有理数及运算中的分类讨论思想

山西邵创业

分类讨论思想：当我们所要研究问题的结果有多种情形，而不能归结到同一种模式下的时候，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后将各种结论进行汇总，这种处理问题的方法就是分类讨论思想.

下面略举几例，希望对同学们有所帮助。

例1 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？

分析：我们知道，对于范围在0到1之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字本身的；而对于大于1的数，它们的平方是大于这些数本身的。由于题目中所给数的范围没有明确出来，因而我们无法确定这个数的平方与它的绝对值（我们可以看做是这个数的正值）的大小，所以需要分情况进行讨论。亦可辅助数轴进行讨论.

解：分类的思想是先讨论特殊点，再讨论其他的范围。

不妨设这个数为a .

（1）当a =±1或a =0时，此时│a │＝1或0时，有 a 2=│a │；

（2）当a ＞1或a ＜－1时，此时│a │＞1，有 a 2＞│a │；

（3）当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，此时0＜│a │＜1，有a 2＜│a │.

点评：利用分类讨论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏。

下面再略举几例，希望对同学们有所帮助。

例2 若a =1, b =4, 且ab

分析：由a =1, b =4, 得a =? 1, b

又ab

所以当a =1，b =-4时，a +b =1+（-4）=-3；

当a =-1，b =4时，a +b =（-1）+4=3。

故a +b 的值为-3或3。

例3 比较a +b 和a +b 的绝对值大小。

分析：先考虑特殊值。

当a 或b 至少有一个为0时，有a +b =a +b ；当a , b 同号时，有a +b =a +b ；

当a , b 异号时，有a +b >a +b 。综上可知a +b ? a b 。

例4化简式子x +2+x -

分析：借助数轴，按照x 的范围进行分类讨论。

当x ? 2时，原式=-x -2-（x -1）=-x -2-x +1=-2x -1；

当-2

当x ? 1时，原式=x 2+x -1=2x +1。

评述：运用分类讨论思想解决问题，首先是化整为零，化大为小，使得每个小问题都易于解决，其次是分类标准为解题提供了参考的依据。另外还必须注意两个基本原则：（1）分类标准必须统一；（2）注意做到不重不漏；（3）借助数轴解题。