附录A 拉普拉斯变换及反变换
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3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F (s ) 是s 的有理真分式
B (s ) b m s m +b m -1s m -1+ +b 1s +b 0
（n >m ） F (s ) ==
A (s ) a n s n +a n -1s n -1+ +a 1s +a 0
式中系数a 0, a 1,..., a n -1, a n ，b 0, b 1, b m -1, b m 都是实常数；m , n 是正整数。按代数定理可将F (s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A (s ) =0无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
n
c i c n c c 1c 2
F (s ) =++ ++ +=∑i （F-1）
s -s 1s -s 2s -s i s -s n i =1s -s i
式中，s 1, s 2, , s n 是特征方程A(s)＝0的根。c i 为待定常数，称为F(s)在s i 处的留数，可按下式计算： 或
c i =lim (s -s i ) F (s ) （F-2）
s →s i
c i =
B (s )
（F-3）
A '(s ) s =s
i
式中，A '(s ) 为A (s ) 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n ⎡n c i ⎤-s t
f (t ) =L [F (s ) ]=L ⎢∑⎥＝∑c i e (F-4)
⎣i =1s -s i ⎦i =1
-1
-1
i
②
A (s ) =0有重根
设A (s ) =0有r 重根s 1，F(s)可写为
F (s )=
B (s )
r
(s -s 1) (s -s r +1) (s -s n )
=
c i c n c r c r -1c 1c r +1
++ +++ ++ +r r -1
(s -s 1) (s -s 1) (s -s 1) s -s r +1s -s i s -s n
式中，s 1为F(s)的r 重根，s r +1，…, s n 为F(s)的n-r 个单根；
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其中，c r +1，…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，c r ，c r -1，…, c 1则按下式计算：
c r =lim (s -s 1) r F (s )
s →s 1
c r -1=lim
s →s 1
d
[(s -s 1) r F (s )] ds
c r -j
1d (j )
=lim (j ) (s -s 1) r F (s ) (F-5) j ! s →s 1ds
1d (r -1)
c 1=lim (r -1) (s -s 1) r F (s )
(r -1)! s →s 1ds
原函数f (t ) 为 f (t ) =L -1[F (s ) ]
⎡c r c i c n ⎤c r -1c 1c r +1
=L -1⎢++ +++ ++ +⎥ r r -1
(s -s 1) s -s r +1s -s i s -s n ⎦(s -s 1) ⎣(s -s 1)
n
c r -1r -2⎡c r ⎤s t r -1
=⎢t +t + +c 2t +c 1⎥e +∑c i e s t （F-6）
(r -2)! i =r +1⎣(r -1)! ⎦
1
i
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