18.1 勾股定理（1）
学习目标：
1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。
学习过程： 一、预习新知
1、正方形边长和面积有什么数量关系？
2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。
(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
(4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二、课堂展示
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c2。
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1
ab. 把这2
两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于
12
c 2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________
归纳：勾股定理的具体内容是 。
三、随堂练习
1、如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ；
(2)若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： (3)三边之间的关系：
B
四、课堂检测
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。
2、已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ）
3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
4、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25
5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32
18.1 勾股定理（2）
学习目标：
1、会用勾股定理解决简单的实际问题。 2、树立数形结合的思想。
3、经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 4、培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。 重点：勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
一、预习新知
1、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
2、在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 长． 问题（1）在长方形ABCD 中AB 、BC 、AC 大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
图1
二、课堂展示
例：如图2，一个3米长的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．
①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ ②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C .
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
O
A
1m
m
图
2
三、随堂练习
1、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2、如图1
，山坡上两株树木之间的坡面距离是 米，水平距离是 米。
A
图1 图2 图3
四、课堂检测
1、如图2，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
2、如图3，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
3、如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
B
C 4、有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
5、一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。
P
Q
6、如图6，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，容易得出
S 1、S 2、S 3之间有的关系式 ．
变式：如图7．
S 3
S 2 S 1
图7
18.1 勾股定理（3）
学习目标:
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。 2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。 3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。 重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。
难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。
一、预习新知
1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
2、分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示的点。容易知道，长为2的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。
3、作法：在数轴上找到点A ，使OA=_____，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=_____，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示的点。
4、在数轴上画出表示的点？（尺规作图）
二、课堂展示
例1、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例2、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求S △ABC 。
三、随堂练习 A D
B
1、填空题
⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为
2、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。
四、课堂检测
1、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm ，则另一条直角边的长是（ ）
A . 4cm B . 4cm C . 6cm D . 63cm
2、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33
3、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米. 如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A . 9分米 B . 15分米 C . 5分米 D . 8分米
4、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
5、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .
6、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
7、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm，求BC 的长。
B
18.2 勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点：勾股定理的逆定理的证明。 一、预习新知
1、三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？
2、你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？
3、如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足a 请简要地写出证明过程．
4、此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题
（2）什么叫互为逆定理
（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __
5、说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？ （1）两直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二、课堂展示
例1、判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a =15, b =8, c =17； （2）a （3）a
2
+b 2=c 2，试证明△ABC 是直角三角形，
图18.2-2
=13, b =14, c =15．
=7, b =24, c =25； （4）a =1. 5, b =2, c =2. 5；
2
三、随堂练习
1、如果三条线段长a,b,c 满足a
2、A,B,C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向， C 地在B 地的什么方向？
=c 2-b 2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
5km
12km
A
3、思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？
四、课堂检测
1、若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC 的形状．
2、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？
3、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD 。求证：△ABC 是直角三角形。
C
D
18.2勾股定理逆定理（2）
学习目标：
1、进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能 够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。 2、培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3、在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。 4、培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 重点：勾股定理的逆定理
难点：勾股定理的逆定理的应用
一、预习新知
已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 求：四边形ABCD 的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形
A B
E
C
二、课堂展示
例1. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
图18.2-3
例2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
B
A
三、随堂练习
1、一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2
2、如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式a +2b - +（b-18）2+c -=0则△ABC 是角形。
四、课堂检测
1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形； B ．直角三角形； C ．等腰三角形或直角三角形； D ．等腰直角三角形。 2、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。
A
D
3、已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=的面积。
313，CD=，AD=3，且AB ⊥BC 。求：四边形ABCD 44
4、小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，
又走60m 的方向是 。
5、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
6、已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC 的形状。
7、如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝＝90.
。
1
ＢＣ，求证：∠ＥＦＡ4
五、小结与反思
勾股定理复习（1）
学习目标
1、理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2、勾股定理的应用.
3、会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
一、复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1、勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————. 这就是勾股定理．
(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
a 2=c 2-b 2, b 2=c 2-a 2, c =a 2+b 2, a =c 2-b 2, b =c 2-a 2．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2、勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理. 它可以帮助我们判断三角形的形状.
为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法. 定理的证明采用了构造法. 利用已知三角形的边
222
a,b,c(a+b=c) ，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c, 进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.
3、勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的. 勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直, 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若a +b =c ，则三角形是直角三角形；若
222
a 2+b 2>c 2，则三角形是锐角三角形；若a 2+b 2
逆定理时首先要确定三角形的最大边．
二、课堂展示
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
三、随堂练习
1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A ．7，24，25 B ．3
11111，4，5 C ．3，4，5 D ．4，7，8 22222
2、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3、三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ） A ． 6 B ． 36 C ． 64 D ． 8 4、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ A ．6cm B ．8．5cm C ．
3060
cm D ．cm
1313
5、在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数) ，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角
四、课堂检测
1、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟 之后两只小鼹鼠相距（ ）
A ．50cm B ．100cm C ．140cm D ．80cm
2、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm
3、在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿
4、等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．
5、等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．
6、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿
7、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
8、如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？
图3
勾股定理复习(2)
学习目标
1、掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．
2、经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
3、熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．
重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理． 考点一、已知两边求第三边
1、在直角三角形中, 若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为______．
2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3、在数轴上作出表示的点．
4、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
考点二、利用列方程求线段的长 1、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km，CB=10km， 现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
C
A B E
2、如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
2222
2、若三角形的三别是a +b,2ab,a -b (a>b>0),则这个三角形是 .
2
3、如图1，在△ABC 中，AD 是高，且AD =BD ⋅CD ，求证：△ABC 为直角三角形。
考点四、灵活变通
1、在Rt △ABC 中， a，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=
2、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm 2，8cm 2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm ．
A 3、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点
爬到B 点，则最少要爬行 cm
4、如图：带阴影部分的半圆的面积是 （π取3）
5、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到 B点，那么它所爬行的最短路线的长是
6、若一个三角形的周长123c m, 一边长为3c m, 其他两边之差为c m, 则这个三角形 是_______________．
7、如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少 是 米。
考点五、能力提升
1、已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．
2、如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =吗？
2
B
1
BC ．你能说明∠AFE 是直角4
3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
三、随堂检测
1、已知△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C ，则它的三条边之比为（ ）． A．1：1：1 B．1：1 ：2 C．1：2 ：3 D．1：4：1
2、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
3、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．
2222
A ．3 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm
4、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）
A ．6cm B ．8．5cm C．30／13cm D．60／13 cm
5、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
6、一座桥横跨一江，桥长12m ，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶＿＿＿m ．
7、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿．
8、已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是 ．
9、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
10、如图1所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面 的距离为7m ．现将梯子的底端A 向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降到B′，那么BB′也等于1m 吗? B B ′
A ′
A 图1
11、已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ．求：BD 的长．