平面向量应用举例练习题
一、选择题
1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为( )
6
A．103N B．0N C．56N D.2N
2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10m/s B．26m/s C．6m/s
D．12m/s
3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，x1＋y1a·b＝－6，则的值为( )
x2＋y2
2
A.3
25B．－3 C.6
5D．－6
4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg2
B．lg5 C．1
D．2
→→＋PC→＝AB→，则△PBC与
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB△ABC的面积之比是( )
1
A.3
2
C.3
1B.2
3
D.4
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( )
A．(－2,4)
B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10)
7．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A．a⊥e
B．a⊥(a－e) C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
→|＝1，|OB→|＝3，OA→⊥OB→，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°→
8．已知|OA，设OC
→＋nOB→，则m＝( ) ＝mOA
n
1
A.3
B．3 C．3
3D.2
二、填空题
9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝→·→＝________.
23，则OAOB
三、解答题
11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.
求证：AD⊥CE.
12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →－tOC→)·→＝0，求t的值．
(2)设实数t满足(ABOC
14．一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
1
15．在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝3，求证：M
，N，C三点共线．
16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE
.
平面向量应用举例参考答案
1．[答案] C
[解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为2×53＝56(N)． 2. [答案] B
[解析] 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝v－2v·v1＋v1100－0＋4＝104＝226.
3．[答案] B
[解析] 因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以2
－3(x2＋y2)
x1＋y1222
有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－3x2，y1＝－3y2，所以＝＝－3，
x2＋y2x2＋y2从而选B.
4．[答案] D
[解析] W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.
5．[答案] C
→→＋PC→＝AB→，得P→→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点
[解析] 由PA＋PBA＋PBP是CA边上的三等分点，如图所示．故
S△PBCPC2
S△ABCAC3
6．[答案] C
[解析] 5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
7[答案] C[解析] 由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1， ∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.
即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)． 8．[答案] B
→·→＝m|OA→|2＋nOA→·→＝m，
[解析] ∵OCOAOB
→|·→|·
m|OC|OAcos30°m→→→→→
OC·OB＝mOA·OB＋n·|OB|2＝3n，∴3n＝1，∴n＝3.
→|·→|·|OC|OBcos60°二、填空题
5
9． [答案] λ>－3λ≠0
[解析] ∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
5
∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－3.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．
1＋λ＝mλ＝05∴，得，∴λ>－3λ≠0. 2＋λ＝2mm＝110． [答案] －2
[解析] ∵|AB|＝23，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°. →·→＝|OA→|·→|·∴OAOB|OBcos120°＝－2. 三、解答题
11．[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． a21
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D0，2，C(0,0)，E3，3.
a→12→＝－a，2，CE∴AD＝3，3.
1a2→·→＝－a∵ADCE＋
323＝0，∴AD⊥CE.
12． [证明] 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设→＝(2，－
2)
A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC
→＝λAC→， 设AF
→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA→＝(－1,2) 则BF
→·→＝m|OA→|2＋nOA→·→＝m， [解析] ∵OCOAOB
→|·→|·m|OC|OAcos30°m→→→→→OC·OB＝mOA·OB＋n·|OB|2＝3n，∴3n＝1，∴n＝3. →|·→|·|OC|OBcos60°
二、填空题
59． [答案] λ>－3λ≠0
[解析] ∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
5∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－3.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，
即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．
1＋λ＝mλ＝05∴，得，∴λ>－3λ≠0. 2＋λ＝2mm＝1
10． [答案] －2
[解析] ∵|AB|＝23，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.
→·→＝|OA→|·→|·∴OAOB|OBcos120°＝－2.
三、解答题
11．[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
a21设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D0，2，C(0,0)，E3，3.
a→12→＝－a，2，CE∴AD＝3，3.
1a2→·→＝－a∵ADCE＋323＝0，∴AD⊥CE.
12． [证明] 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设
→＝(2，－
2) A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC
→＝λAC→， 设AF
→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA→＝(－1,2) 则BF
→⊥DA→，∴BF→·→＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝2由题设BFDA3
→42→→→12→∴BF＝33，∴DF＝BF－BD＝3，3，又DC＝(1,0)，
→·→→·→DADB5DFDC5∴cos∠ADB＝＝5，cos∠FDC＝5 →|·→|→|·→||DA|DB|DF|DC
又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.
→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→13．[解析] (1)由题设知AB
→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42. ＝(4,4)．所以|AB
故所求的两条对角线长分别为2和210.
→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)． (2)由题设知OC
→－tOC→)·→＝0，得(3＋2t,5＋t)·由(ABOC(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t11＝－5→为水流速度，AD→为航行速度，以AC和AD为14． [解析] 如图所示，设AC
邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱
ACED中，
→|＝|AC→|＝2，|AD→|＝4，∠AED＝90°→||DE.∴|AE
1sin∠EAD＝2∴∠EAD＝30°，用时0.5h.
答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．
15． →|2－|DE→|2＝23， |AD
→＝BN→－BM→. [证明] MN
→＝1→，BN→＝1→＝1BA→＋BC→)，所以MN→＝1→＋1→－1→， 因为BM233332
1→1→→＝BC→－BM→＝BC→－1BA→， ＝3－6. 由于MC2
→→→→可知MC＝3MN，即MC∥MN.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线．
16
[分析] 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标
→→的坐标，证明其模相等即可． 来解决，为此只要写出PA和EF
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为
2222→|＝λ(λ>0)，则Fλ，0，Pλ，，Ea，λ， a，则A(0，a)．设|DP2222
22→22→＝－a，－λ，P所以EFA＝－，a－λ， 2222
→|2＝λ2－2aλ＋a2，|P→→|＝|P→因为|EFA|2＝λ22aλ＋a2，所以|EFA|，
即PA＝EF.
17．
[证明] ∵AB＝AC，且D是BC的中点，
→⊥BC→，∴AD→·→＝0.又DE→⊥AC→，∴DE→·→＝0. ∴ADBDAE
1→→→→∵BD＝DC，F是DE的中点，∴EF＝－2DE.
→·→＝(AE→＋EF→)·→＋DE→) ∴AFBE(BD
→·→＋AE→·→＋EF→·→＋EF→·→ ＝AEBDDEBDDE
→·→＋EF→·→＋EF→·→ ＝AEBDBDDE
→＋DE→)·→＋EF→·→＋EF→·→ ＝(ADBDBDDE
→·→＋DE→·→＋EF→·→＋EF→·→ ＝ADBDBDBDDE→·→－1→·→－1→·→ ＝DEDCDCDE221→→1→→＝2·DC－2·DE
1→→→1→→＝2·(DC－DE)＝2·EC＝0. →⊥BE→，∴AF⊥BE. ∴AF