第一章 解三角形
1. 1. 1 正弦定理
一、选择题
（1）解：选（A ）.
43
=42sin B
⇒sin B =
22
sin 60︒
故B =45︒. . 又 a >b , ∴A >B ，
(2)解：选(C).
A =
π
6
, B =
π
3
, C =
π
2
, a :b :c =sin A :sin B :sin C =
12
12
:
2
22
=1:2
（3）解：b =2a sin B ⇒sin B =2sin A sin B ⇒sin A =
150︒. 选(D )
( sin B ≠0) ，∴A =30︒或
（4）解：a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B . 选(C) 二、填空题 (5)解：
b sin 45︒
=
3sin 60︒
12⇒b =
2.
(6)解：
2393
S ∆ABC =
bc s i n A =
12
c ⨯
=2
c , =a 4, =
2
a 1=313
a +b +c s i n A +
s i B n +
=
s C i n
a
==s A i 2
9
3
（7）解：
3sin 30︒
=
33sin C
⇒C =60︒或120︒. C=60时，A =90, a=
0 0
C=120时, A =30,a=3故a=6或a=3 三、解答题
（8）请用向量法证明正弦定理.
如图在∆A B C 中，AB ⊥C D
证明：由已知可得：CA 和CB 在CD 方向上的投影相等。
ππ
所以，|C A |cos(-A ) =|C B |cos(-B )
22
所以，b sin A =a sin B 所以 同理可得：
a sin A
=
c sin C
a sin A
=
b sin B
1. 1. 2余弦定理
一、选择题
（1）解：由余弦定理a =
8+3-2⨯8⨯3cos 60︒=7. 选（C ） 20
2
22
（2）解：由余弦定理cos B =
+21-29
22
2⨯20⨯21
=0. 选（A ）
（3）解：设a =3x , b =5x , c =7x ，最大角为C.
(3x ) +(5x ) -(7x )
2⨯(3x ) ⨯(5x )
2
2
2
cos B ==-
12
. ∴C =120︒. 选（C ）
(4)解： (a +b +c )(b +c -a ) =3bc , (b +c ) 2-a 2=3bc ,
b +c -a
2bc
2
2
2
b +c -a =3bc , cos A =二、填空题 （5）解：cos B =
222
=
12
, A =60 选（B ）
3+2-(7)
2⨯3⨯2
2
2
222
=
12
. ∴B =60︒.
(6)解：由余弦定理c =
4
4+6-2⋅4⋅6cos 120︒=
76sin 120︒
5719
76,
再由正弦定理
sin A
=32
⇒sin A =.
(7) 解：将2b =3c ⇒b =
2
2
2
222
c 及a =3代入a =b +c +bc 得：c =6, 因此b =9,
另一方面由a =b +c +bc ⇒A =120︒.
∴S ∆ABC =
12
bc sin A =
12
⋅9⋅6sin 120︒=
272
3.
三、解答题
（8）请用向量的方法证明余弦定理.
如图，在△ABC 中，AB 、BC 、CA 的长分别为c ，a ，b ，
∵AC ＝AB ＋BC ，根据向量的数量积得：
AC ·AC ＝（AB ＋BC ）·（AB ＋BC ）＝AB 2＋2AB ·BC ＋BC 2＝AB 2＋
2|AB ||BC |cosθ＋BC 2
其中，θ是向量AB 与BC 的夹角，θ＝180°－B
∴AC 2＝AB 2＋2|AB ||BC cos （180°－B ）＋BC 2＝c 2－2ac cos B ＋a 2
222
即b ＝c ＋a －2ac cos B ．
222222
同理可证：a ＝b ＋c －2bc cos A ，c ＝a ＋b －2ab cos C ．
1. 1.3正弦定理、余弦定理应用 .
一、选择题
（1）解：法一：a cos A =b cos B ⇔a ⋅
b +c -a
2bc
2
2
2
=b ⋅
a +c -b
2ac
222
变形整理得(a 2-b 2)(c 2-a 2-b 2) =0⇒a =b 或c 2=a 2+b 2. 故∆ABC 为等腰三角形或直角三角形.
法二：a cos A =b cos B ⇔sin A cos A =sin B cos B ⇒sin 2A =sin 2B . 又 0
（2）由根与系数关系得a +b =23, ab =2. 又由2sin(A +B ) -
3=0⇒sin C =
32
2
.
∴C =60︒. 由余弦定理c = 因为C 为锐角，a +b -2ab cos 60︒=
22
a +b -ab
2
=(a +b ) -3ab =
2
(23) -3⋅2=
2
6. 选(C)
（3）解：选C
sin A +cos A =A +
π
4
而0
π
4
2
2
π
4
2
5π4
⇒-
2
2
2
2
π
4
) ≤1
1-, 2
（4）解：C a -c =b +b , c b +二、填空题
（5）解：由正弦定理
sin 3
=
3sin C
c -a =-, b c o c s A =1 20
π6
⇒sin C =
32
⇒C =
π3
或
2π3
.
当C =当C =
π
3
2π3
时，A =
π
2
, 由勾股定理得a =b +c 3.
22
=23;
时，A =B =
π
6
，a =b =
(6) 7 三、解答题
（7）解： ∵A、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A＝B 或A ＋B ＝． 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
（8）在∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件
c =12+
3
b +c -bc =a 和b
222
，求∠A 和tan B 的值
分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础
知识，考查基本运算能力..
cos A =
b +c -a
2bc
2
2
2
=
12，
解法一：由余弦定理
因此，∠A =60︒ 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.
1+
3=
c b =sin C sin B
=
sin(120︒-B )
sin B
由已知条件，应用正弦定理2
=
sin 120︒cos B -cos 120︒sin B
sin B
=
32
cot B +
1
2
,
解得cot B =2, 从而
tan B =
1
2
2
2
.
cos A =
b +c -a
2bc
2
=
12，
解法二：由余弦定理
222
因此，∠A =60︒，由b +c -bc =a ，
a 2c 2c 1() =1+() -=1++
b b 4得b
3+3-
12
-3=
15
.
4
a
所以b
=
2
.
①
b a sin A =
2⋅32=15.
sin B =
由正弦定理
由①式知a >b , 故∠B
tan B =
sin B cos B
=1. 2
cos B =1-sin
2
B =
2，
从而
1. 2.1 应用举例
一、选择题
（1）已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40 ， 灯塔B 在观察站C 的南偏东60 ，则灯塔A 在灯塔B 的 （ B ） (A)北偏东10 (B)北偏西10 (C)南偏东10 (D)南偏西10 （2）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60 ， 向北航行40分钟后到达点B ，测得油井P 在南偏东30 ，海轮改为北偏东60 的 航向再航行80分钟到达点C ，则P ，C 两点间距离的海里数是 （ A ） (A)207 (B)206
(C)(D)103 二、解答题
（3）如图，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，
测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
解：由正弦定理得
A C sin ∠C B A
=
A B sin ∠A C B
12
12
D
B
，∴
A B ⋅A C sin ∠C A B =
AC=AB=120m，又∵S A B C =
A B ⋅C D
，解得CD=60m。
（4）解：由已知，在△CDB 中，CD ＝21，DB ＝20，BC ＝31，
据余弦定理，有cos ∠CDB ＝
CD
2
+DB
2
-BC
2
2CD ⋅DB 47
3．
＝－
17
．
∴ sin ∠CDB ＝-cos CDB ＝
2
在△ACD 中，∠CAD ＝20°＋40°＝60°， ∴ ∠ACD ＝∠CDB －∠CAD ＝∠CDB －60°． ∴ sin ∠ACD ＝sin （∠CDB －60°）
＝sin ∠CDB cos 60°－cos ∠CDB sin 60° ＝
47
3×
12
－（－
17
）×
32
＝
5314
．
由正弦定理，得 AD ＝
CD sin ∠CAD
· sin ∠ACD ＝15（千米）．
答：此人距A 城15千米．
1. 2.2 应用举例
一、选择题
(1)一电线杆被台风吹断折成60 的角，电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米，则 电线杆原来的高度是 （ C ） (A) 53米 (B) 43米 (C) 33米 (D)3米
(2)山坡与水平面成30 角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 角的直线小路，某人沿
小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为 （ C ） (A) 300米
二、解答题
(3)解：在△B C D 中，∠CBD =π-α-β． 由正弦定理得
B C sin ∠B D C
=
C D sin ∠C B D
(B) 400米 (C) 200米 (D) 2003米
．
所以BC =
C D sin ∠BDC sin ∠CBD
=
s ·sin βsin(α+β)
．
在R t △A B C 中，AB =BC tan ∠ACB =
s ·tan θsin βsin(α+β)
．
(4) 在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线走30米，
测得塔顶的仰角为2θ，再向前走103米，又测得塔顶的仰角为4θ，求塔高. 解：设∠A =θ, ∠BDC =2θ, ∠BEC =4θ
EC =x ，
B
D
E C
则 根据勾股定理得302-(x +103) 2=(103) 2-x 2，解得x =53. BC =
BE
2
-EC
2
=15, 答：塔高是15米。
1. 2.3 应用举例
解答题
（1）解：设所需时间为t 小时，在点B 处相遇（如图）
在△ABC 中，∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t , BC = 9t , 由余弦定理：
(21t ) 2 = 102 + (9t ) 2 - 2×10×9t ×c os120︒ 整理得：36t 2 -9t - 10 = 0 解得：t 1=
23, t 2=-
512
(9⨯
23) ⨯2332
=3314
B
（舍去）
由正弦定理
AB sin 120
=
BC sin ∠CAB
⇒sin ∠CAB =
21⨯
∴∠CAB = arcsin
3314
.
(2) 解：连接BC, 由余弦定理得BC =20+10－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10
sin ACB sin 120︒
7. ，∴sin ∠ACB==
20107
222
37
，
北
∵∠ACB
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援. (3)解：因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以 AG
＝
23⨯
23
，∠MAG ＝
π
6
，由正弦定理
G M
＝s i 6
G A
（s π－i αn －
ππ
6
得G M ＝
）
6sin （α＋
π6
，则S 1＝
）
B
12
GM ∙GA ∙sin α＝
sin α12sin （α＋
π
6
。同理可求得S 2＝
）
sin α12sin （α－
π
6
.
）
1tan a
2
（2）y ＝π
3
2π3
1y 1
2
＋
1y 2
2
＝
144
2
sin α
sin （α＋
2π3
2
π
6
）＋sin （α－
2
π
6
＝72（3＋）〕
π
2
）因
为≤α≤，所以当α＝
π
3
或α＝
时，y 取得最大值y max ＝240，当α＝
时，y 取得
最小值y min ＝216.
全章检测题
一、选择题
（1）解：D sin A =sin 2B =2sin B cos B , a =2b cos B （2）解：由余弦定理得： AB sin C
=
3sin
⇒AB =23sin C ，
AC sin B
=
3sin
⇒AC =23sin B ，
π3
π3
∴∆ABC 周长为AB +BC +CA =23sin C +23sin B +3 =23sin(
2π3
-B ) +23sin B +3=6sin(B +
π
6
) +3. 选（D ）
(3)解：因为a 、b 、c 成等比数列，所以b 2=ac . 由余弦定理得：cos B =
a +c -b
2ac
π3
2
2
2
≥
2ac -ac 2ac
=
12
.
又因为∠B ∈(0，π) ，所以0＜B ≤故选D . (4) 解: ∵A =
∵B +C =
2
．
π
32
，b +
c ， 由正弦定理得sin B +sin C
A =π， ∴ sin B +sin(
32sin B =
32
2
32
.
2π3
3
-B ) =
32
.
B +. 即sin(B +
2
π
6
2
) =
2
. 故选C .
2cos
3π4
(5) 解：由余弦定理得() =BC
BC
2
+(2) -2⋅BC ⋅，整理得：
+2BC -15=0, 解得BC =3. 选（C ）
(6) 解：
p //q ⇒(a +c )(c -a ) =b (b -a ) ⇒a +b -c =ab
2
2
2
∴cos C =
a +b -c
2ab
222
=
ab 2ab
=
12
. 选（B ）
(7)解： a , b , c 成等比数列，∴b a +c -b
2ab
2
2
2
2
2
=ac 又 c =2a , ∴b =
2
2
2a ,
∴cos B =选（B ）
=
a +(2a ) -(2a )
2a ⋅(2a )
=
34
.
(8) 解：由余弦定理得cos A =
9+16-132⋅3⋅43212sin 60︒
=
12
, sin A =
32
.
AC 边上的高=AB ⋅sin A =3⋅=
332
. 选（B ）
二、填空题
(9)解：由正弦定理得
AC sin 45︒
=
⇒AC =46.
（10）解：（1）∵b 2=a 2+c 2-2ac cos B
=2+2-2⋅cos 450
=12+2-1) =8
∴b =
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b +c -a 10
, ∴A =60. ∵
cos A =
2bc 22
2
2
2
2
2
(11)解： A , B , C 成等差数列，∴2B =A +C . A +B +C =π, ∴B =
在∆ABD 中，AD =三、解答题
（12） 解：（
AB
2
π
3
.
AB
2
+BD
2
-2AB ⋅BD cos B =+4-2⨯1⨯2⨯
12
=3.
Ⅰ
+BC
2
）由余弦定理得
34=2.
=AC
2
-2AC ⋅BC cos C =4+1-2⨯2⨯1⨯
∴AB =
2.
（Ⅱ）由cos C =
34
且0
2
74
,
由正弦定理得：sin A =
BC sin C AB
=
8516
. ∴cos A =
528
.
916
由倍角公式sin 2A =2sin A ⋅cos A =7, 且cos 2A =1-2sin
2
A =.
∴sin(2A +C ) =sin 2A cos C +cos 2A sin C =
3
378
. 45
（13）解： 由题意，得cos B =，B 为锐角，sin B =
5
，
sin A =sin(π-B -C ) =sin
107
⎛3π
⎫72
， -B ⎪=
410⎝⎭
12
ac sin B =
12⨯2⨯
107⨯45=87
由正弦定理得 c =， ∴ S =．
（14）解：如图，连结A 1B
1，由已知A 2B 2=
A 1A 2=2060
=
A 2
∴A 1A 2=A 2B 1，
A
1
又∠A 1A 2B 2=180-120=60，
∴△A 1A 2B 2是等边三角形，
∴A 1B 2=A 1A 2=，
由已知，A 1B 1=20，
∠B 1A 1B 2=105-60=45，
A 2
A 1
在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，
B 1B 2=A 1B 1+A 1B 2-2A 1B 2 A 1B 2
cos 45
2
2
2
=20+-2⨯20⨯=200．
22
2
∴B 1B 2=
因此，乙船的速度的大小为
20
．
60=/小时）
答：乙船每小时航行海里．
（15）解：（Ⅰ） C =π-(A +B ) ，
1
∴tan C =-tan(A +B ) =-
1-
+143⨯35
=-1．
又 0
34π，
34
π．
∴
A B 边最大，即AB =．
又 tan A
⎝
2⎭
⎛π⎫
∴角A 最小，B C 边为最小边． sin A 1⎧
=，⎪tan A =⎛π⎫
由⎨cos A 4且A ∈ 0⎪，
⎝2⎭⎪sin 2A +cos 2A =1，
⎩
得sin A =
17
A B sin C
=
B C sin A
得：B C =A B sin A
sin C
=
所以，最小边BC =
第二章 数列
2. 1数列的概念与简单表示法1. 一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．C
二、填空题
n -n +6
2
2
5．
6．
7． 图略。 通项公式为a n =4n ；a n =4n +1
三、解答题
8．(Ⅰ) f (3)=6(Ⅱ) f (n ) =
n (1+n ) 2
提示：第1堆一个球，第2堆底层有1+2个球，…第n 堆
n 2
底层有1+2+3+ +n 个球，把第1行和第n 行加在一起是(n +1) 个球，共有2. 1数列的概念与简单表示法2. 一、选择题
组
1．B 2．C 3．D 4．A
二、填空题
5．(-1) n
n +13n
6．4n +2提示：每个图去掉最左边的两块白色砖后，每块黑色砖都对应
着四块白色砖，所以白砖共有4n +2块.
7． （题条件不全）
三、解答题
8．a 1=2, a 2=3, a 3=5, a 4=9, a 5=17 图中点
的坐标为(1,2), (2,3), (3,5), (4,9), (5,17)
9. (Ⅰ) a 1=-3, a 2=-1, a 3=2, a 4=3, a 5=1, a 6=-2
(Ⅱ) b 1=
13
, b 2=-2, b 3=
32, b 4=
13
, b 5=-2
2.2 等差数列（1） 一、选择题
1．D 2．D 3．D 4．D 二、填空题 5．-48 6.a n =三、解答题
8. a 2+a 5=a 1+d +4d =2a 1+5d =4,
又a 1=
13 ∴d =
23, a n =
13
+(n -1) ⋅
23=23n -
13
12n -3
n
第8题图
7．13
, a n =33, ∴
23
n -
13
=33得n =50
9． 解：运用方程解得：（a 2－d ）+a2+(a2+d)=12…①
（a 2－d ）·a2·(a2+d)=48…②
联立①②解得：a 2=4,d=2
∴a1=a2－d=2.
2.2 等差数列（2）
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．B 二、填空题 5．33,18,3 6．三、解答题
x n =f (x n -1)=
3x n -1(n ≥2)
2n +1
7．14
8．证明：
x n -1+3∴
1-1+31x =
x n n
3x =
n -1
3+
1x n -1
即
1
x -
1n
x =
1n -1
3
∴⎧⎨1⎫
⎩x ⎬为等差数列
n ⎭
9. 解：a m +n =0
2.3等差数列的前n 项和（1） 一、选择题
1．A 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．60 6．
925
7．165
三、解答题 8．a n =2n +1. 9. a n =-55n +580
2.3 等差数列的前n 项和（2） 一、选择题
1．A 2．A 3．A 4．C 二、填空题
5．45 6．210 7．6n-1 三、解答题
8．S 13最大，最大值为169． 9. 2.4 等比数列（1） 一、选择题
1．C 2．A 3．C 4．D 二、填空题
.
5．a n =8⨯(-) n -1 6．480 7．2n -1
2
1
三、解答题 8．a n =3n -1 2.4 等比数列（2） 一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．C
二、填空题
5．1,3,9 6．4 7．x 2－12x ＋25＝0． 三、解答题
8．(1)由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1) ∴a n +1+1a n +1
=2, 故数列{a n +1}是等比数列.
n n
(2)由(1)知a n +1=2∴a n =2-1.
9.a=2，b=5，c=8或a=11，b=5，c=-1 2.5等比数列的前n 项和 一、选择题
1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题
5．a n =2n +1 6．6；2 7．2－三、解答题
8．（1）a n =2⋅3 （2）n=5 数列求和答案
1 C 2 B 3 B 4 B 5 -
n (5n +1)
2
n -1
ｎ＋２２
ｎ
6
13
7
12
8 27,
133
，
9（Ⅰ）证明：由题设a n +1=4a n -3n +1，得
a n +1-(n +1) =4(a n -n ) ，n ∈N
*
．
又a 1-1=1，所以数列{a n -n }是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a n -n =4n -1，于是数列{a n }的通项公式为
a n =4
n -1
+n ．
所以数列{a n }的前n 项和S n =
4-13
n
+
n (n +1) 2
．
（Ⅲ）证明：对任意的n ∈N *，
S n +1-4S n =
12
2
4
n +1
-1
3
+
(n +1)(n +2)
2
⎛4n -1n (n +1) ⎫-4 +⎪
2⎝3⎭
=-
(3n +n -4) ≤0．
所以不等式S n +1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．
数列综合答案
一 选择题：1 D 2 B 3 A 4 D
二 填空题：5 2n -11 6 log
2
5 7 ; 8 8 1-
14
n
８题目中x 2-(3k +2k ) x +3k ⋅2k =应舍去
13
13
12
2
a n =s n -s n -1=a n -a n -1
14
n
∴q =q =
14
提示 ；
a 1=
32
, a 2=
34
∴T =1-
三 解答题
9 (I)解：设数列{a n }的公比为q
本题应把题中的a 4=512改为a 5=512，这样更适合第二问。 由a 2=8, 解得a 1=2,
a 5=512； 可得a 1q =8,
a 1q
4
=512
n -1
q =4 所以，{a n }的通项公式是a n =2⋅4
n -1
（2）由a n =2⋅4；可得b n =2n -1
10解：（1）设{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d =2+3d =11，解得 d =3， ∴
数列{b n }为2，，，5811，，，852．
（2）S 2k -1=c 1+c 2+ +c k -1+c k +c k +1+ +c 2k -1 =2(c k +c k +1+ +c 2k -1) -c k ，
S 2k -1=-4(k -13) 2+4⨯132-50， ∴
当k =13时，S 2k -1取得最大值．
S 2k -1的最大值为626．
5
a 54-a 245-2
=14
11（Ⅰ）设第4列公差为d ，则d =
516
116
==1． 316
a 44a 42
=14
-
1
故a 44=a 54-d =
-
，于是q 2=
12
．
由于a ij >0，所以q >0，故q =
．
18+116
(i -2) =
116
i ．
（Ⅱ）在第4列中，a i 4=a 24+(i -2) d =
由于第i 行成等比数列，且公比q =
⎛1⎫
=i ⋅ ⎪16⎝2⎭
n
12
，
⎛1⎫
=i ⋅ ⎪．
⎝2⎭
n
所以， a ij =a i 4⋅q
j -4
1
j -4j
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得a nn
⎛1⎫⎛1⎫
=n ⎪．即b n =n ⎪．
⎝2⎭⎝2⎭
所以S n =b 1+b 2+b 3+ +b n =a 11+a 22+a 33+ +a nn . ⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
即S n =1⋅+2⋅ ⎪+3⋅ ⎪+ +(n -1) ⋅ ⎪
2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭1
2
3
4
1
23n -1
⎛1⎫
+n ⋅ ⎪，
⎝2⎭
n
n +1
n
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
故S n =1⋅ ⎪+2⋅ ⎪+3⋅ ⎪+ +(n -1) ⋅ ⎪+n ⋅ ⎪2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫两式相减，得S n =+ ⎪+ ⎪+ + ⎪-n ⋅ ⎪
22⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
1
1
2
3
n
n +1
．
n
1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n +1n n +12⎢2⎝⎭111⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-n ⋅ ⎪=1- ⎪-n ⎪，
12⎝⎭⎝2⎭⎝2⎭1-2
所以S n =2-
12
n -1
-
n 2
n
．
全章检测题答案 一 选择题:
1 A 2 A 3 C 4 A 5 C 二 填空题:
6 84 7 512 8 26 9 (1+p )
12
-1 10
53
7
7
a 1+a 7=2a 4∴a 1+a 4+a 7=3a 4
a 9+a 11=2a 10
8 提示:∴2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=6(a 4+a 10)=6(a 1+a 9)
∴S 13=26
三 解答题:
11解 （Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d , 由题意知
⎧⎪⎨
na n (n -1)1+
2d =n 2
, ⎪⎩a 2
-a 1+a 4-a 3+⋅⋅⋅+a n -a n -1=n . ⎧a +n -1d =∴⎪⎪1n , ⎨2 ∴a 1=1, d =2.
⎪d ⎪⎩2
n =n . ∴a n =2n -1.
2
n
证明（Ⅱ）由S ⎛11 ⎫⎝2⎪=1⨯+3⨯⎛1⎭2 ⎫⎪+⋅⋅⋅+(2n -1)⨯⎛1 ⎫
⎝2⎪, ①
⎝2⎭⎭
则1
2
n
n +1
2S ⎛1 ⎫⎪=1⨯⎛1 ⎫⎪+⋅⋅⋅+(2n -3)⨯⎛1 ⎫⎪+(2n -1)⨯⎛1 ⎫
⎪. ⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭ ①-②得,
1
2S ⎛1⎫1⎡⎢⎛1⎢ ⎫2
⎪+⋅⋅⋅+⎛1 ⎫n ⎤⎪⎥-(2n -1⎛1n +1
⎪=+2⎫⎭2⎣⎝2⎭⎝2⎭)⎥ ⎦
⎝2⎪ ⎝2⎭n -2⨯1⎡⎛1⎫1
⎤ =14⎢1-⎢ ⎣⎝2⎪⎭⎥⎥⎦
n +1
2+
1-1-(2n -1)⋅⎛1 ⎫⎝2⎪ ⎭2
n +1
=3
⎛1n -1
2- ⎫-
3⎝2⎪(2n -1)⋅⎛1 ⎫
⎭
⎝2⎪
⎭
2
(n 是正偶数),
∴S
⎛1⎫
2⎪
②
12 证明：(Ⅰ) 依题意c n =a n +1— a n ，
∴ c n =[((n +1) 2-
25
13
5213
(n +1)]-[n -n ]=5n -4． 22212
n
(Ⅱ)(1)由c n — a n =2n 得a n +1— a n — a n =2n ，即a n +1=2a n +2n ．
∴
a 12a n +12
n +1
=
a n 2
n
+，即
a n +12
1
n +1
-
a n 2
n
=
1212
．
为公差的等差数列．
∵a 1=1，=
12
，∴{
a n 2
}是以
2
为首项、
(２) 由(1)得a n =⋅2n ＝n ·2，
2n
n -1
∴ S n = a 1+a 2+…+a n =1·2+2·2+…+n ·2， ① ∴ 2S n =1·21+2·22+…+n ·2n ． ①—②得：— S n =1+2+2+…+2
2
n -1
01n -1
② n ·2=
n
—
1-2
n
1-2
—
n ·2，
n
∴ S n = n·2n — 2n +1=(n — 1)·2n +1．
13 (Ⅰ）证明：在已知式中，当n =1时，a 13=a 12 ∵a 1>0 ∴a 1=1
33332
当n ≥2时，a 1+a 2+a 3+ +a n =S n ①
33332
a 1+a 2+a 3+ +a n -1=S n -1 ②
3
①－②得，a n =a n (2a 1+2a 2+ +2a n -1+a n )
∵a n >0 ∴a n =2a1+2a2+…+2an －1+an ， 即a n =2Sn －a n ∵a 1=1适合上式 ∴a n =2Sn －a n (n∈N +
（Ⅱ）解：由（1）知a n =2Sn －a n (n∈N +) ③
2
当n ≥2时， a n -1=2Sn －1－a n －1 ④
2
22
2
③－④得a n －a n -1=2(Sn －S n －1) －a n +an －1=2an －a n + an －1= an + an －1 ∵a n +an －1>0 ∴a n －a n －1=1
∴数列{an }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n
22
第三章不等式
3．1 不等关系与不等式 一. 选择题
1.D 2.C提示：分子有理化 3.C 提示：
1a -1b =b -a ab
①②④正确
4. C 对于A ，B ，倒数法则：a >b , ab >0⇒二. 填空题
5. a ,ab 作差可以判断 6. (46, 68), (5, 27) 7. 第一或第三象限
α是第三象限，则2k 1π+π
32
1a
，要求a , b 同号，
π, k 1∈z
β是第二象限角，则有2k 2π+
π
2
可得2(k 1-k 2) π
α-β
2
π
2
α-β
2
为第一或第三象限角
三. 解答题
8. (x -3) 2-(x -2)(x -4) =1, ∴(x -3) 2>(x -2)(x -4) 即log
12
(x -3)
2
12
(x -2)(x -4)
9. m+n=1且
(
ma +nb
)
2
-(m a +n b ) =ma +nb -(m a +n b +2mn
222
ab )
=ma(1-m)+nb(1-n)-2mnab =mn(a-2ab +b ) =mn(a - ∴3.2一元二次不等式及其解法（1）
一. 选择题
1.C 2. B 3. B 解得-1
2
（2）当ab ) ≥0
2
am +nb ≥m a +n b
交集得-2
5. 不等式ax +bx +2>0的解集是（-1，2）说明方程ax +bx +2=0的两个根为-1，2
2
2
x 1+x 2=1=-
b a
，x 1x 2=
3
2a
=-2，解得a =-1, b =1, 则a+b=0
6. ⎨x -
⎩
⎧14
≤x
⎫
⎧4x 2-3x >013交集得或-≤x
44⎩log 0. 5(4x -3x ) ≥0
7. [-2, +∞); 设x +1=t (t ≥0) ，则x =t 2-1, y =2t 2-2+t , 可得当t=0时y min =-2 三. 解答题
8. x 2-8x +26>0恒成立，要使得mx
2
+2(m +1) x +9m +4>0恒成立，
即使（1）m=0时，显然原不等式不恒成立，
⎧m >0
m ≠0（2）时，m 满足⎨ 2
∆=4(m +1) -4m (9m +4)
改为⇒(, +∞)
4
1
9. 记 F(x)=f(x)－k=(x－k) 2＋2－k －k 2, 则F(x)≥0对x ≥－1都成立,
⎧
⎪∆x ≥0, ⎪
由题意得Δx ＜0或⎨F (-1) ≥0, 求得－3≤k ＜－1. 改为：求得－3≤k ＜1.
⎪-2k ⎪-≤-1,
2⎩
3.2一元二次不等式及其解法（2） 一. 选择题
1.B 2.D 3.A 4.C
2. 提示：讨论x 的正负或利用数形结合 4. log a (x -2x +3) ≤log (1)当a>1时x -2x +3≤
2
2
1
a
a
,
1a
不恒成立
1a
2
（2）当0
在x ∈R 上恒成立，则有∆=4-12+
4a
≤0
解得 a ≥二. 填空题
12
，交集得
12
≤a
⎧x 2-3>0⎪
5. 原不等式等价于⎨2x -3>0，交集得x ∈(3, 2) (2, +∞)
⎪2x -3≠1⎩
⎧(x -3)(10-x ) ≥0⎧(x -3)(10-x ) ≤0
6. 原不等式等价于⎨2 或⎨2
⎩x (x -1) >0⎩x (x -1)
解得(-∞, 0) (0, 1) (3, 10)
⎧1-x >0⎩1+x >0
⎧1-x
7. 原不等式等价于⎨三 . 解答题
或⎨
，解得x ∈(-∞, -1) ⋃(-1, 1)
8. 解A 集合得-3
1.B 2.B 3.D 4.D
2.a=-3x+2y, a min =-7, a max =24
4. 提示：画出x +y ≤4所表示的平面区域，用画格子法将其分成小正方形，则这些小正方形的顶点为整点，一共41个。 二. 填空题 5.
1214
6. 36
三. 解答题
7. 直线x-y =3的右下方与直线x+y=0的右上方与直线x =4左方的公共部分. 8. 直线x-y-1=0的左上方与直线2x-y-3=0的右下方公共部分.
3.3.2简单的线性规划问题（1） 一. 选择题 1.C 2.A 3.B
3. 利用指数函数y =3为增函数的性质. 二. 填空题
4. 9 5. 2 , 注意本题的可行域
x
⎧x -y ≥0，⎪
⎪2x +y ≤2，
6. 不等式组⎨，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0) ，(1，0) ，
⎪y ≥0，⎪⎩x +y ≤a
(
23
，
23
) ，第四个不等式x +y ≤a ，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当0
43
表示的平面区域是一个三角形，当a ≥时，表示的平面区域也是一个三角形.
题目中第二个不等式印错了应为2x +y ≤2 3.3.2简单的线性规划问题（2） 一. 选择题
1.C 2.B (使得z 取最大值的最优解为直线系y =2x -z 截距取最小值的点)
3. B 提示：设截成长518mm 的x 段，698mm 的y 段，则518x+698y≤4000, 其中x,y 为⎧518x +698y ≤4000, ⎪
正整数，即满足⎨x >0, 的整点，且最接近直线l 的为（5，2）点，最大利
⎪y >0⎩
用率为
(5⨯518+698⨯2) ÷4000=99. 65%
⎧2m +n ≥15, ⎪
⎪m +2n ≥18
4.C 可得不等式组⎨，结合图形可得m+n的最小值为12
m +3n ≥27⎪
⎪m , n ∈N *⎩
二. 填空题 5. k =
的几何意义为可行域上的点与原点连线的斜率的最大值与最小值k ∈⎢, 2⎥ x ⎣2⎦
2
y
⎡1⎤
6. x +y 的几何意义是可行域上点与原点距离的平方的最大值13 7. 画图分析可得2≤k
8. (x +1)+(y +1)的几何意义是区域上的点到点（-1，-1）的距离平方的最小值为
2
2
2
12
3.3.2简单的线性规划问题（3）
1. 用甲、乙两种薄板各5张, 才能使总的用料面积最小, 最小值为25m 2. 2. 生产200把椅子,900张书桌可获得最大利润21000元. 3. (Ⅰ) c = 400+7x +5y
(Ⅱ) 当x =50kg , y =20kg , z =30kg 时, 混合物成本最低为850元.
3.4基本不等式ab ≤一. 选择题
1.A 2. B 3. D 4. B 3.log 5x+log5y =log 4.Q=
12
5
a +b 2
（1）
xy ≥2, xy ≥25, x +y ≥2xy , x +y ≥10
(lga
+lg b ) >=
P , Q=
12
lg ab =lg
a +b 2
) =R , 即P
二. 填空题
5. 2x +5y =20≥2xy , 解得xy ≤10，lg x +lg y =lg xy ≤1 6. 4 7. 1 三. 解答题 8. (
1a 1a -1)(
1b 1b -1)(
1c 1c -1) =
b +c a +c a +b 2bc ⋅2ac ⋅2ab
⋅⋅ ≥a b c abc
即(-1)(-1)(-1) ≥8，当且仅当a=b=c时等号成立
9. 因为-10 ∴0
f (x 1-1) +f (x 2-1) =log
x 1+log
x 2
a a
则
f (x 1-1) +f (x 2-1)
2
=log
a
x 1x 2，f (
x 1+x 2-2
2
) =log
x 1+x 2
a
2
x 1+x 2
2
≥
x 1x 2，则log
x 1+x 2
a
2
≤log
a
x 1x 2，
即
f (x 1-1) +f (x 2-1)
2
≥f (
x 1+x 2-2
2
)
3.4基本不等式ab ≤一. 选择题
1.B 2.C 3.D 4.B
a +b 2
（2）
1111⋅=，当且仅当3x=1-3x，即x =时等号成立
334126113
) ≤3-23 2.3x +≥23 则y =3-3x -=3-(3x +
x x 3x
1. 原式=3x ⋅(1-3x ) ≤
1
3. 选项A 中x 必须大于0 选项B ，C 等号不能成立 D.当且仅当x=0时等号成立 4.(1)(2)不能保证
b a 1
, 以及lg x , lg y 为正 （3）当x
二. 填空题
5. 22 6. 8 ,2 7. (4, +∞) 三. 解答题
8. 解法一：由x+y=6,∴y =6-x , ∴x 2+y 2=x 2+(6-x ) 2=2(x -3) 2+18
当x=3时，(x 2+y 2) min =18
x +y 2
2
2
1a
+
1b
=
a +b a
+
a +b b
=2+
b a
+
a b
≥4, 但a ≠b 因此等号不能成立。
解法二， ≥
x +y 2
=3, ∴x 2+y 2≥18, 当x =y =3时(x 2+y 2) min =18
解法三：利用几何意义求解，此题是求线段x+y=6上的一点到原点距离（平方）最小 9. x
54
，∴5-4x >0，∴y =4x -2+
15-4x
14x -5
=-(5-4x +
15-4x
) +3≤-2+3=1
当且仅当5-4x =全章检测题 一. 选择题
时等号成立 即x=1时，符合条件。
1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 6. 设所需要的时间为t, 则t =二. 填空题
7. 充分不必要条件 8. 5 9. {x x 1} 10.
a 1+a 2+ +a m
m n -m
≤
a 1+a 2+ +a n
n
≥
n
(1≤m
1⎡v 2⎤40025v 400+25() =+≥10小时 ⎢⎥v ⎣20⎦v 400
a m +1+a m +2+ +a n a 1+a 2+ +a n
三. 解答题 11. k AD =-
12
, k CD =1 , 若目标函数z =ax +y 只在点D 处取得最优解，
12
即 函数y=-ax +z 的斜率为-a 满足-a>1或-a12. (x+y)(
1x +a y ) =1+
y x +ax y
12
或a
解得a >
12
或a
2
+a ≥1+a +2a =(a +1) ≥9, ∴a ≥4
所以 正实数a 的最小值为4
13. 解：设f （x ）＝x ＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－
若－－
52a 2
2
a 212
〕上是减函数，应有f （
12
≥
12
，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，）≥0⇒
≤x ≤－1
a 2
若－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，
12
〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，
故a ≥0 若0
a 2
12
，即－1≤a ≤0，则应有f （－
a 2
）＝
a
2
4
－
a
2
2
＋1＝1－
a
2
4
≥0恒成立，故
－1
综上所述，实数a 的取值范围是 a ≥-
14. 解：买回来x 周的总维修保养费为S =500x +
S +500000
x
x 2=500000
x
x (x -1) 2
52
，每周平均费用为：
12
12
Y ==500-
12
+
x 2
+
500000
x
≥500-
12
+2
x 2
⨯
500000
x
=1500-=1499
当
即x =1000时取等号。因此1000周后报废最合算。