《数学思维与能力训练》辅导讲义
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实数的性质及运用
【知识要点】
无限不循环小数叫做无理数。无理数和我们前面学过的有理数统称为实数。有理数扩大到实数后，在有理数范围内定义的一些概念 (如相反数、倒数) 在实数范围内仍适用，比较大小的法则在实数范围内也适用，有理数的运算法则、运算律在实数范围内也适用。实数的绝对值与有理数的绝对值也一样。实数与数轴上的点一一对应。
在初中数学竞赛中涉及的数都是实数，有关实数的性质、绝对值、大小比较等类型的题目常出现，所以我们有必要在这一讲中进行探讨。
【夯实基础】
［例题1］把下列各数分别填入相应的括号内：
⋅11π
0，-，0.15，0.25，5，，
-
π2，3.1415 324
22– 3，– 2.121121121……， 7
整 数 { …… } 分 数 { …… } 正 数 { …… } 负 数 { …… } 有理数 { …… } 无理数 { …… } ［例题2］比较下列各数的大小：
(1)
17 2
(2) 与
(3)
〖小试牛刀〗
1、在 –π
，(0，0，0.020032003
，
2、比较大小：当实数a 或
3、下列各组数中互为相反数的一组数是 ( )
A 、– 2 与
C 、– 2 与 -11, -, - π3100 101
B 、– 2 与
1 D
、| 与
2
4、在 – 7，0
π
，
(-2 这六个实数中，有理数的个数是 ( ) 3A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
5、当0
21 的大小，并说明理由 x
［例题3］化简下列各式：
(1) |1.7| (2) | a – | a – 4 | | (a≤4) (3) | x 2 + 6x + 10 |
［例题4］已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足等式x 2
–
x + y值
〖小试牛刀〗 已知x 、y
是有理数且x +(4y +3=0，求x 、y 的值
［例题5］ 已知
x =1，求x 2 + 2x + 2 的值
⋅
［例题6］已知a 、b 、c 、d 为实数，且a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求 x 2 – (a + b + cd) x + (a + b) 2007 + (- cd) 2007 的值
〖拓展探究〗
1、已知x 、y
为实数，且y =3，求
2
、设a =a 3 与 a 5 的值，试比较a 3 与a 5 大小，若设
a =或
a =1，结果又如何？
x 的值