2003年4月 晋东南师范专科学校学报第20卷 第2期 JournalofJindongnanTeachersCollege
Apr.,2003 Vol.20.NO.2
利用范德蒙德行列式的结论计算行列式
张文丽
(晋东南师专数学系, 摘 要:,给出了利用范德蒙德行列式的结果来计算行列式的几个例子。
关键词:。
中图分类号:O1511:A 文章编号:1009-0266(2003)02-0052-02范德蒙德行列式的标准规范形式是:
1 1 … 1x1 x2 … xnx1 x2 … xn
2
2
2
n!(2-1)(3-1)...(n-1)(3-2)...(n-2)...[n-(n-1)]
=n!(n-1)!(n-2)!…2!1!
=
n≥i>j≥l
Dn=∏(xi-xj)
例2 计算Dn+1=
n
a (a-1) … (a-n)
nn-1
… … … …
n-1 x2 … xnn-1
根据范德蒙德行列式的特点,将所给行列式化为范德
an-1 (a-1)
n-1
… (a-n)
x1
n-1
… … … …
a a-1 … a-n
蒙德行列式,然后利用其结果计算.常见的化法有以下几种:
1.所给行列式各列(或各行)都是某元素的不同次幂,
1 1 … 1
解:本项中行列式的排列规律与范德蒙德行列式的排
列规律正好相反,为使Dn+1中各列元素的方幂次数自上而下递升排列,将第n+1行依次与上行交换直至第1行,第n行依次与上行交换直至第2行……第2行依次与上行交换直至第n行,于是共经过n+(n-1)+(n-2)+……+2+1
=但其幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同,需利用行列式性质(如提取公因式,调换各行(或各列)的次序,拆项等)将行列式化为范德蒙德行列式.例1 计算
1 1 … 1Dn=
2 2 … 23 3 … 3
222
nnn
2
次行的交换得到n+1阶范德蒙德行列式:
1 1 … 1a a-1 … a-n
Dn+1=(-1)
2
… … … …
a
n-1
n n … n
(a-1)
n-
1
… (a-n)
n-1n
解:Dn中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列,但不是从0变到n-1,而是由1递升至n,如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1
1 1 1… 11 2 2… 2
Dn=n!
1 3 3… 3
22
n-1n-1
n
a (a-1) … (a-n)
=(-1)
2
(a-1a)
(a-2-a)…(a-n-a)[a-2-(a-1)]…[a-n-(a-(a-1))]=∏K!
k=1n
=
若Dn的第i行(列)由两个分行(列)所组成,其中任意相邻两行(列)均含相同分行(列);且Dn中含有由n个分行
(列)组成的范德蒙德行列式,那么将Dn的第i行(列)乘以
… … …… …
1 n n2… nn-1
收稿日期:2002—12—25
),女,山西晋城人,助教,主要从事高等代数教学研究。作者简介:张文丽(1971—
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张文丽 利用范德蒙德行列式的结论计算行列式
-1加到第(i+1)行(列),消除一些分行(列),即可化成范
3.拉普拉斯展开法:
德蒙德行列式:例3.
D=
运用公式|D|=M1A1+M2A2+…+MtAt来计算行列式的值:
1 0 x1 0 … x1n-1 00 1 0 y1 … 0 y1n-11 0 x2 0 … x2n-1 0
1 1 1 1φφφφ 1+sin1+sin1+sin1+sin1 2 3 4
2222
φφφφsin1+sinφ1 sin2+sinφ2 sin3+sinφ3 sin4+sinφ4333φφφφ+sin3φsin2sin2sin2sin21+sinφ1 2+sinφ 3+sinφ3 4
例 计算D=0 1 0 y2 … 0 y2n-1
……… … … … …
1 0xxnn-1 0
n0 ynn-1
取第、..,第1、3、...2n-1列展开得:
n-1
x1 … x1n-1
1 x2 … x2
n-1
1 y1 … y1n-1
1 y2 … y2
解:将D的第1行乘以-1加到第2行得:
1 1 1 1φφφφ 1+sin1+sin1+sin1+sin1 2 3 4
2222φφφsin1+sinφ1 sin2+sinφ2 sin3+sinφ3 sin333φφ+sin3sin2sin221+sinφ1 2+sinφ334
-3,再在新行列式中的第3行乘以-14行得:
1 1 1 1φφφφsinsinsinsin1 2 3 4
D=
sinφsinφ1 sinφ2 sinφ3 4
2
2
2
2
333
φsin31 sinφ2 sinφ3 +sinφ4
φφ=∏(sini-sinj)
1≤j
D=
…… … ……… … …
1 xn … xnn-11 yn … ynn-1
=∏(xj-xi)(yj-yi)
n≥j>i≥l
4.乘积变换法:
例:设Sk=x1k+x2k+...+xnk=6xik(k=0、1...2n-2)
i=1
n
S0 S1 … Sn-
1
2.加行加列法:
计算D=
S1 S2 … Sn
各行(或列)元素均为某一元素的不同方幂,但都缺少同一方幂的行列式,可用此方法:
1 1 … 1222x1 x2 … xn
例4、计算 D=x13 x23 … xn3
… … … …nnnx1 x2 … xn
解:作n+1阶行列式:
1 1 1 … 1z x1 x2 … xnz2 x12 x22 … xn2z x1 x2 … xn
3
2
3
3
… … … …
Sn-1 Sn … S2n-n
2
n 6xi … 6xi
i=1n
i=1n
n
n
n-1
解:D=
i=1
6xi 6xi2 … 6xin
i=1
i=1
=
… … … …
i=1
6xi
n
n-1
i=1
6xi … 6xi2n-2
n
i=1
nn
Dn+1=
1 1 … 1x1 x2 … xnx1 x2 … xn
2
2
2
1 x1 x12 … x1n-11 x2 x22 … x2n-1
… … … … …
z x1 x2 … xn
n
n
n
3
… … … …
x1
n-1
… … … … …
1 xn xn2 … xnn-1
=∏(xi-z)
i=1
n
l≤k
∏(xj-xk)
=
x2
n-1
… xn
n-1
由所作行列式可知z的系数为-D,而由上式可知z的
)为:(-1)2n-1x
1x2…xn(6
i=1n
l≤i
∏(xj-xj)2
xi
n≥j>k≥l
∏(xj-xk)通过比较系数
利用范德蒙德行列式的结论计算并不复杂,难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。这具有较高的技巧,这需我们在学习的同时不断总结,揣摩其规律。
得:D=x1x2…xn(6
n
xi
i=1
)
n≥j>k≥l
∏(xj-xk)
(责任编辑 赵巨涛)
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