安徽电子信息职业技术学院学报No.620112011年第6期
第10卷(总第57期) JOURNALOF ANHUI VOCATIONAL COLLEGE OF ELECTRONICS ＆INFORMATION TECHNOLOGY General No.57Vol.10[文章编号]1671－802X(2011) 06－0029－04
数学建模方法的研究
周桂如
（福建船政交通职业学院公共教学部，福建
［摘
福州350007）
要］随着市场经济竞争的越来越激烈，管理和决策有赖于对市场需求的分析、预测，而现实中总是
存在有效数据缺乏和决策依据不足的现象，数学建模主要在于模型的构建和知识的自动发现。重点研究应用范围最广泛的包括回归分析和最小二乘法在内的几种数学建模方法。
［关键词］数学建模；回归分析；最小二乘法；回归函数
［中图分类号］G642.0
［文献标识码］A
一、数学建模方法概述
数学模型(MathematicalModel) 是为了某一种特别的目标，用数学的方法将实际中的一部分信息进行缩减、提炼，以便能够构造出的真实情况替代物。因此要经济预测就不能没有定量分析，而数学模型又是它定量分析的主要分析手段。
已有的建模方法较多，对建模方法，我们可以从不同角度来进行分类。比较流行的主要有两种分类，就是基于理论的方法和基于数据的方法。
第一类：基于理论的方法。它以建模对象为已知理论基础，其模型是按物理原理得来的。运用该方法时，建模对象的因果关系需要由一些公式来表达。第二类：基于数据的方法则刚好相反，它不需要有足够的先验信息和理论，而主要是从数据或实验中得到分析结果。
二、基于最小二乘法的回归分析法
（一）最小二乘法的基本思想
最小二乘法是一种数学优化技术，它的基本思想是通过最小化误差的平方和找到一组数据相匹配的最佳函数。在回归分析中常使用传统的最小二乘法估计回归系数，根据最小二乘法原理，所求出的残差平方和达到最小的即为回归方程或回归函数。
最小二乘法它不仅适用线性回归也适用于非线性回归。但要注意非线性模型的正规方程一般都比较复杂，有些情况下甚至没有解析解。另一方面，不管自变量x 与因变量y 间的真实关系是什么样的，使用线性模型的最小二乘法解总是存在的。因此正确选择模型很重要，而且用最小二乘法得出的结果一般应经过检验。其基本步骤为:
1. 首先建立数据的样本相关矩阵R 。
2. 建立正规方程，解得正规方程唯一解，即回归方程的回归系数。
3. 回归方程的显著性检验：求出自变量的偏回归平方和，作F 检验，说明回归方程的总体效果。
4. 回归系数的显著性检验：对回归系数逐一进说明变量对回归方程的作用。行t 检验，
5. 计算出最优回归方程。
6. 利用回归方程进行预测、平滑。（二）回归分析方法
连续型数值的预测可以使用统计技术中的回归分析进行建模。找到一个有相关联系输入变量和输出变量的最优模型。即如果x 是非随机变量或随机变量，y 是随机变量，那么对x 的每一确定值x i ，都有y 的一个确定分布与之相对应。回归值不仅仅代表一个条件期望值，将预测属性视为自变量，预测目标
＊［收稿日期］2011－08－11
［作者简介］周桂如（1980-），女，福建福州人，讲师，硕士，研究方向：数学教学。［基金项目］“高职数学建模课程建设与竞赛培训研究”（编号：KY1001）。
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视为因变量，则可使用回归技术进行有效的预测。
统计回归可分为一元回归和多元回归，也可分为线性回归和非线性回归。在最简单的情况下，回归采用的是线性回归这样的标准统计技术，线性回归的理论己很完善。但大多数现实中的事件和问题是不能简简单单的线性回归所能预测的。如商品的销售量、股票价格、产品合格率等，很难找到简单有效的方法来预测，只能采用非线性回归。因为要描述这些事件的变化所需的变量数量很大，且这些变量本身往往都是非线性的。
1. 一元线性回归
回归关系就是对每一个x 的取值x i ，都有y 的一个分布与之对应。使用线性回归可以确定从属变量和一个或多个独立变量之间的最佳线性关系。最简单的线性回归是仅有一个预测目标和一个预测属性的一元线性回归。
所谓一元线性回归，就是假定x 与y 之间的关系是线性关系，而且满足：y =α+βx ，其中α和β称为回归系数，此时目标就是给出系数α和β的估计值。
线性回归意味着条件平均数与x 之间的关系是线性函数，对于每个y 的观察值y i ，来说，由于条件均值由上式决定，观察值就应该是在条件均值的基础上再加上一个随机误差，则一元线性回归的模型为：
y i =α+βx i +εi
其中：εi ~N （0，δ2），因此y i =α+βx i +εi ，就是一元正态线性回归的统计模型。
（1）回归系数α和β的估计
在实际问题中只能得到一些有限的数据，无法算出准确的α和β的值，因此只能求出它们的估计值a 和b ，并得到y i 的估计值为：
一般
即：
.
（2）一元线性回归的相关性检验
.
会得到：
.
要使Q 最小，应该有
，整理并解此方程
其中
.
其中：L yy 为y 的偏差平方和；Q 为残差平方和；U 为回归平方和。自由度分别为:n -1，n -2，1。这样就可以把y 的偏差平方和分解成了回归平方和与残差平方和。
对回归系数的计算最主是根据样本数据，而样本只是总体的一部分，由于抽样数据的不同因此所获得的回归系数也就不相同，这时就需要通过样本对总体情况做出推断，也就是要对回归方程和回归系数进行显著性检验。以检验所得到的结果是不是反映出自变量x 和目标函数y 之间的真实关系。可以采取f 检验或者t 检验。但在实践中往往采用的是相关性检验，一般满足0.7＜｜r ｜≤1，即可认为y 与x 有相关关系，r 越接近1，说明相关关系则越明显，甚至可以认为是它们是完全相关。而且计算相关性公式为:
.
用最小二乘法来计回归系数α和β。根据最小二乘法原理，所求出的残差平方和：最小的直线为回归线，即令：
达到
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2. 一元非线性方程
一元非线性方程可以变换为直线方程的一般形式：y =α+βx ，那么就有可能利用最小二乘法，按拟合过程计算有关参数α和β，进而用曲线方程进行预测。在曲线拟合中使用最普遍的两种变换是自然对数(In)和倒数x
。
在进行数学建模的经验中，主要选取了最常用的八种可能变换为一元非线性的曲线分别进行研究，对这些曲线的目标函数的因变量y 与自变量x 进行倒数变换、自然对数变换、或者组合变换等方法，并通过进行一元线性回归而得到直线方程。当然除了这八种曲线外对于一元线性问题的解决，还可以选入其它形式的曲线问题，也可以采取以上的变换办法进行处理，以使非线性回归系统更加精确和完善。
3. 多元线性逐步回归
在实际问题中，因变量常受多个自变量的影响。在这种情况下只考虑一个因素而抛开其他因素，显然是不适当的。因此我们有必要研究多个自变量的回归分析。
假设在m 个自变量的情况下，线性回归模型就可以变为：
其中εi ~N
（0，δ）2
，即它们为独立同分布的正态随机变量。同样采用最小二乘法，求出各回归系数β0和βi (i =1，2，…，m ) 的值。并对回归方程和回归系数进行显著性检验。以检验得到的结果是否反映了x i 和y 之间的真实关系。
但是在多年的实践经验中发现，采用多元回归的一般算法(即求x T x 的逆阵及做相关性检验) 并不总是高效的，它一开始就要对一切变量建立回归方程，然后再剔除“不重要”的变量，这是一种“反向”的计算方法。
在实际上我们经常使用一种精度较高、效率较高的计算方法，即逐步回归。它的基本思路是由少到多，每步引入一个“重要”变量，而且“有进有出”，
而“重要”
变量与否的标志是偏回归平方和的大小。具体就是:
第一步，从一元回归开始。从一切候选变量中选出一个，使它组成的一元回归方程比由其它变量组成的一元回归具有更大的回归平方和;
第二步，有进有出，逐步循环回归。从一切候选变量中用F i 检验选出一个，使由它和已选入的变量组成的二元回归方程将比任何其它变量与己选入变量组成的二元回归方程具有更大的回归平方和。
如此继续下去，在每一步中都要做相关性检验；而且变量一旦选入，并非终身不变，而是随着其后一些变量的选入，有可能变得不重要，从而需要加以剔除，这就是所谓的“有进有出”。
第三步，回归过程达到稳定，使参数趋于平稳。直到一直没有新的变量可供选入，也没有老的变量剔除为至。我们就得到了多元线性回归的系数。4. 多元非线性回归
线性回归虽然比较简单，但应用非常广泛。这主要是因为如果我们缩小研究范围，则任意非线性关系最后都可以用线性关系来近似。但是范围缩得太小了使用上会很不方便，一是不能对变量间的关系有一个整体上的把握，二是在不同取值范围内还要换用不同的方程，因此在许多情况下考虑两变量间的非线性关系还是很有用的。
非线性回归可分为两种情况，即已知未知曲线(方程) 和曲线(方程) 类型类型。这两种情况需要用不同的方法来解决。一般来说，如果已知曲线类型，回归效果会比较有保证; 同时在多数情况下我们对所研究的对象都有一定了解，可以根据理论或经验给出可能的曲线类型，因此我们常用的还是己知曲线类型的回归。
（1）已知曲线类型的回归确定曲线类型的方法主要有:
(a)从专业知识判断。这些公式或者来源于某种理论推导，或者是一种经验公式。
(b)如果没有足够的专业知识判断变量间的关系是哪种类型，则可用散点图的方法来判断。确定曲线类型之后，回归的任务就变成确定曲线公式中的参数，此时常用的回归分析方法有:线性化方法、曲线拟合方法。
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（2）未知曲线类型的回归
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它能给人一个比较直观的印象，r 2越接近1越好；如果接近0甚至变成负值，则说明变换公式使用它变成负值说明用估计值不当，或x 与y 没有关系。赞预测，y 预测的效果还不如用y 这一般是由于使用了错误的变换公式的结果。
三、结束语
回归分析进行数学建模方法的研究，定制数学
.
建模的方法，所谓“定制”就是为解决某一个问题而量身定做。定制建模就是要面向回归过程，按数学解题的思路逐步求解定制建立某个特定的数学模型。显然按定制的思路进行数学建模，就是要依靠建模者的判断和分析，运用计算机的运算手段去实现数学建模任务。数学模型的建立，力求对模型的求解，因此对方法的选择显得比较重要。
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未知曲线类型的回归最常用的方法为:多项式回归。设自变量与因变量的关系为:
.
令化为:
，上式可
就样就将一元多项式转化成为多元线性方程问题，从而可用多元回归的方法求出各参数估计值。
这种方法的优点是不需对曲线类型有任何了解，如有必要，也可加上一些其它超越函数项，如对
数、指数、三角函数等。同样也要对回归方程和回归系数进行检验。以检验得到的结果是不是反映了x 和y 之间的真实关系。比较常用的有两个：
(a)剩余平方和：
剩余平方和必须用变换前的原始数据计算。显然剩余平方和越小回归效果越好。但由于随机误差的影响，它不可能无限减小，因此它比较适合用于比较几种不同变换方法的优劣。
(b)相关指数:
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