浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
一、 极限与连续
1、
求lim−(x+2)]
x→+∞
2、 求lim(−
x→0
1x1 x
e−1
3、
求lim
x→−∞
x
x+lnx4、 求
x→0
1x．
5、 求 lim(e−x)
x→0
x
6、 求lim
sinx−tanx
x→0tanx(ex−1)ln(1−x)12+cosxx[(−1] 3x37、 求lim
x→0
8、
求x→0
9、
求lim
1
2
x,
10、 求lim(cosx)sin
x→0
1
x
sinxx 11、 求lim(
x→0x
1
12、 求lim(xsinx+cosx)x.
x→0
1
13、 求 lim(sinx+cosx)
x→0
2
x．
2+cosxx2
14、 求lim().
x→03
1
1−1
15、
若lim=求：a的值. ax→0x2
16、 设un=（1+L（1+，求：limun. 1+nn→∞nn
12
n
1n
x+enx
17、 设当x>−1时f(x)=lim，讨论f(x)的连续性．
n→+∞1+enx
18、 设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)−v(x)，并设limu(x)与limv(x)均不存在，则下
x→0
x→0
列结论正确的是 【 】 （A）若limf(x)不存在，则limg(x)必存在；
x→0
x→0
（B）若limf(x)不存在，则limg(x)必不存在；
x→0
x→0
（C）若limf(x)存在，则limg(x)必不存在；
x→0
x→0
（D）若limf(x)存在，则limg(x)必存在.
x→0
x→0
二、 导数与微分
1、 设y=(cosx)sinx+(arcsin2x)3+eπ，求：dy. 2、 设y=
dy1
tan5x+e4xxcosx+lnπ，求：. 2dx
dyf2(cosx)
3、 设f(x)可导，y=x，求：.
dx
lnx
4、 求：y=(x>0)的值域.
x
(10)
5、 设 y=xln(1+x)，求：y对x的10阶导数y(x).
dxd2x
6、 设函数x=x(y)由y−x+sinx=0所确定，求：2
dydy
7、
设y=arcsin
xe，求：dy.
2
2x
=t2
d2yx∫0cossds,
8、 设y=y(x)由参数式所确定，求：2.
dx4y=sint,
9、 设y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx所确定，求：
dy
dx
．
x=0
10、
设y=+xe，求：dy.
2
3
2x
11、 设y=y(x)是由方程ln(x+y)=xy+sinx所确定，求：
sin4x
+(arctan2x)3+ln2，求:12、 设y=x
dy
dx
．
x=0
dy. dx
x+y
13、 设y=y(x)是由方程e−2x−xy−1=0确定的x的可导函数，求：dyx=0.
14、 设f′′(a)存在，f′(a)≠0，求：lim[
x→a
11
−.
f′(a)(x−a)f(x)−f(a)
x→∞
15、 设f(x)在(a，+∞)内可导，且limf′(x)=a,证明：lim
x→∞
f(x)
=a． x
dyd2yx=sint−arctant,x
16、
设,2 3.
设y(x)=arccote−，求y′(x). 求
dxdxy=ln(t+d2yx=17、
设,求2.
dxy=arcsint
18、 设由参数式
x=t+arctant+1
3
y=t+6t
，所确定的函数y=y(x)在t=−1处的一阶导数
dy,dx
d2y
及二阶导数2.
dx
x=t2+2t
19、 设由参数式，确定了y为x的函数y=y(x)，求曲线y=y(x)的凹、
y=t−ln(1+t)
凸区间及拐点坐标（区间用x表示，点用(x,y)表示）. 20、 求函数y=x⋅2的极小值.
21、 求由方程2y−2y+2xy+y−x=0确定的函数y=y(x)的极值,并问此极值是极大
值还是极小值，说明理由．
22、 求曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程23、 求曲线ln(y+x)−cos(xy)=x上点x=0处的切线方程. 24、 设x>0,证明f(x)=(x−4)e−(x−2)ex+2
x
2
3
2
2
x
4
(b−a). 2e
exsinx
26、 已知F(x)=x
a
数连续.
x≠0x=0
为连续函数.（1）求常数a； （2）证明F(x)的导函
27、 设常数a>0，讨论曲线y=ax与y=2lnx在第一象限中公共点的个数.
28、 设f(x)在(−∞,+∞)上存在二阶导数, f(0)0,证明: (1) f(x)至多有两
个零点,至少有一个零点；（2）若f(x)的确有两个零点，则此两个零点必反号（.注：f(x)的零点就是方程f(x)=0的根）
29、 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，(a，b)内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理；
（II）如果再设f(a)=f(b)，且f(x)不是常数，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使
f′(ξ)>0．
30、 证明函数f(x)极值的第二充分条件定理：
（1）设f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0,f′′(x0)=A>0(A
（2）并请举例说明：上述定理仅是充分条件而非必要条件，即：f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0，f(x0)为f(x)的极小（大）值，但f′′(x0)并不一定为正（负）． 31、设y=f(x)为连续函数，除点x=a外，f(x)二阶可导，y′=f′(x)的图形如图，则
y=f(x) 【 】
（A）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.
32、曲线y=
1
+ln(1+ex)的渐近线的条数 【 】
x(x−1)
（A）4条； （B）3条； （C）2条； （D）1条.
x2n−1+x2+x
33、设f(x)=lim，则f(x)的不连续点的个数为 【 】 2nn→∞x+1
（A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）多于2个. 34、设f(x)在[a,b]上可导，且f′(a)>0,f′(b)f(a)； （B）至少存在一点x0∈(a,b)使f(x0)>f(b)； （C）至少存在一点x0∈(a,b)使f′(x0)=0； （D）至少存在一点x0∈(a,b)使f(x0)=
1
2
(f(a)+f(b))． 三、 不定积分
1、 求∫2x+1
x2+2x+2dx. 2、 求
∫1
(x+1)(x2+1)dx 3、 求
∫1
x2(x+1)dx.
4、
求
． 、 求∫arcsinex
5ex
. 求∫arctanex
6、 e2x
.
7、 求
∫xcosxsin2xdx.
8、 求∫ln(1+x2)
x
3
dx,
x2−x+1
9、 求∫lnxdx, 2
x(x−1)
四、 定积分
1.
求
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
1−11−11−12−2π060
3+x2
2.
求3.
求4.
求5. 求6.
求
(x3+x2 (x+2x), (x3+2xx, x
sin2x
． 2
1+cosx
.
x3e−xdx. .
+∞0
2
7.
求
+∞2
8.
求
+∞1+∞0+∞0
9. 求
10.
求
11.
已知
∫
e
−x2
−x
+∞dx=，求：∫．
0212. 设f(x)=
∫
1x
sintdt，计算：∫f(x)dx及lim
x→1
2
1
f(x)
x−1
π
13. 已知f(0)=a,f(π)=b,且f′′(x)连续，求：14. 已知
∫[f(x)+f′′(x)]sinxdx
.
sinx3
是f(x)的一个原函数，求：∫xf′(x)dx. x
15. 设b为常数，且积分
∫
+∞1
x2+bx+1(−1)dx收敛，并求b的值及该积分的值. x(x+2)
S(x)
.
x→+∞x
16. 设S(x)=
∫
x0
sintdt, (1) 求：S(π)及S(nπ)；(2) 求：lim
17. 设常数α>0，积分I1=
∫
π20
π
cosxsinx2
dx与I=dx， 2αα∫01+x1+x
试比较I1与I2的大小是I1>I2，I1
18. 设y=y(x)是由y+xy+x
x
32
∫−2x+1=0及y(1)=0所确定，求：lim
x→1
x1
y(t)dt
3
(x−1)
.
x2
19. 当x→0时，∫ecostdt−x−与AxB等价无穷小，求：常数A与B的值.
02
t
20. 设f(x)在[01]，上连续，f(0)=0，并设f(x)在x=0处存在右导数f+′(0)=1，又设
x→
0时，F(x)=x∫A的值．
+
x20
f(u)du−∫
x20
(u)du与Axn为等价无穷小，求：常数n及
21. 设f(x)连续，且f(x)在x=0处存在一阶导数，f(0)=0，f′(0)=1，并设
F(x)=∫
t
x20
f(u)du，已知当x→0时F(x)与Axn为等价无穷小，求：A与n的值．
t
2
dyd2y
22. 设x=∫eds，
y=∫sin(t−s)ds，求：t=处的及2.
00dxdx
−s2
x=tcoss2ds2
dy∫023. 设y=y(x)由参数式所确定，求：2. dx4siny=t
24. 求曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所得的
旋转体体积Vx和Vy.
25. 在曲线段 y=x(0≤x≤8)上, 求一点P(a，a)使得过P点的切线与直线
y=0，x=8所围成的三角形的面积最大．
26. 设曲线C1:y=1−x2(0≤x≤1),x轴和y轴所围区域被曲线C2:y=ax2(a>0)分为面
积相等的两部分，试求常数a的值.
27. 设a
围成的图形的面积D=积V最小.
2
2
2
1
，试确定常数a与b使该图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体3
28. 设曲线y=ax2(x≥0，常数a>0)与曲线y=1−x2交于点A，过坐标原点O和点A的
直线与曲线y=ax2围成一平面形D．
(I) 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体体积V(a)；（II）求：a的值使V(a)为最大. 29. 求由曲线y=x与y=x+2围成的图形绕直线y=4旋转一周所生成的旋转体体积V. 30. 过坐标原点作曲线y=ex的切线L， (1) 求：L的方程；
（2）以曲线y=e，切线L及x轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记为D，求
x2
D的面积；
（3）将D绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V，求V的体积.
31.
设α=
∫
6arcsint2dt，β=∫(et−1)dt，则x→0时 【 】
x
2
（A）α与β是同阶但不等价无穷小. （B）α与β是等价无穷小. （C）α是β的高价无穷小. （D）β是α的高价无穷小.
ex
31. 设f(x)=
x
x(x≤0)
，F(x)=∫f(t)dt，则F(x)在x=0处 【 】
−1(x>0)
（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；
（C）连续但不可导； （D）可导.
五、 无穷级数
∞
2n+12n2n+1n
的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求∑的和. 1. 求幂级数∑n!n!n=0n=0
∞
2. 设f(x)=
x
，试将f(x)展开成x的幂级数，并求f(n)(0)2
2x−3x+1
(n≥1).
∞
(−1)n1−2x
3. 将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数，并求级数∑的和.
1+2x2n+1n=0
4. 试将函数f(x)=arctan
∞
1−2x
展开成x的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. 1+2x
5. 求幂级数
n!n
的收敛半径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. ∑nnn=1
enx2
6. 设n为正整数，F(x)=
∫
x0
edt+∫
−t2
1
dt t4+1
（I）试证明：函数F(x)有且仅有一个（实）零点（即F(x)=0有且仅有一个实根），
并且是正的，记此零点xn； （II）试证明级数
2
x∑n收敛． n=1∞
7. 将函数f(x)=xarctanx−
并指明成立范围.
1
ln(1+x2)在x=0处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）2
(−1)n−12n
8. 求幂级数∑x的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求其和函数.
−2n1n=1
∞
(−1)n
9. 设常数 a满足0
n=1(1+a)n
∞
是发散? 请说明理由. 10. 试将函数f(x)=11. 设an=
1
展开成x−2的幂级数，并写出其成立范围. x2
n−1
∫
10
x(1−x)
dx(n=1，2，L)，(1) 求an； (2) 求∑(−1)nnan.
n=1
∞
12. （1）写出f(x)=e
（2）积分
x2
+e
−x2
展成x的幂级数展开式，并写出其收敛域；
1
x3
−x3
∫
10
(e+e
x2−x2
)dx与积分∫(e+e
)dx谁大谁小，并请说明理由．
13. 设f(x)在区间(0,1)内可导，且f′(x)≤M（M为常数）
证明：① 级数
∑(f(
n=1
∞
111
−f(绝对收敛；② 极限limf()存在.
n→∞2n2n+12n
14. 设an>0(n=1,2,L)，下列结论正确的是 【 】
∞
an1
（A）若存在N>0，当n>N时均有
ann=1∞an1
（B）若存在N>0，当n>N时均有>1，则∑an必发散.
ann=1
∞
（C）若
∑an收敛.则必存在N>0，当n>N时必有
n=1
an+1
（D）若
∑an发散.则必存在N>0，当n>N时必有
n=1
n
∞
an1
>1． an
15. 设级数
∑a
n=1∞n=1∞
∞
收敛，则下述结论不正确的是 【 】
（A）
22
(a+a)必收敛. （B）(a−a∑nn+1∑nn+1)必收敛.
n=1∞
∞
（C）
∑(a
n=1
2n
+a2n+1)必收敛. （D）∑(a2n−a2n+1)必收敛.
n=1
六、 其它
1. 已知抛物线y=ax+bx+c过点(1，2)，且在该点的曲率圆方程为
2
151
(x−2+(y−2=. 则：a=，b=c=222