三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R＝ab/(2h)
三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD． 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°.
∵∠E＝∠C， ∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴
ABAD
AEAC
，
∴ AB·AC＝AE·AD
方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边
在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证： 2R＝AB/SinC 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°. ∴AE＝AB/SinE ∵∠C＝∠E，SinC ＝SinE
∴AE＝AB/SinC
∴2R＝AB/SinC
若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）
应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE⊥BC，垂足为E.
设CE＝x,
∵AC-CE＝AE＝AB-BE ，∴13-x＝15-(14-x)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12 R＝
ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
658
.
例2 已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R.
分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
例3 已知：如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题.
解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
3
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，
∠CAE＝∠DAB＝ 90°－ 60°＝30° CE＝1AC＝1，AE＝
2
3
，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x)
应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。
用方法二
例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A作AM⊥BC于M，则
AD2－MD2＝A M2 ＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2．
得R＝14， 则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．
例5 如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，
求①抛物线的顶点坐标；
②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；
③△ABC的外接圆的面积．
解 ①A(2，－9)；
②B(－1，0)； C(5， 0)．
③从A作AM⊥x轴交于M点， 则BM＝MC＝3．AM ＝9．
∴R＝5
△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π
三角形内切圆半径r的求法
1 ∵S△ABC=1/2(a+b+c)r
∴r=2S△ABC/(a+b+c) 2 Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2
三角形的内切圆和外接圆【知识要点】
1、三角形的外接圆
（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径R=
c2
(c为斜边长)．
2、三角形的内切圆
（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部． （2）若三角形的面积为S∆ABC，周长为a+b+c,则内切圆半径为:r=
2S∆ABCa+b+c
，当a,b为
直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径r=3、圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
aba+b+c
或r=
a+b-c
2
.
（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 4、两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
【典型例题】 一、填空和选择
B
（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 （2）如右图，I是∆ABC的内心，则下列式子正确的是（ ）
I C
A、∠BIC=180︒-2∠A B、∠BIC=2∠A C、∠BIC=90︒+∠A/2 D、∠BIC=90︒-∠A/2 （3）∆ABC外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则∆EFG的外心是∆ABC的 。 （4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．
（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为r,R，则r:R= ． （6）圆外切等腰梯形底角为60︒，腰长为10，则圆的半径长为 ． （7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 ．
（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．
（9）∆ABC的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=135︒，则∆ABC为 ．
例2．如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。 求证：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EA。
例3．如图，已知∆ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE，求证：∆ABC是等腰三角形
B
例4．已知∆ABC三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为
E
C
A
·
O
【经典练习】 一、选择题
1.下列命题中，正确的有（ ）
① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ） A．80° B．90° C．100° D．120°
3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A．
34π
B．
3
π
C．
32π
D．
2
π
4.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ） A．125° B．110° C．55° D．70°
图
1
D
图2
图3
5.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=60°，则∠ABC=（ ） A．30° B．60° C．120° D．90°
︵
6.如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AD上，则∠BPC为（ ） A．35° B．40° C．45° D．50°
7.如图
MNPQ中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（ ）
①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠AOC =（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
图4 图5
二、填空题
9．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。 10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。
11．直角三角形的一边为a，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是 。 12．如图6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= 。
图6
C B
图7 图8
13．如图7，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F为切点。若∠AOC=120°， 则∠OAC= ，∠B= ；若AB=2cm，则AC= , △ABC的外接圆半径= ，内切圆半径= 。
14．如图8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC= 度，∠ACD= 度。 15．如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE⊥CD，若∠ABC=130°，则∠DAE= 。
16．如图10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知∠A=60°， ∠ABC=100°，则∠P= 。
B
P
【大展身手】 一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．四边形都有一个外接圆 2．下列命题中的假命题是（ ）
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 3．下列图形一定有外接圆的是（ ） A．三角形
B．平行四边形
C．梯形
D．菱形
D．圆有且只有一个内接三角形
4．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点 D．过四点A、B、C、D的圆不存在
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ） A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
6．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A．3
2
B．3
3
C．3
D．1
2
7．三角形的外心具有的性质是（ ） A．到三边距离相等 C．外心在三角形外
B．到三个顶点距离相等 D．外心在三角形内
8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A．菱形
B．等腰梯形
C．矩形
D．正方形
10．如图所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（ ） A、1对 C、3对
B、2对 D、4对
A P
11．∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么一定有（ ）
A、∠DCE+∠A=180︒ B、∠DCE+∠B=180︒ C、∠DCE=∠A
`D、∠DCE=∠B
二、填空题：
1．△ABC的三边3，2，，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．
2．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为 ． 3．如图所示，在∆ABC的外接圆中，D为AB的中点， 若∠EAD=114︒，则∠BAD= ．
· O
例6 已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在AB的延长线上，且PC∥BD。 求证：
PBCD
CBDA