2016/11/5第二节 二重积分的计算法第二节 二重积分的计算法
教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分
教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题
教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分讨论中,我们假定 假定积分区域
其中, 可用不等式 在上连续.；的计算问题.表示,
据二重积分的几何意义可知,
顶柱体
的体积.
的值等于以
为底,以曲面为顶的曲
在区间面是一个以区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
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一般地,过区间
上任一点
且平行于
面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有
(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作
的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是
的函数 )再对从到计算定积分.这个先对, 后对
的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).
(在上连续),公式(1)总是成立的.但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的
例如:计算 解:
类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数, 在上连续,在上连续,则
(2)
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显然,(2)式是先对,后对的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )在
点上任取一点
与,过
作平行于、轴的直线,该直线穿过区域就是将,与区域
的边界有两个交、上限为,这里的
,看作常数而对
积分时的下限和上限；又因是在区间. 上任意取的,所以再将
看作变量而对积分时,积分的下限为例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
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1/5第二节 二重积分的计算法类似地,
例2计算
, 其中
是由抛物线
及直线
所围成的区域.
例3求由曲面及所围成的立体的体积.
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
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1
消去变量得一垂直于域就是该柱面在
面的柱面
,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区
面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式 3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
而
由
,
的对称性有
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所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式
按照二重积分的定义有现研究这一和式极限在极坐标中的形式.
用以极点为中心的一族同心圆 ,将
剖分成个小闭区域.
的面积可如下计算以及从极点出发的一族射线
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域
于是上取点
,设该点直角坐标为
,据直角坐标与极坐标的关系有
即
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由于形式也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的
(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.
【情形一
】积分区域可表示成下述形式
其中函数, 在
上连续.
则
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).
故
【情形三】积分区域为下述形式
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显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域
故
的内部),可剖分成与,而则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区
域
用极坐标变量
表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.
例4将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围
Ë
再过
内任一点；作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样
. 就得到了极径的变化范围
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二重积分的计算法
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.
利用此题结果可求出著名概率积分 .
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而被积函数满足
,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
, ,于是不等式可改写成下述形式故当时有 , 即 .
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含
, 为实数 ).例6计算
解此积分区域为
区域的简图为
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第二节 二重积分的计算法
该区域在极坐标下的表示形式为小结 二重积分计算公式
直角坐标系下 X
—型
Y—型极坐标系下
作业 教材161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）
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