放射性气体的扩散预估模型

放射性气体扩散的预估模型

摘要

本文对从核电站泄漏的放射性气体扩散模式及其影响因素进行了阐述，利用气体湍流扩散微分方程, 建立了地面瞬时和连续泄漏源气体扩散的高斯烟羽模型, 并用于解决易燃易爆或有毒气体泄漏扩散危险区范围预测中的问题。

针对问题一：利用气体扩散规律建立高斯烟羽模型估测泄漏气体扩散危险区范围是一种快捷的方法。本文利用传质学、流体力学、大气扩散学的基本原理, 对泄漏气体的扩散行为进行模化和简化, 建立一种放射性气体扩散浓度分布的高斯模型, 并应用于解决放射性气体沿地面扩散危险区范围预测中的问题。根据放射性气体扩散安全区域距离计算结果，结合各地平面布置图及地形的情况，确定放射性气体扩散安全区域。在核电站发生泄漏时事故点周边人员应尽快撤到离电站r039.8438km以外。由

t0

r0

天得，在核电站发生泄漏之后，距核电站距离为r0地区的人员应该在1.54

s

t01.54天内撤离该地区。

针对问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。本文运用概率学[1]知识，通过图解和数学推导得出“连续点源放射性物质高斯扩散模型”。本文依次考虑了“重力沉积”、“雨水沉积”、“核衰变”等因素对浓度分布的影响。并通过构建“耗减因子”、“衰变因子”等方法将耗减和衰变的放射性物质“投影”到泄漏源浓度中，得到了经多次合理修正后的“优化高斯模型”，并据此分析了泄漏源周边地区放射性物质的浓度变化。

针对问题三，本文在问题二的基础上，结合考虑风速和放射性物质扩散速度在空间中的矢量运算。得出在对上风口分析时，要分类讨论风速和自然扩散速度之间的大小关系，当风速小于自然扩散速度时，放射性物质是无法到达上风口的。

针对问题四，本文参阅整理大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域---山东半岛作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算，预测出放射性核物质将经过6.5天到达我国东海岸，不会扩散到美国。查阅相关安全标准的规定后得知，目前日本福岛核泄漏事故等级为4级。

关键词：放射性气体泄漏 气体扩散 高斯烟羽模型 浓度分布 危险区域预测

一、问题重述

1.1 背景资料及条件

设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为p0的放射性气体以匀速排出，速度为

mkg/s，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为sm/s。

1.2 需要解决的问题

1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。

2）当风速为km/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。

3）当风速为km/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。 4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。

二、问题假设

1. 2. 3. 4. 5. 6.

假设放射性气体从电站连续释放出来，且在一定时间内不会衰减； 假设放射性气体扩散过程中无任何人员干预； 假设气体扩散速度恒定，不受天气影响；

忽略实际地形、地貌以及大气循环对放射性污染物在大气中输运扩散的影响； 假设放射性气体扩散过程中没有发生衰减；

假设放射性气体在扩散过程中不会被任何雨水、植物、山体、建筑物、海水及一切生物体吸收，气体一直以恒定的扩散速度向外扩散；

7. 放射性气体在扩散过程中形成均匀的气溶胶，而不是按照离扩散中心浓度高、边缘浓度低的方式进行扩散； 8. 大气环境条件稳定，温度和大气压力都不变，即T300K,P1.010Pa； 9. 假设低层大气的流动为湍流运动，泄漏气体在流动大气中的扩散遵守质量守恒定律，其扩散行为可以用湍流扩散微分方程描述；

10. 湍流不是规则运动，风速和泄漏气体的浓度都是时间和空间的随机变量，取直角坐标系的x轴方向为平均风速方向，z轴为铅直向上；

5

三、符号说明

符号 符号说明

3

Cx,y,z,t 放射性气体的浓度，毫西弗/m；

p0 放射性气体从核电站排出的初始浓度，毫西弗/每小时； m 放射性气体从核电站匀速排出的速度，m kg/s；

放射性气体匀速在大气中向四周扩散的速度，m/s； s 在无风的情况下，

2

D 气体分子的扩散系数，m/s；

即rr 任一地区x,y,z到事故点即核电站的距离，

，m；

h 核电站放射性气体泄漏口的高度，m；

h0 放射性气体释放出后的烟气抬升高度，即附加高度，m；

x、y、z 放射性气体在x,y,z轴方向上的标准差，m；

u 核电站事故点处的平均风速，m/s；

ha 气象观测站测量实际风速的参考高度，m；

u0 气象观测站测量的参考高度处的实际风速，m/s；

t 气体扩散时间，s；

Vx,Vy,Vz 风速沿三个坐标轴的分量，m/s；

k 风速，m/s；

f1 放射性衰变所引起的损耗因子；

 衰变常数，s1；

T1 放射性元素的半衰期，s；

2

f2 湿沉降导致的烟羽损耗因子；

d 冲洗系数s

1

；

I 雨强，mm/h;

四、模型的建立

4.1问题分析

该问题是对核泄漏所产生的放射性物质随气体扩散时的浓度进行预测，放射性气体的浓度与到核电站的距离、扩散时间、风力等因素有关。建立模型分析放射性粒子的沉降、放射性气体的空间分布和时间分布。

气载物：气体是放射性物质蒸发、升华形成的单分子态。“气溶胶”一般指固态或液态多分子凝聚物颗粒的气体中的弥散系。我们统称这两种形态为气载物。

放射性物质从安全壳释出后，呈气体和气溶胶形态。这些气载物进入大气后，在被风朝下风向输送的同时，将受大气湍流影响，于水平方向和垂直方向迅速地稀释扩散。因此为了估算放射性释出物对居民的辐射后果，首先必须研究气载物在大气中的稀释扩散规律，以计算居民所在处地面空气中的放射性浓度和放射性物质在地而的沉积浓度。 4.1.1泄漏源

根据泄漏源形式，泄漏源分为瞬时源和连续源。在核电站被自然灾害损坏后设备爆炸瞬间，放射性气体能形成一定半径和高度的气云团的泄漏源为瞬时源，此时，泄漏气体扩散最快、浓度最高。由于设备的损坏和在短时期内无人员干预，造成气体连续释放的泄漏源则为连续源。瞬时源泄漏具有短时大量泄放的特点, 连续源则有长时间较小泄漏量的稳定性泄放的特点。我们在本模型中，忽略爆炸瞬间的大量泄漏，假设核电站是一个连续泄漏源，即放射性气体以匀速从事故点排出。

4.1.2放射性气体的扩散模型

根据放射性气体泄漏的密度和泄漏源类型, 气体的扩散模式可分为烟团扩散和烟羽扩散两种模式。泄漏量较大且密度比空气的密度大较多的气体扩散呈现烟团式扩散, 瞬时源和部分连续源泄漏易形成烟团扩散, 其特点是泄漏的气云团在较长时间内不易被空气稀释, 例如在核电站爆炸瞬间所形成的大量泄漏气体扩散，这些气体团所形成的

蘑菇云不易扩散。若泄漏气体密度与空气接近或经很短时间的空气稀释后密度与空气接近时, 其泄漏气体的扩散属于烟羽式扩散, 大部分较小流量的连续源易形成烟羽扩散, 例如爆炸之后在无人员干预的情况下稳定的泄漏气体扩散。

为方便解决问题，我们假设核电站释放放射性气体的速度较小，且为连续释放，所以该模型中的气体扩散是烟羽扩散模式。 4.1.3影响气载物在大气中稀释扩散的因素

泄漏气体在大气中的扩散主要受气象条件、地表情况、泄漏源位置、泄漏气体的密度等因素的影响。 (1)气象条件因素

风向、风速、大气稳定度、气温、湿度等因素对泄漏气体的扩散具有不同的重要影响。为简化问题，我们假设气体扩散时大气的条件稳定，气温、湿度等因素都保持不变。

风向决定泄漏气云扩散的主要方向, 大部分泄漏气体总是分布在下风向。风速影响泄漏气云的扩散速度和被空气稀释的速度, 因为风速越大, 大气的湍流越强, 空气的稀释作用就越强, 风的输送作用也越强。一般情况下当风速为1～5 m/s时, 有利于泄漏气云的扩散, 危险区域较大；若风速再大, 则泄漏气体在地面的浓度变稀。若无风天, 则泄漏气体以泄漏源为中心向四周扩散。 (2)地表情况

地面的地形地物对泄漏气云的扩散有较大的影响, 它们既会改变泄漏气云扩散速度, 又会改变扩散方向。低矮的建筑物群、居民密集处或绿化地带泄漏气云不易扩散；高层建筑物则有阻挡反射作用, 气云多会从风速较大的两侧迅速通过。假设气体扩散过程中，放射性气体不会被任何建筑物、高山、生物体等吸收，并且不考虑地表的影响。 （3）泄漏源位置

地面泄漏源的高度和泄漏喷射的方向都会影响到扩散至地面的气体浓度。例如当泄漏源位置较高时, 泄漏气体扩散至地面的垂直距离较大, 在相同的泄漏源强度和气象条件下, 扩散至地面同等距离处的气体浓度会降低。若气体向上喷射泄漏, 泄漏气体具有向上的初始动量, 其作用效果如同增高泄漏源的位置。 （4）泄漏气体的密度

气体的扩散性受其自身密度的影响。泄漏气体相对于空气密度的大或小, 分别表现出在扩散中以重力作用为主, 还是以浮力作用为主。对于泄漏的高温气体, 其浮力作用大小受温度的影响, 当其被冷却至大气温度后, 它的上升作用便会丧失。

一般地说, 当核电站放射性蒸汽泄漏气体与空气的混合物密度相对于空气密度的比值为0.9～1.1时, 易于与周围空气快速混合。我们假设泄漏源是连续小流量泄漏，泄漏气体的密度较低，所以泄漏气体易于与周围空气快速混合均匀。 （5）烟气抬升

在核反应堆事故工况下，在放射性物质释放的同时往往伴随着能量的释放，因此释放出的气体温度要比周围大气温度高（一般泄漏气体刚释放出来的温度超过2000度）。这时释放气体会浮升，这相当于在释放源真实高度上附加一个高度h0，一般称之为烟气抬升。另一方面，放射性气体颗粒由于各种原因也会上浮。

通过以上分析，影响气载物在大气中稀释扩散的因素由很多，为方便建立模型并有效的解决问题，我们只考虑主要因素，忽略次要因素，即只考虑风、泄漏源位置和附加高度的影响作用。

4.2建立气载物在大气中的扩散方程

研究气体的扩散问题所满足的微分方程。在考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定

律和质量守恒定律。



气体扩散定律：扩散物质在单位时间内沿法线方向n流过单位面积的质量与物质浓



度Cx,y,z,t沿法线方向n的方向导数C成正比。

n

由扩散定律得，扩散物质在时间段dt内沿法线方向n流过面积为dS的曲面的质量

dm为： dmDx,y,zCdSdt

n

其中Dx,y,z为扩散系数，出现负号是因为物质总是由浓度高的一侧向浓度低



的一侧渗透。

任取一封闭曲面T，它所围区域记为，则从时刻t1到时刻t2进入此闭曲面的物质质量为：

 t2CmDx,y,zdSdtt1

n

x,y,z均为区域内的连续函数。设为空间

有界闭区域，其边界曲面T由光滑或有限分片光滑曲面组成，设函数Cx,y,z,t和Dx,y,z在上连续且具有二阶连续偏导数，规定曲面T的法向量方向朝外，则由

根据假设，Cx,y,z,t和D高斯公式得





C Dx,y,zdsDDCdVD

xxyyzzn

t2

mDDDCdVdtt1

xxyyzz

同时，物质渗透到区域内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔由C

t1,t2内，浓度

x,y,z,t1变化为Cx,y,z,t2，增加的物质质量为：

t2 t2CC

Cx,y,z,t2Cx,y,z,t1dVt1tdtdVt1tdVdt由质量守恒定律即有：

t2t2 CmDdVdtDDCdVdtt1t1

xxyyzzt

于是得到了气体扩散方程： C

DCDCDCxxyyzzt

222

即CDCCCDCDC+DC

2

ty2z2xxyyzzx物质的分子扩散系数表示它的扩散能力，是物质的物理性质之一。根据斐克

定律，扩散系数是沿扩散方向，在单位时间每单位浓度降的条件下，垂直通过单位面积所扩散某物质的质量或摩尔数，即

气体A,B在正常沸点时液态克摩尔容积，cm3/gmol；D：物质的分子扩散系数，

m2/s。在T300K,P1.0105PaD2.55m2/s。

的条件下，查阅相关资料后得

可以看出，质量扩散系数D与气体的浓度无直接关系，扩散系数的大小主要取决于扩散物质和扩散介质的种类及其温度和压力，它随气体温度的升高及总压强的下降而加大。假设放射性气体在扩散过程中，大气的压强和温度一直不变，故扩散系数D

x,y,z为常数，则扩散方程为：

2C2C2CC

D22txyz2

（1）



2

这是一个三维的拉普拉斯方程，设r

x2y2z2，

22222

CCrxCCxCCrx则 ,2223xrxrrxrrrr2222222222

则 CyCCry,CzCCrz

y2r2r2rr3z2r2r2rr3

2C2C2C2C2C

2222

xyzrrr

2CC2C（2）

D

t

2

r



rr

4.3放射性气体扩散的高斯烟羽模型

放射性气体相对密度小于或接近1的连续泄漏采用高斯烟羽模型。烟羽模型以事故点的地面处为坐标原点，风向为x轴，z轴铅直向上，得出空间任一点(x,y,z)处在任一时刻t的污染物质量浓度值C。在一定时间段内、一定距离内，可以假设风速和风向恒定。泄漏气体扩散时的浓度是时间和空间的随机变量，泄漏气体沿地面扩散形成的浓度分布应满足气体扩散方程（1），同时又应满足特定泄漏源和气象条件所限定的初始状态和边界条件。泄漏气体在空间是向任意方向扩散的，其符合正态分布。由此，我们建立了预测放射性气体扩散浓度的高斯烟羽扩散模型，该模型以平流—扩散微分方程为依据，在风速及气体扩散系数为定值条件下，平流—扩散微分方程的解为标准正态分布。核电站泄漏时，在泄漏开始的一段较长时间内放射性气体泄漏的流量m(kg/s)可以视为常数；泄漏气体扩散的流场达到稳定时，扩散空间内某一点的浓度应是恒定的。

考虑泄漏源为小流量的连续源，忽略地面、大气等因素对扩散的影响，确定求解（1）的限定条件，对式（1）的求解得到的泄漏气体扩散浓度分布式，从而建立相应的高斯烟羽扩散模型。

a.高斯模型的坐标系为：

原点——核电站放射性气体的排放点（点源或地面源）或高架泄漏点在地面上的投影；

X轴——平均风向，当无风时假设x轴为任意方向； Y轴——在水平方向上且正向在X轴的左侧；

Z轴——垂直于水平面，向上为正向，即为右手坐标系。在这种坐标系中，泄漏源中心的坐标为

0,0,h。

b.高斯模型的四点假设：

（1） 放射性气体浓度在空间中按高斯分布（正态分布）； （2） 在整个空间中风速是均匀的、稳定的、风速大于1m/s； （3） 源强是连续均匀的；

（4） 在扩散过程中放射性气体的质量是守恒的。

5.3.1无限空间连续点源的高斯扩散模型

放射性气体浓度是一个连续的随机变量，由正态分布的假设（1），写出下风向任意一点(x,y,z)处放射性气体的浓度分布函数为：

22

Cx,y,zAxeayebz（3）

由概率统计理论可以写出连续随机变量方差的表达式为：

2y





y2CdyCdy







2

,z





z2Cdz（4） Cdz





由假设（4），根据质量守恒定律可以得到：

m

dz



uCdy（5）

上述四个方程组成一个方程组，源强m、平均风速u、标准差y和z为已知量，浓度C、待定系数Ax、待定系数a和b为未知量，由此分析可知，该方程组闭合，有唯一一组解。将式（3）依次代入式（4）中，积分得到：

1bz2ay2

Axeyde0002a

222222111

AxebzyeayAxebzeaydyAxebzeaydy

0002a2a2a

y2CdyAxebz

2



y2eaydy

2

2

eaydy0

2





e

ay2

dy

2



e

au2

du

e

D

ay2u2



d2drreardr



2

00



2

2a





dear

2



a

ar



0a







eaydy

2



2



0

y2Cdy

eaydy

2





CdyAxebz



2xebz

bz

xe

2

2

y





yCdyCdy

2







1 同理可得： 2

z

2a

2zCdz1 0



Cdz2b



故有，a

1

2y



,b2

2

2z

1（6）

将式（3）和式（6）代入式（5）中，积分得到：

m



dz

uCdyuAx



e

bz2

dz



e

ay2

dy

uAx

2uAxyz

所以， Ax

m（7） 2uyz

再将式（6）、式（7）代入式（3）中，便得到了无界空间连续点源的高斯烟羽模型：

y2mz2（8）

Cx,y,zexp222uyz2z2y其中，C

x,y,z,t——放射性气体的浓度，毫西弗/m

3

m——源强，即核电站泄漏口处连续向外释放放射性气体的速度，mg/s； u——平均风速，m/s；

y、z——放射性气体在y,z轴方向上的标准差，m。

该无限空间连续点源的高斯扩散模型是建立在泄漏点源在地面的情形下的，但是一般情况下显然不是这样的，因为核电站在发生泄漏时的泄漏口一般不在地面处，一般在高空中，这是因为核电站的安全防护壳的底部最坚硬，而顶部最脆弱，所以在无人为故意破坏时，发生泄漏的部位都在高架上。高架上的连续点源对放射性气体的扩散会产生一定的影响，所以，我们必须对现有的模型进行修改。 4.3.2高架连续点源高斯烟羽扩散模型

高架连续点源的扩散问题，必须考虑到地面对扩散的影响。根据前述假设（4）和地面对气体无吸收作用的假设，可以认为地面像镜面那样，对放射性气体起着全反射的作用。按照全反射原理，可以用“像源法”来处理这个问题。如图1所示，我们可以把放射性气体污染物浓度看出两部分作用之和。一部分是不存在地面P所具有的放射性气体浓度，另一部分是由于地面反射作用所增加的放射性气体的浓度。这就相当于不存在地面时，由位置

（无0,0,h的实源(无限空间中的连续点源)和位置在0,0,h的像源

限空间中的连续点源）在P点所造成的放射性气体的浓度之和。

（1）高架连续点源高斯模型中实源的作用

P点在以实源泄漏点（有效源高处）为原点的坐标系（无限空间）中的铅直坐标（距烟羽流中心线的铅直距离）为zh，当不考虑地面的吸收作用，它在P点所造成的放射性气体的浓度为：

2

zhmy2

C1x,y,zexp22

2uyz22yz





其中，h为放射性气体泄漏口得高度，m。

（2）高架连续点源高斯模型中像源的作用

P点在以像源泄漏点（负的有效源高处）为原点的坐标系（无限空间）中的铅直坐标（距烟羽流中心线的铅直距离）为zh，当不考虑地面的吸收作用，它在P点所造成的放射性气体的浓度为：

2

zh my2

C2x,y,z

2uyz

exp2

2y

2

2z



（3）高架连续点源高斯烟羽扩散模型

如图1所示，按照全反射原理，放射性气体污染物浓度可以看成两部分作用之和——P点的实际放射性气体的浓度应为实源和像源泄漏点作用之和，即CC1C2，则高架连续点源的高斯扩散模型为

（9） zh2zh2my2

Cx,y,z

2uyz

exp(

2

2y

) 



2z2







2z2





该式即为高架连续点源正态分布假设下的扩散模型。由这一模型可以求出下风向任

一点的放射性气体的浓度，也可以估测放射性污染扩散情况。 4.3.3地面浓度扩散模型

我们常常关心的是地面浓度而不是任一点的浓度，因为地面的浓度可以给人们对放射性污染的控制工作作出一些指导工作。地面处的浓度即为在z=0的特殊情况下得到，即地面处放射性气体的扩散模型：

my2h2（10）

Cx,y,0exp()22

uyz2y2z4.3.4地面轴线放射性气体浓度扩散模型

地面浓度是以X轴为对称轴成轴对称的，X轴上具有最大值，向两侧（Y轴方向）逐渐减小，即在下风方向的浓度最大，在放射性气体所造成的污染中下风方向的污染状况也是最严重的。因此，地面轴线上的浓度是我们所关系的，地面轴线浓度模型可以在y=0的特殊情况下得到，即地面轴线上放射性气体浓度扩散模型为：

h2（11）

Cx,0,0exp()2

uyz2z

m

4.4模型的修改和简化

考虑到烟气的抬升作用，先研究无风的情况，在无风时假设x轴为任意方向，三个坐标轴方向上的浓度分布均服从正态分布，得出放射性气体浓度的正态分布方程：

22

zhzhhmxy0（12） Cx,y,z,texp()exp()exp[]32222

2222xyzz22xyz

2

2

其中，t——气体扩散时间，s；

m——污染释放率，kg/s；

x,y,z——气体扩散系数沿三个坐标轴方向上的分量；

h0——烟气抬升的附加高度，m。

铅直方向有重力与浮力的作用，假设放射性气体在水平方向上向各个方向均匀扩散，即气体扩散系数沿x轴、y轴方向上的分量相同，则x

再考虑有风（风速u1.5m

y。

/s）时，因泄漏气云团随风移动，并在空气的稀

释作用下不断膨胀，t时刻时气云团的中心点坐标为Vxt,Vyt,Vzt，则式(15)经坐

标变换，即可得到有风时（u0时）泄漏气体在大气中扩散的浓度分布：

Cx,y,z,t

m

2

xVxtyVyt

2

2

3

2

e

2x2y

xyz

hzVzthh0zVzt2222ZZee

22

（13） 

其中，Vx,Vy,Vz——风速沿三个坐标轴的分量，m/s。

风速越大，气体扩散越快，放射性气体的浓度越低，因此要将模型进行修改为C，其中u为风速沿着各个方向上的平均风速大小；放射性气体泄漏出来后，向空气中扩散，在水平方向上向各个方向上扩散系数相同，即x轴方向上重力、浮力等因素的影响，则Vy

再考虑初始条件，当Vy

u

y。考虑到

建立高斯模型的坐标系，x轴是平均风速的方向，y轴和z轴上没有风向，且忽略z

Vz0

y2

2y

Vz0时，方程为：

2

xut

Cx,y,z,t

m

2

3

2

e

2y

2y

uz

zhh0zh2Z

e2Ze

22



（14） 

又浓度为p0的放射性气体以匀速从核电站排出，即Vx0所以有：

P0

m

0且C0,0,0,tP0，

（15）



23

3

2

hh0h2e2e2

2

当泄漏气体沿地表扩散时，地面对扩散的气体有屏挡作用，若认为地面对泄漏气体

既不吸收也不吸附，则被地面屏挡的扩散气体能够全部反射到地面上的空气中，假设空气中的放射性气体能迅速的混合均匀，即空气中的放射性气体的浓度分布只与点的坐标

和时间有关。核电站放射性气体泄漏后会在泄漏源附近形成气团，气团在大气中的扩散计算通常采用高斯模型。高斯模型的基本形式是在如下的假设条件下推导出来的：假定燃气在扩散的过程中没有沉降、化合、分解等化学的或物理的反应及地面吸收的发生；燃气连续均匀地排放；扩散空间的风速、大气稳定度都均匀、稳定；在水平和垂直方向上都服从正态分布。

由于风速对放射性气体扩散的浓度的影响较大，风速的不同导致x轴、y轴方向上的放射性气体浓度分布模型的不同，所以必须对模型进行修改。 4.4.1模型的修改

以核电站泄漏点在地面上的投影处为原点，风向方向为x轴建立空间直角坐标系，空间中的某一点(x,y,z)处的质量浓度为模型函数，则Vxk,VyVz0。风速大小的不同对模型的影响也不同，具体有以下几种情况：

（1）平均风速k>1.5m/s时：气体扩散速度相对于风速较小，放射性气体沿着x轴方向上的扩散作用相对于随风漂移不是很明显，y轴和z轴上的浓度服从正态分布，此时经过修正后的浓度模型为：

xkt2y2zhh02zh2m2x2y2Z

e2Ze（16） Cx,y,z,te

2kyz



（2）平均风速k=0.5~1.5m/s时：气体在风的作用下，沿着x轴方向上随风漂移，在其他方向上扩散，三个坐标轴上的浓度服从正态分布，此时经过修正后的浓度模型为：

Cx,y,z,t

m



xkt2

2x

2xyz

32

e

y2

2y

zhh0zh2Z

e2Ze

22

（17） 

（3）平均风速0

xkt2

2x

Cx,y,z,t

m

2

32

2Z

x

z

2



y

2



2x

h

2

e

y22y

zhh0zhe2Zte2Zt

22



（18） 

以上模型都是在放射性气体已经扩散到研究区域内的情况下建立的，当气体还未扩散至某地时，此地的放射性气体浓度当然为0。所以，当rskt时，Cx,y,z,t

0，其中r

4.5问题（1）的模型

在不考虑风的情况下，核电站周边地区与事故点的距离较近，可以近似认为这些待预测区域与核电站处于同一水平面上，即z=0且Vxk00.3，则描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型为：

hh02r2h2

zm2x

e2Zte2Zt Cr,te32222

rhZx22

2

hh0h2

222m由初始条件C0,tP得 2Zt2Ztz0Pee0322

xh22

设待预测区域距核电站的距离为r，则核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度为：

r2

22h

（19） P022x22e2x，当rst时，

Cr,tzrxh



当rst时0，

式（19）即为简化后描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。



2

4.6问题（2）的模型

考虑风速为k，风向为x轴的情况下，即Vxk，在核电站周边地区与事故点的距离较近，可以近似认为这些待预测区域与核电站处于同一水平面上，即z=0，则不同风速下描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型为：

（1）当风速k>1.5m/s时：

x2y2hh02h2m22y

e2Ze2Z Cx,y,0,tex

2kyz



2

hh02hm由初始条件C0,0,0,tP2Zt2Zt0得P ee0

2kyz



则描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型为：

x2y2（20）



Cx,y,tP0exp(

22x



22y

)

式（20）即为简化后有风（风速k>1.5m/s）的情况下描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型，由该模型可知，核电站泄漏口处放射性气体浓度最大为P随着距核电站的距离的增大，放射性气体的浓度逐渐减小，距核电站0；无穷远处的浓度为0；核电站周边不同距离地区的浓度只是点的坐标的函数，与时间t无关，即核电站周边某处的浓度是一个定值，不随时间的推移而改变，在无风、无外界人员干预、无其他处理措施的情况下，核电站周边的浓度并不会降低。

（2）平均风速k=0.5~1.5m/s时：

风速与气体扩散速度相近，放射性气体浓度是一个随机变量，在桑方向上都服从正态分布，放射性气体随风漂移的作用与本身在大气中的扩散作用相当，则核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型为：

2

2hh02hxktmye2Ze2ZCx,y,0,texp322

22xy22xyz

2





2

由初始条件C

0,0,0,t

hh0h2m2Z2ZP0得Pee03



22xyz 

则简化后的模型为：

xkt2y2（21）

Cx,y,tP0exp2222xy

（3）平均风速0＜k＜0.5m/s时：在核电站周边地区与事故点的距离较近，可以近似认为这些待预测区域与核电站处于同一水平面上；风速较小，放射性气体由核电站逸出后，有充分的时间和附近的大气环境混合均匀，气团围绕泄漏点浓度成均匀分布，则距离泄漏点r处的放射性气体的质量浓度为：

Cx,y,t

m



xkt2

2x

2

32



2Z

x

z

2



y

2



m

2x

h

2

e

y22y

2

hh0he2Zte2Zt

2

 

由初始条件C

0,0,tP0得P



2

2x

32

2

hh0hz2Zt2Zt

22eexh



2

 

设待预测区域距核电站的距离为r，则核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度为：

h

Cx,y,tPe022

z2r2xh

P0exp

Cx,y,t

0，



2

2

xkt

2x

y22y

（22）

综上所述，核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度模型为：

xkt2(1)当风速k0.5m/s：； y2

2

2x

，当rskt时，22y

当rskt时

（2）当风速0

xkt2y2x2h2

。

exp2，当rskt时，P022222

2yCr,tzrxh2x



当rskt时0，其中，r

。

4.7问题（3）的模型

考虑风速为k，风向为x轴，上风和下风L公里处，即x1

L,y10,z10处和

x2L,y20,z20放射性物质浓度的预测模型：

（1）核电站周边点L,0,0处的放射性物质浓度预测模型为：

当风速k0.5m/s时：

Lkt2； ，当Lskt时，0expP2

2xCL,0,t



当Lskt时0，

当风速0

22Lkt2xh。 exp，当Lskt时，0P22222

zLxh2xCL,0,t

当Lskt时0，

（2）核电站周边点

L,0,0处的放射性物质浓度预测模型为：

Lkt2

当风速k0.5m/s时：； ，当Lskt时，0expP2

2xCL,0,t



当Lskt时0，

22Lkt2hx当风速0

zLxh2xCL,0,t

当Lskt时0，

4.8问题（4）的模型

在本模型中，我们建立了放射性气体的高斯烟羽扩散模型，建立模型之前我们首先作了一些必要的假设，这些是高斯扩散模型的限制条件，分别有：

（1）放射性气体为连续排放；

（2）排放的气体为连续稳定气体，在大气中不会产生化学反应；

由于前三问中，为了方便建立模型，我们忽略了大气的影响，并且假设风向和风速是稳定不变的，在实际情形中，这显然是不可能的。经过查阅当天的新闻，我们得知，放射性气体从福岛核电站泄漏后，当天就下了一场雨，这对放射性气体的扩散起到了极大的抑制作用，另外，福岛周边是海域，在海上风速较大，且大气稳定度极差，这对放射性气体的扩散的影响作用必须考虑。原来所建立的模型是基于核电站附近地区而考虑的，由于在核电站附近，距离较近，放射性气体可以较快扩散，可以近似认为，大气稳定、风速稳定、忽略放射性气体的衰变及各种天气的影响。但我们在考虑福岛核电站泄漏事故对我国东海岸及美国西海岸的影响时，距离较远，放射性气体在扩散过程中可能会受到各种各样的影响，且在长时间扩散过程中放射性气体也可能发生了衰变，所以，原来的模型对预测评估福岛核电站泄漏事故对我国东海岸及美国西海岸的影响不在适用，需要对原来的模型进行修改。

4.8.1有风情况下气体扩散尺度参数的求解

当扩散距离较远时，大气稳定度对气体扩散系数的影响较大，而大气稳定度受风速、日照的影响，在考虑较远距离扩散的情况时，对各种因素综合考虑，其中，大气稳定度是影响扩散的重要因素，是确定大气扩散参数的基础。由于大气对扩散的影响较为复杂，所以我们采用经验公式进行估算。

（1）水平方向（x轴方向）扩散尺度参数的求解

求解水平方向扩散尺度参数x时，可使用下式估算：

1000xtanfx（23） x

2.15

其中，x的单位为m；x为某地距核电站的距离，单位为km；f(x)为x的函数，同时与大气稳定度种类相关，下表3给出了水平方向（y轴方向）扩散尺度参数中f(x)与大气稳定度种类的关系。

（2）竖直方向（z轴方向）扩散尺度参数的求解

竖直方向（z轴方向）扩散尺度参数z，可通过查下表3得知。

4.8.2放射性衰变

在扩散过程中，放射性核素的衰变也会影响大气中核素浓度的分布。放射性元素的衰变周期较长，在短时间、短距离的扩散过程中不需要考虑，但在长时间、较长距离扩散过程中，放射性衰变需要考虑。由于放射性核素服从简单的衰变规律，所引起的耗减因子可表示为:

f1ete

ru

（24）

1

其中，u为平均风速，

m/s；r为到核电站的距离，m；为衰变常数s。若核素的半衰期为T，则可以由下式求出衰变常数：

12

T1

2

ln2





0.6931即





0.6931（25） T1

2

当衰变期较长时，对烟羽损耗的作用几乎可以忽略不计，考虑福岛核电站泄漏的放射性气体中半衰期较短的主要成分及其各自的半衰期如下表4所示。

注：半衰期的单位中，d为天，h为小时。对其他放射性气体的半衰期较长，损耗因子为1。

对于日本福岛核泄漏事件，放射性气体扩散中衰变所导致的烟羽损耗因子的等效近似值，其计算方法是：

f1kie

r

iu

1

其中，ki为i放射性元素所占比例，i为i放射性元素的衰变常数，s。

对于日本福岛核泄漏事件，核电站与我国东海岸及美国西海岸之间的距离分别为

r11800km,r28600km，则放射性气体扩散过程中由于放射性衰变而引起的烟

羽损耗因子分别为： 对中国东海岸：

122.0238

u

27.486u

38.124u

1.7946u

16.6608u

f10.297060.12303e

对美国西海岸：

0.4302e0.4302e



0.10321e0.10321e



0.01553e0.03097e0.03097e



f10.297060.12303e



583.0026

u131.322

u182.148

u

0.01553e



8.5742u



79.6016u

4.8.3事故点平均风速u的选取

不同地点、不同时段的风速和风向频率可能会存在较大的差别，在实际计算中，风速的选取应当慎重对待，计算中应尽可能采用烟羽高度处的风速检测值，为了计算方便，本文中，以一天为一时段，在这一天中我们在把风速和风向分为若干个小时段，在每一个小时段内近似认为风速是不变的，采用倒数平均风速处理数据。对于逐日逐时的风速数据，计算时可以用下式进行计算：

N

11ij1（26）

urijNijn1unij

unij为i风向j 类稳定度下第n式中，Nij为i风向j类稳定度下所测得的风速次数；

个风速值，m/s；urij为i风向j类稳定度下的倒数平均风速，m/s。在计算中采用倒数平均风速代替真实平均风速。

在计算放射性衰减和湿沉降引起的烟羽损耗时，风速项包含指数项中，采用真实风速和倒数平均风速均不妥，可采用近似的计算方法来处理这一问题。即采用1m/s、u、15m/s三种风速去模拟每一个真实风速和大气稳定度的风速谱，其中，u为真实风速（1u15），m/s。选用1m/s、15m/s是因为它们近似于多数气象分组中风速的上限、下限值。如果t1,t2,t3分别为风速是1m/s、u、15m/s的时间长度，假设计算时以一天为计算尺度即t的单位为天，则

t1ut215t3u

t2t31 

t1

u15urij



ttt1123

1

转化为矩阵为： 1

1

u1u1

u15t1

1t21

15turij311



 

将增广矩阵进行初等变形后得：

15uurij2915u100

14uu115urij1u15u



15uu111 rij*A10101

u15urijuriju115u



111115uurij

00114urij15u15uurij14uriju1

得此方程的唯一解向量： t1u16uuu15（27）

rijrij

t2uu115utrij3

15uu

rij

14urij15u

其中，u为核泄漏事故点处的风速，其估算公式为:uuh

0ha

式中，h为核电站事故点的高度，m；ha为气象观测站测量风速的参考高度，一般取10m；u0为参考高度ha处的实际风速，m/s；p的取值与大气稳定度有关，可通过查表1得知。

（1）利用t1,t2,t3可以把放射性衰减损耗份额近似表示为：

ru

p

f1e



t1ert2e



r

u

t3e



r

15

再综合考虑到各种同位素的影响，则当风速为1m/s时，f10.29964，当风速为

15m/s时，f10.3980445。所以，利用t1,t2,t3可以对中国东海岸的烟羽模型把放

射性衰减损耗份额近似表示为：

f1t2[0.297060.12303e0.01553e

1.7946

u

122.0238

u16.6608

u

0.4302e



27.486u

0.10321e



38.124u

（28）

0.03097e

]0.29964t10.3980445t3

同理，对美国西海岸的烟羽模型的放射性衰减损耗因子为：

f1[0.297060.12303e0.01553e

8.5742u



583.0026

u

0.4302e

131.322

u

0.10321e

182.148

u

（29）

0.03097e

d

79.6016

u

]t20.297063t10.30605t3

dx

（2）利用t1,t2,t3可以把湿沉降引起的损耗份额近似表示为：

f2e

ru

t1et2e



dxu

t3e



dx15

则对中国东海岸的烟羽模型中湿沉降引起的损耗份额近似表示为：

f2t2e

121.56

u

0.000302t3（30）

580.79u

同理，对美国西海岸的烟羽模型中湿沉降引起的损耗因子为：

f2t2e

（31）

则放射性气体扩散的浓度模型为：

当rsut时Cx,y,z,t0；当rsut时，

Cx,y,z,t

mf1f2

2

xVxtyVyt

2

2uxyz

3

2

e

22x22y

hzVzthh0zVzt22

2z

e2ze

22

 

4.8.6烟气的抬升高度h0的求解

烟气云的抬升高度的影响因素比较复杂，计算也较繁琐，我们采取Brigg提出的估算公式：

V1x3

 h01.89d0

1d0V

s

其中，d0为泄漏口的直径，m；Vs为放射性气体释放出来时的速度，m/s；S为气

体扩散速度，m/s；x为下风距离，m。

对日本福岛核泄漏事件，d00.5m，S=0.3m/s，Vs0.03m/s，则烟气的抬升高度h0的估算公式为：h00.0259937x，对中国东海岸的抬升高度h03.162m，对美国西海岸的抬升高度为h05.3256m。

13

23

五、模型的求解

通过查找资料以及各种相关的新闻报道，得知s介于0.25～0.35m/s，为了方便求解，取S=0.3m/s；事故点高度h=100m。

根据国际核辐射安全标准，一年核辐射剂量超过1毫西弗就会对人体造成危险。根据各种新闻报道，在无人员干预的情况下，福岛第一核电站处的放射性气体释放的浓度

P0

0.00009513P0时，可

1.224365

以认为扩散的气体是对人体无害的，由此，可以估算放射性气体扩散过程中的安全地带范围，方便人员疏散安排，对现场消防人员控制核泄漏事件起到一定的指导作用。 5.1问题1的求解：

不考虑风，则D25508500,h69.91，S=0.3m/s，h=150.3m，

xz

s0.32.15为1.2毫西弗/每小时，即P所以当C01.2，设核电站周边不同距离地区到电站的距离为r，即r

2

x2y2，简化后的模型为：

22

r2xh

exp，当rst时，P022222Cr,tzrxh2x



当rst时0，

代入数值计算得：

rP0

1.44510e，当r0.3t时，

Cr,t12.99109r2

0，当r0.3t时

2

用Matlab作出无风时核电站周边地区放射性气体浓度与距事故点的距离的关

系示意图，示意图如下所示。

由图可知，当r1km时C0.9931P；当r10km时C0.3853P；00

当r15km时C0.1260P；当r20km时C0.0286P；当r00

；当r35km时C0.0000446P。 C0.0005P00

30km时

由Matlab编程计算安全区域半径，当Cr,t0.00009513P时，0

r039.8438km，即安全地带为以福岛核电站为中心，周围r039.8438km以外

为安全区域，所以在核电站发生泄漏时事故点周边人员应尽快撤到离电站

r039.8438km以外。由t0r1.54天得，在核电站发生泄漏之后，距核电站距

s

离为r0地区的人员应该在t01.54天内撤离该地区。 5.2问题2 的求解

考虑风速为k风向为x轴，核电站周边某处（1）当风速k0.5m/s时：

x,y,0在时刻t的放射性气体浓度为：

xkt2； y2，当rskt时，P0exp222x2yCx,y,t

当rskt时0，

xkt2y2x2h2

（2）当风速0

2yCr,tzrxh2x



当rskt时0，

将该模型应用于最近日本福岛核泄漏事件中，预测一下事故核电站周边的放射性污

染情况，并求出核电站周边的安全地带范围：

查阅今天（2010年4月20号）日本福岛的天气情况，风速为3.33m/s，风向朝北，气温1C8C，天气阴霾。预测核电站附近放射性气体浓度的简化模型为：

y2x3.33t

Pe1.44510，当r3.63t时， Cx,y,t0当r3.63t时0，

2



由问题（1）知，在无风时距离核电站r039.8438km以外为安全地带，我们计算在风速为3.33m/s时，在核电站下风距离为r的浓度模型：

r3.33t

Pe1.44510，当r3.63t时， Cr,t0当r3.63t时0，

2

由该模型我们得知，从地震当日（2011年3月12号）截止到今天，忽略各种

影响因素，风向稳定，假设放射性气体在扩散过程中没有被吸收也没有人员处理，则放射性气体在泄漏后将扩散至以福岛核电站为中心，周围r03319.7802km的区域，即放射性污染已经扩散到r03319.7802km处。这显然是一个很大的污染区域，很明显，若从事故发生至今，若一直没有人员干涉，核污染将在一定时间后漫延全球。另一方面，假设风速为3.33m/s且风向不变，将于事故后第六天（即3月18号）扩散到中国东海岸，且对中国造成一定的影响。

2010年4月20号日本福岛的平均风速为3.33m/s，当天的安全区域半径为r036.58km，显然，有风时有利于放射性气体的扩散，风速较大时各地的浓度相对于无风时有一定的降低。事故核电站周边危险区域相应的有所缩小，安全地带得到拓宽，核电站周边污染情况有所好转，但是风却造成了放射性污染的加快扩散，对污染控制带来一定的技术难题。

用Matlab作出当天核电站周边地区放射性气体浓度与距事故点的距离的关系示意图，示意图如下所示。

经过以上两附图（无风和有风时核电站周边的污染情况）的分析比较，可以看出，核电站泄漏口处的放射性气体浓度最大，随着距离的增大而逐渐减小，有风时核电站周边的放射性气体浓度减小较快，所以风加快了放射性气体的扩散过程。因此，风不利于放射性污染控制，在有风的天气时我们更应该采取积极有效的措施来缓解污染的扩散。 5.3问题3的求解

考虑风速为k，风向为x轴，核电站周边上风和下风L公里处的放射性物质浓度的预测模型分别为：

（1）上风L处即核电站周边点

L,0,0处的放射性物质浓度预测模型为：

Lkt2当风速k0.5m/s时：，当Lskt时； P0exp2

2xCL,0,t



当Lskt时0，

Lkt222xh2x

e，当Lskt时，P22当风速0

当Lskt时0，

2

（2）下风L处即核电站周边点

L,0,0处的放射性物质浓度预测模型为：

Lkt2

当风速k0.5m/s时：； ，当Lskt时，P0exp2

2xCL,0,t



当Lskt时0，

22Lkt2hx当风速0

zLxh2xCL,0,t

当Lskt时0，

5.4问题4的求解

5.4.1源于日本福岛核电站泄漏对中国东海岸的影响的放射性气体浓度模型求解 （1）中国气象局发布的最近一周中国东海岸和美国西海岸的天气情况如下表所示

表5 中国东海岸最近一周的天气情况及放射性气体浓度

21

rij，

f10.29964

t10.30929t20.3980445t3

f10.29964t10.350895t20.3980445t3f10.29964t10.34169t20.3980445t3f10.29964t10.37343t20.3980445t3 f10.29964t10.37434t20.3980445t3f10.29964t10.38941t20.3980445t3

f10.29964t10.39715t20.3980445t3f20.000302t3

0.000000021t20.000302t30.0000094t20.000302t3

0.000085t20.000302t30.000096t20.000302t30.00018t20.000302t30.00029t20.000302t3

经过计算降雨时，f26.5,预测出放射性核物质将经过6.5天到达我国东海岸.

5.4.2源于日本福岛核电站泄漏对美国西海岸的影响的放射性气体浓度模型求解

22

，

rij

f10.297063t10.29846t20.30605t3f10.297063t10.29889t20.30605t3f10.297063t10.29877t20.30605t3f10.297063t10.29936t20.30605t3 f10.297063t10.30274t20.30605t3f10.297063t10.30007t20.30605t3f10.297063t10.29855t20.30605t3

经过计算降雨时，f20。日本与美国的距离较远，有降雨时放射性气体几乎全部

被雨水吸收，将不能扩散到美国。

六.模型的评价

1.该模型的优缺点

高斯烟羽扩散模型的数学形式简单，它是一种经验模型，大量实验表明高斯分布是污染物浓度分布的较好的近似形式，通过大规模的野外实验获得模型计算需要的主要参数，可以在各种气象条件下选用。该模型有以下两个特点：浓度计算在水平方向和垂直方向都采用高斯分布假设；湍流分类和扩散参数采用离散化的分类方法。它的优点是仅用常规气象观测资料就可以估算扩散参数，但在高架源的远距离输送研究时误差较大。本模型具有较强的推广价值，对不同的气象条件、不同的污染源都适用；具有较强的适用价值，对环境污染控制起到一定的指导作用，对处理紧急事故的消防人员也具有较高的指导意义；本模型建立的基础是高斯模型，高斯扩散模型是根据统计学概念，假设一点源扩散满足正态分布原理进而推得的扩散分布规律，对高斯模型进行扩展，并揉合其它先进的污染扩散数学模型，就可以得到各种气象参数供气象部门使用。

该模型的主要不足：从所建立的模型来看，放射性气体的扩散是一个相当复杂的问题，它的影响因素非常多，其中地表因素就对其影响非常大，所以此模型在考虑地表因素的影响方面还有待改进。模型在求解时假设气体扩散是连续的，但是实际中并不是这样的。我们不是很清楚这些数据采集的误差背景，所以有的假设不尽合理。

参考文献：

[1]易燃有毒气体泄漏扩散及其危险范围预测.李建华等.武警学院消防指挥系.时间不详

23