ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
．
２００９，４５（２８）４１
求解复杂非线性方程组的新方法
阳万安，曾安平
ＹＡＮＧＷａｎ－ａｎ，ＺＥＮＧＡｎ－ｐｉｎｇ
宜宾学院计算机与信息科学系，四川宜宾６４４０００
］ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＥ—ｍａｉｌ：ｙｗａｌｙ＠１２６．ｃｏｍ
ａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅＪＹｉｂｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｂｉｎ，Ｓｉｃｈｕａｎ
６４４０００，Ｃｈｉｎａ
ＹＡＮＧ
Ｗａｎ—ａｎ，ＺＥＮＧ
Ａｎ－ｐｉｎｇ．Ｎｅｗ
ｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｖｉｎｇｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｇｒｏｕｐ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００９，４ｓ（ｚｓ）：４１－４２．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｎｕｍｅｄｃｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｉｓＫｅｙ
ｃｈａｎｇｅｄ
ｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ
ｔｏ
ｇｒｏｕｐｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｎ
ａ
ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｇｒｏｕｐｉｓ
ｐａｒｔｉｃｌｅ
ｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，
ａ
ｔｈｅ
ｐｒｏｂｌｅｍ
ｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ａｎｄ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｂｙ
ｃａｎ
ｉｔ鹊ｔｈｅ
ｉｍｐｒｏｖｅｄ．
ｉｎｉｔｉａｌｇｕｅｓｓｏｆ
Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｍｏｒｅ
ａｃｃｕｒａｔｅｂｅ
ｏｂｔａｉｎｅｄ。ａｓｒｅｓｕｌｔ，ｔｉｍｅ
ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｇｒｏｕｐ；ｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｉｎｉｔｉａｌｇｕｅｓｓ；Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ（ＬＭ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
摘要：提出了一种求解非线性方程组的数值方法，将求解非线性方程组的解转化为函数优化问题，应用粒子群优化算法求出一个近似解，将此解作为初始猜测值，进一步应用Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ—Ｍａｒｑｕａｒｄｔ（ＬＭ）算法求得更高精度的解，提高了时间效率。关键词：非线性方程组；粒子群优化；初值；ｋｖｅＩｌｂｅｒｇ—Ｍａｒｑｕａｒｄｔ算法ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２，８３３１．２００９．２８．０１２
，
文章编号：１００２—８３３１（２００９）２８—００４１－０２文献标识码：Ａ中图分类号：ＴＰ３０１．６
１引言
方程组的求解是数值代数的基本问题之一，许多工程应用
和科学计算问题最后都要求解方程组，因此，对方程组的解法的研究具有重要的意义。方程组可以分为线性方程组和非线性方程组。该问题的传统解法主要有牛顿法、迭代法、梯度法、共轭方向法，以及进化算法如ＰＳＯ算法等。传统方法求解精度高，但对方程组具有较高的特性要求，比如要求方程组连续可微，同时求解的时候需要一个初始猜测值，初始猜测值的好坏严重影响最后的解，如何确定好的初值是困难的。进化算法取消了对方程组的特性要求，只需要在变量的区间随机产生一个初值，这使得它在许多优化问题中得到成功运用，进化算法可以通过提高群规模和迭代次数来改善精度，其求解时间与迭代次数成正比，时间效率明显下降。工程应用中，对求解的时间和精度两者都有很高的要求。因此，单用传统算法或者进化算法都难同时满足这两个要求，为此，先用ＰＳＯ算法以较少的迭代次数求得解，将其作为初始猜测值，再用ＬＭ算法进一步搜寻解，这样能同时满足解的精度和求解时间的要求。
的最好位置就是粒子本身找到的最优解，称为个体极值（ｐＢｅｓｔ）；整个群体经历过的最好位置就是整个群体目前找到
的最优解，称为全局极值（ｇＢｅｓｔ）。实际应用中是通过优化问题
所决定的适应度值（ｆｉｔｎｅｓｓｖａｌｕｅ）来评价粒子的“好坏”程度。
每个粒子都通过上述两个极值不断地更新自己，从而产生新一
代的群体。
如果粒子的群体规模为Ⅳ，则第ｉ（ｉ＝ｌ，２，…，Ⅳ）个粒子的位置可表示为置，它所经历过的最好位置记为ｐＢｅｓｔ［ｉ１，它的速度用Ｋ表示，群体中当前“最好”的位置用ｇｎｅｓｔ表示。所以第ｉ个粒子将根据下面的公式来更新自己的速度和位置：
Ｅ＝ｗｘＶ，＋ｃ１×ｒｌｘ（ｐＢｅｓｔ［ｉ］－Ｘｉ）＋ｃ２ｘｒ２ｘ（ｇＢｅｓｔ－Ｘｉ）
（１）
鼯硌ＩＩ，
（ｉｎｅｒｔｉａ
ｗｅｉｇｈｔ
（２）
其中ｒ。、ｒ２是【０，１ｌ上的随机数；ｃ。、ｃ：为学习因子；埘为惯性权重
ｏ另外，粒子在不断根据速度调整自己的位置的
时候，还要受到最大速度ｙ。的限制，当Ｋ＞ｙ一时，将被限定
为ｙ。。ＰＳＯ算法的核心就在于微粒的速度和位置的更新公式
（１）、（２），公式中参数的取值对算法的收敛性和收敛速度有很大的影响，尤其是惯性权重加的取值影响最大，Ｗ取值越大，则
２求解非线性方程组的ＰＳＯ和ＬＭ算法
ＰＳ０算法最早是由ＪａｍｅｓＫｅｎｎｅｄｙ和ＲｕｓｓｅｌｌＥｂｅｒｈａｒｔ共同提出的【１】，源于对鸟群捕食行为的研究。ＰＳＯ算法中的每个粒子就是解空间中的—个解，它根据自己的飞行经验和同伴的
收敛速度越慢，但越不容易局限于局部最优解，加取值越小，收
敛速度越快，但越容易收敛到局部最优解。
ＬＭ算法是高斯一牛顿法的改进形式【２】，既有高斯一牛顿法
的局部特性又具有梯度法的全局特性。由于利用了近似的二
阶导数信息，ＬＭ算法比梯度法快得多，适合解决非线性最小
ｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔ
飞行经验来调整自己的飞行。每个粒子在飞行过程中所经历过
基金项日：四川省教育厅基金（ｔｈｅＦｕｎｄｏｆ
Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
ｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅ
Ｎｏ．２００６Ｃ０４７）。
作者简介：阳万安（１９７７一），男，博士，讲师，主要研究领域为人工智能和分布式技术；曾安ｃ－３ｚ，讲师，主要研究领域为数据挖掘。
收穑１３期：２００９—０３—２６
傣ｌｕｌ１３期：２００９—０５一１８
４２
２００９．４５（２８）Ｃｏｍｐｕｔｅｒ
ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
步骤３；
步骤８将Ｐ，作为ＬＭ算法的初始猜测值，进一步求式（３）的解，所得为最终解。
二乘问题。
３
问题的转化
对于非线性方程组∽（戈－，髫：，…，ｘｎ）＝ｏ恤（菇ｌ，Ｘ２，…，‰）－－－ｏ
，＾、
５数值仿真实验
ｕ’
为了比较计算精度，定义误差：
１
ｊ
厂ｉ——————一
Ｄ二（并Ｉ，髫２，…，菇。）＝０
式中，筋为所要求解的ｎ个未知实变量，后为定义在ｍ维欧氏空间中的实值函数。为了便于用微粒群算法求解，将问题（３）转
肚＼／∑（气叫。）２
’
（５）
‘＝ｌ
其中，１７，为方程组中未知数的个数，‰为未知数的计算结果，‰为未知量的真值。设置如下：
ｃ１＝１．４９６２学习因子１ｃ２＝１．４９６ｗ＝０．７２９Ｎ＝１００
’
化为等价的函数优化问题
三，
Ｍｉｎ
根据上述算法用Ｍａｔｌａｂ７．０编制程序，ＰＳ０算法主要参数
（４）
Ｐ（ｘ）＝艺Ｚ‘（菇。，并：，…，％）
求解方程组（３）就转化为求—组值ｒ（菇，，Ｘ２，…，吒）使得ｐ（ｒ）＝０成立，即求使函数尸（ｘ）取得最小值０的一组数。微粒群体在
２学习因子２８惯性权重
初始化群体个体数目
定义的搜索区域内移动，每个粒子的位置代表方程组的候选
解，适应值函数为式（４），把微粒的位置带入适应值函数来评估微粒的质量，若迭代次数等于预先给出的最大次数，就结束ＰＳＯ迭代；若小于最大迭代次数，每个微粒根据它自己的经历和邻域微粒的经历，以及目前循环中每个微粒和邻域微粒分别得到的最好位置来调节它的位置，直到到达最大迭代次数。同时，式（４）也是一个最小二乘问题，也适合用ＬＭ算法求解，用
实验选择了下面３个方程组，测试的方程组是文献【３佣到的。
算２＋＾：２—３－－－０
例１
髫２＋严概”《咿一５＝０
苒＋ｖ＋ｚ一３－－－０
茗，Ｙ，Ｚ－∈【－１．７３２，１．７３２】
曾中ｆ一５ｘｙｚ一８５＝０
ＰＳＯ算法的结果作为ＬＭ算法的初值进一步搜寻更高精度的
解，比单独用ＩＸ５０算法求得同样精度的解节约时间。
例２
叠—中—蕾一６０＝０
管＋矿—Ｙ一２＝０
髫Ｅ［－２，５】，ＹＥ［－１，４】，：∈［Ｏ，２】
４算法步骤
算法流程如下：
步骤１初始化设置闭ｊ种群规模为Ⅳ，随机初始化各个粒子的位置Ｘ和速度Ｋ，设定最大进化代数ｍａｘＤＴ；
步骤２设置每个粒子目前最优位置为只＝墨，并记ｐｓ＝
ｍａｘＰｉ为全局最优位置；
并＋，卜一２ｚ＝０
例３
ｘｙ－１－－Ｏ
菇ｔ¨２－２＝０
髫，Ｙ，ｚ∈【－２，２】
表ｌ是对这３个方程组分别求解５０次的实验结果。从求解结果可以看出，用ＰＳ０和ＬＭ算法联合求解比单独使用ＰＳ０算法求解消耗的时间更少获得的精度更高。因为ＰＳ０算法消耗的时间与最大进化代数成正比，设法降低ＰＳ０算法求解阶段的最大迭代次数，可以节约较多时间，并得到近似解，将此解作为初始猜测值，然后使用效率更高的ＬＭ算法求更高精度的解，消耗的总时间就减少。
步骤３计算每个粒子的适应度值（廓忧ｓｓ）；
步骤４对每—个粒子置更新个体最优位置只；步骤５将每个粒子的最优位置只与ｎ比较，更新Ｐｇ；步骤６根据ＰＳＯ迭代公式（１）、（２）分别对群体进行更新；
步骤７当进化代数等于ｍａｘＤＴ停止迭代，输出肌，否则转
表１实验结果
求解次数（ａ）例１
图ｌ
求解次数（ｂ）例２
ＰＳＯ＋ＬＭ最终求解结果与ＰＳＯ阶段求解结果对比
求解次数（ｃ）例３
（下转４７页）
李鸿：粒计算的四面体模型
【２】Ｚａｄｅｈ
Ｌ
２００９，４５（２８）４７
Ａ．Ｆｕｚｚｙ
ｓｅｔｓ
ａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ［Ｍ］／／ＧｕｐｍＭ，
２００５，１：８５～９０．
ＲａｇａｄｅＲ，Ｙａｇｅｒ
Ｒ．ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＦｕｚｚｙＳｅｔＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｅａ—
．
ｔｉｏｎｓ．Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ：Ａｍｓｔｅｒｄ８ｍ。１９７９：３－１８．【３】３
ＺａｄｅｈＬＡ．Ｓｏｍｅａｎｄｔｈｅｉｒｒｏｌｅｓ
ｉｎ
【１７】ＹａｏＹＹ．Ｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｃ］／／ＳｐｅｃｉａｌＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅ４ｔｈ
ＣｈｉｎｅｓｅＮａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＲｏｕｇｈＳｅｔｓａｎｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ
（ＣＲＳＳＣ’２００４），Ｚｈｏｕｓｈａｎ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ，Ｃｈｉｎａ，Ｏｃｔ２５－２８，２００４．【１８】ＹａｏＹＹ．Ｈｕｍａｎ－ｉｎｓｐｉｒｅｄｇｒａｎｕｌａｒｅｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｍ］／／ＹａｏＪＴ．Ｎｏｖｅｌ
Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ
ｉｎ
Ｇｒａｎｕｌａｒ
Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ：Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｆｏｒ
ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ
ｏｎ
ｓｏｆｔｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ
ａｎｄｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｉｎｆｏｒ－
ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｉｏｎ，ｄｅｓｉｇｎ
ｍａｔｉｏｎ／ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｌａｇ，１９９８：２３—２５．
ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］／／ＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒ－Ａｄｖａｎｃｅｄ
【４１林旱阳粒计算的数学漠型与研究方向愀计算：过去、现在和展望．
北京：科学出版社，２００７：１２７—１４１．
【５】ＰａｗｌａｋＺ．Ｒｏｕｇｈｓｅｔｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｍａｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄ
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［１９】ＹａｏＹＹ．Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｖｅｌｅｖｅｌｓｏｆｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ［Ｍ］／／ＢａｒｇｉｅｌａＡ，Ｐｅｄｒｙｃｚ
Ｗ．Ｈｕｍａｎ－ＣｅｎｔｒｉｅＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＴｈｌｍｕｇｈＧｒａｎｕｌａｒＭｅｄ－
ｅｌｌｉｎｇ，２００８．
［２０】Ｙａｏ
ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｃ］／／Ｐｒｏｅｅｅｄｉｎｇｓ
ＲｏｕｇｈＳｅｔ
Ｐｅｒ－
ＹＹ．Ｇｒａｎｕｌａｒ
ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ：Ｐａｓｔ，ｐｒｅｓｅｎｔａｎｄｆｕｔｕｒｅ【Ｃ］／／２００８
ｏｎ
【６】ＹａｏＹＹ．Ｔｈｒｅｅ
ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ
ｏｎ
ｏｆｇｒａｎｕｌａｒ
ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
Ｙ
ＧｒａｎｕｌａｒＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２００８：８０－８５．
ｏｆｔｈｅＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＦｏｒｕｍｓｐｅｃｔｉｖｅ，Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ｔｈｅｏｒｙ
ｏｆＧｒＣｆｒｏｍ
ｏｆ
【２１】ＹａｎＹ．ＡｒｔｉｆｉｃｉａｌｉｎｔｅＮｉｇｅｎｃｅ
ｏｎ
ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ
ＩｔＳ
ｏｎ
ｇｒａｎｕｌａｒ
ｅｏｍｐｕｔ—
Ｎａｎｃｈａｎｇ
Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ，
ｉｎｇ［Ｃ］／／ＲＳＣＴＣ２００８，Ｐａｎｅｌ
ＫＤＤ．
ａｎｄＳＣＣｈａｌｌｅｎｇｅｓｉｎＡＩａｎｄ
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太原，２００７．
【８】ＹａｏＹＹ．Ａｕｎｉｆｉｅｄｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｍ］／／Ｐｅｄｒｙｃｚ
Ｗ，Ｓｋｏｗｒｏｎ
Ａ，Ｋｒｅｉｎｏｖｉｃｈ
【２２】Ｙａｏ
Ｙ
Ｙ．１１ｌｅｒｉｓｅｏｆｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓａｎｄＴｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ：ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉ—
ｔｉｏｎ。２００８，２０（３）：２９９—３０８．
Ｖ．ＨａｎｄｂｏｏｋｏｆＧｒａｎｕｌａｒＣｏｍｐｕｔｉｎｇ．［Ｓ．１．】：
［２３】张文修，徐伟华．基于粒计算的认知模型【Ｊ】．工程数学学报，２００７，
２４（６）：９５７—９７１．
【２４】ＳｈｉＺＺ．Ｔｏｌｅｒａｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｂａｓｅｄｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｍｏｄｅｌ［Ｃ］／／
Ｗｉｌｅｙ，２００８：４０１－－４１０．
【９】９张铃，张钹．模糊商空间理论（模糊粒度计算方法）阴．软件学报，
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Ｔｈｅ
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ｏｎ
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【１１】ＤｕｂｏｉｓＤ，ＰｒａｄｅＨ．Ｒｏｕｇｈｆｕｚｚｙ
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ａ
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ｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
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ｏｆ
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ｏｎ
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Ｓｅｔｓａｎｄ
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ｇｒａｎｕｌａｒ
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【１５】姚一豫．粒计算的艺术［Ｍ］／／ｇｔ计算：过去、现在和展望．北京：科学
出版社，２００７：１－２０．
【１６１ＹａｏＹＹ．Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓｏｆｇｒａｎｕｌａｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｃｌ／／Ｔｈｅ２００５ＩＥＥＥ
ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＧｒａｎｕｌａｒＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ，
ａｎｄ
ｇｒａｎｕｌａｒｃｏｎｃｅｐｔ
ｌａｔｔｉｃｅ【Ｃ∥
ＷａｎｇＧｕｏ－ｊｕｎ．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆＴｈｅ９ｔｈＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
ｆｏｒＹｏｕｎｇＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｔｉｓｔｓ，ＩＣＹＣＳ２００８．ＬｏｓＡｌａｍｉｔｏｓ，Ｃａｌｉｆｏｒ－ｎｉａ．ＵＳＡ：ＩＥＥＥ
ＣｏｍｐｕｅｒＳｏｃｉｅｔｙＣＰＳ，２００８：１８６０－１８６５．
（上接４２页）
图１（ａ）（ｂ）（ｃ）分别显示了例１、例２和例３用ＰＳＯ＋ＬＭ算法求解５０次的最终结果和第一阶段ＰＳＯ求解结果。图中“ｏ”表示第一阶段ＰＳＯ求解的误差，“∥表示ＰＳＯ＋ＬＭ求解结果的误差。可以看出在大多数情况下，进一步用ＬＭ算法求解提高了解的精度。
参考文献：
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ＩＥＥＥ１９４８．
ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
ｓｗａｒｍ
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ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｏｆ
Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，１９９５，４：１９４２—
Ｎｅｕｒａｌ
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ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｆｏｒＲｅｓｅａｒｃｈ
ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｒｅｔｅ，Ｇｒｅｅｃｅ，２００５．
【３】郭海燕，金鑫，胡小兵．基于微粒群优化的非线性方程组求解研
５讨论
提出了求解非线性方程组的ＰＳＯ＋ＬＭ算法。不需要限制方程组形式、不需要方程组连续可微。克服了单独使用ＰＳＯ算法时间消耗过多，单独使用ＬＭ算法初值选择困难的问题，求解结果的精度很高。该方法可以应用到对实时性和精度Ｉ司时要求都很高的系统中。
究［Ｊ】．计算机工程与应用，２００６，４２（１５）：７２—７４．
【４】张建科，王晓智，刘三阳，等．求解非线性方程及方程组的粒子群算
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