二次函数中构造相似三角形
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax 2+bx -2经过（2，1）和（6，-5）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，点P 是在直线x =4右侧的抛物线上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OCB 相似，求点P 的坐标．
11b 2. 如图，已知抛物线y =x 2﹣(b +1)x +(b 是实数且b ＞2) 与x 轴的正半轴分别交于点A 、444
B (点A 位于点B 的左侧) ，与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）求点B 的坐标，点C 的坐标 (用含b 的代数式表示) ；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
3：如图，经过原点的抛物线y = x 2+2mx (m >0)与x 轴的另一个交点为A . 过点P (1,m ) 作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B . 记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合). 连结CB , CP .
(1)当m =3时，求点A 的坐标及BC 的长；
(2)当m >1时，连结CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？
(3)过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由
.
4：如图，在平面直角坐标系中，直线y =-1x +2交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线3
1y =-x 2+bx +c 的图象过点E (－1，0) ，并与直线相交于A 、B 两点． 2
(1)求抛物线的解析式(关系式) ；
(2)过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．
5在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx +3x +5+m 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧) ，与y 轴交于点C (0，4) ，D 为OC 的中点．
(1)求m 的值；
(2)抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与∆ADE 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．
2
6：如图，已知二次函数L 1：y =x 2-4x +3与x 轴交于A ．B 两点(点A 在点B 左边) ，与y 轴交于点C ．
(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)研究二次函数L 2：y =kx 2-4kx +3k (k ≠0) ．
①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y =8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．
7如图，二次函数图象的顶点坐标为C (1，-2) ，直线y =kx +m 的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(3，0) ，B 点在y 轴上．点P 为线段AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），过点P 且垂直于x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点E ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点P 的横坐标为x , 求线段PE 的长(用含x 的代数式表示) ；
(3)点D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P 、E 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似，请求出P 点的坐标．