FG=AC.
3.利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.
图3
二、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形
.
例5 如图6,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.
图6
说明:菱形是一种特殊的平行四边形,和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多,常见的几种辅助线的方法有:(1)作菱形的高;(2)连结菱形的对角线.
与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种:(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.
例6 如图7,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求 PD的长.
分析:要利用已知条件,因为矩形ABCD,可过P分别作两组对边的平行线,构造直角三角形借助勾股定理解决问题.
图7
四、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
例7如图8,过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且
1
AE=AC,又CF//AE.求证:∠BCF=2∠AEB.