关于"鸡兔同笼"问题的教学思考

　　摘 要：“鸡兔同笼”问题的教学应进行教师乐教、学生乐学、教学方式多样化、教学探究充满激情和立足于“为了学生的发展”的思考。其解题方法除了假设法、列举法和方程法外，还应该有面积法。其题型应有拓展。 　　关键词：小学数学；鸡兔同笼；教学方法；教学思考 　　中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）06-0067-03 　　一、“鸡兔同笼”问题的教学背景 　　“鸡兔同笼”是中国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中鸡和兔各有几只？ 　　因为“鸡兔同笼”问题的趣味性和拓展的广泛性，也因为其解题方法的代表性，因此，使得这类问题频频出现在当今的各种小学数学竞赛中或各种奥数读本里。在新课改的教材中，“鸡兔同笼”也堂堂正正地与小学数学新课程“同笼”。其实，无论从哪个角度来说，小学数学教学中都应该有“鸡兔同笼”的一席之地。也可以这样说：只要有小学数学的存在，就应该有“鸡兔同笼”的存在。 　　关于“鸡兔同笼”的教学，所呈现的景象是：教师乐教，学生乐学，教学方式多样化，教学探究的文章在有关刊物屡屡出现。这种教与学的氛围、教学方式的多样化和满怀激情的教学探究，已经超越了问题本身，促进了学生快乐地“学”，教师有效地“教”。 　　二、“鸡兔同笼”教学中的解题方法 　　“鸡兔同笼”问题呈现在教学中的解题方法，归纳起来有下面几种。 　　问题：鸡兔同笼，有12个头，30条腿。鸡、兔各几只？ 　　（一）假设法 　　假设法就是先假设全都是鸡（或兔），然后根据由假设得到的腿数与实际腿数的差，就能求出兔（或鸡）的只数。 　　解：（30-2×12）÷（4-2）=3（只），12-3=9（只） 　　答：鸡9只，兔3只 　　（二）列举法 　　列举法就是列出鸡和兔的各种可能的情况，然后根据腿的总数是否符合来求解。 　　答：鸡9只，兔3只。 　　（三）方程法 　　方程法就是设鸡（或兔）的只数是x，列一元一次方程即可求解 　　解：设鸡有x只，则 　　2x+4（12-x）=30 　　解得：x=9，12-9=3（只） 　　答：鸡9只，兔3只 　　（四）面积法 　　面积法就是将鸡与兔的只数作为长方形的一边，每只鸡或兔的腿数作为长方形的另一边，根据长方形的面积对应的腿数来求解。 　　解：以长方形的一边表示鸡与兔的只数，另一边表示每只鸡或每只兔的腿数，那么相应长方形的面积表示鸡与兔的腿的总数，如图所示： 　　4×12=48（条） 　　48-30=18（条） 　　18÷（4-2）=9（只） 　　12-9=3（只） 　　答：鸡9只，兔3只。 　　三、关于“鸡兔同笼”问题的教学思考 　　（一）关于解题方法的思考 　　以上几种解题方法各有千秋，对于培养小学生的发散思维能力、感悟数学的思想和方法、提高数学学习的情感和兴趣等方面都将产生非常积极的影响。 　　假设法是教学中用得最多的方法，很多教师一看到“鸡兔同笼”问题，就定格为假设法而忽视其他方法。 假设法也确实能够便于小学生接受，只要学会假设，同时学会寻求两个差相除，问题就得以解决。假设法是解决这类问题的一种行之有效的方法，而利用两个差相除的方法还不仅仅是假设法才用到。 　　列举法应该是在学生还没能掌握假设法之前就能够想到的方法，这符合儿童的认知特点。虽然在列举的过程中也许有学生会直达目标，但只有列举出所有情况才能肯定有且只有一个答案。这就会自然出现一个感觉上不太愉快的问题，那就是一一列举的操作量的问题，倘若把题目中的数据换大，势必带来操作量过大的麻烦。因此，教师还须探究更为简便可行的方法。 　　方程法也应该是在学生能够想到的方法，对于小学高年级的学生来说，已经具备列一元一次方程求解应用题的能力。此时运用方程法，可巩固和提高列方程解应用题的能力，同时能够感受到方程法在数学运用上的普适性。这也为学生进入初一阶段的学习，包括学习二元一次方程组，都是一种铺垫和过渡。因此，方程法的运用不可不提。 　　面积法，这是一种具有挑战性的方法，既是对学生的挑战，也是对教师的挑战。面积法使得数与形巧妙地结合在一起，不仅体现出数形结合的思想和方法，而且体现着一种数学的美。在这里，腿的数量存在着鸡与兔的只数和每只鸡与兔的腿数的乘积关系，而能够反映两个量乘积关系的几何意义的平面图形，莫过于熟知的长方形。进而，只要是能够反映两个量乘积关系的应用题，教师不妨试一试面积法。这样，面积法的运用就可能转化为一种意识，就会随之而扩大运用的范围，如行程问题、工程问题、盈亏问题，甚至较复杂的计算题。事实上，对于数学的学习，一旦学会了数形结合，也就使学习进入一个新天地。 　　那么，只有这些方法都展示出来，才能显示其千秋，比较其忧劣。也许有的方法并不简便，也并不易于接受，但是各种方法的数学内涵是不能相互替代的。“鸡兔同笼”教学的目的，并不仅仅是能够给出一个求解问题的方法，而应该是能够探究出解决该类问题的多种方法。否则，怎样体现新课程理念？又怎样体现课堂教学较之奥数辅导的优越性？新课程理念的核心是问题的探究，是探究的过程，是探究的过程中的创新，从而具有数学学习的情感、态度和价值观，而传统教学和奥数辅导所缺乏的正是这些。因此，借助“鸡兔同笼”的教学机会，就应该展示出这些解题方法。 　　（二）关于题型拓展的思考 　　“鸡兔同笼”教学的目的，并不仅仅是能够求解一个“鸡兔同笼”问题，而是能够求解一类“鸡兔同笼”问题。事实上，“鸡兔同笼”展现的是这样一类问题：把有联系的两种事物放在一起描述，已知这两种事物的总数和关于这两种事物本身特有的另一个数量，求这两种事物各自的数量。这类问题就是一个具有普遍性的问题，“鸡兔同笼”只不过是其中的一个代表，而用“鸡兔同笼”来代表这类问题又的确很恰当、很经典，因此，教师不妨称这类问题为“鸡兔同笼”问题。 　　既然“鸡兔同笼”是一类题型，那么，在教学中就应该将“鸡兔同笼” 拓展为一类问题，而不是一个问题，不只是鸡兔同笼本身。因此，教师有必要将问题进行拓展，让学生看到形形色色的生活中的“鸡兔同笼”类型问题。在“鸡兔同笼”这个大类问题中，存在着若干小类的问题，常见的有下列问题： 　　1.支付问题：某零件加工厂按工人完成的合格零件和不合格零件支付工资。工人每做一个合格零件得工资10元，每做一个不合格零件被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件得工资90元。那么他在这一天做了多少个不合格零件？ 　　2.装载问题：有大小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？ 　　3.比赛问题：赢一场球赛得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队踢12场，负6场得分16分，问胜了几场？ 　　4.计数问题：一份中学数学竞赛试卷共15题，答对一题得8分，答错一题或不做答均倒扣4分。有一个参赛学生得分为72，这个学生答对的题目个数是多少？ 　　5.购买问题：红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红、蓝铅笔各买几支？ 　　6.工程问题：一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？ 　　7.贷款问题：某公司向银行申请A、B两种贷款共60万元，每年共需付利息5万元，A种贷款年利率为8%，B种贷款年利率为9%，该公司申请了A种贷款多少万元？ 　　8.年龄问题：今年是2012年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁，四年后父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？ 　　9.币值问题：买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？ 　　10.行程问题：从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小时3千米，平路速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时。问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？ 　　在这些“鸡兔同笼”类型的问题中，都有对应的“鸡”和“兔”，都有对应的“鸡腿数”和“兔腿数”，都有对应的“鸡兔总只数”和“鸡兔总腿数”。解题时，只须在头脑里装着“鸡兔同笼”即可。 　　（三）关于教学设计的思考 　　“鸡兔同笼”来自人教版六年级数学上册“数学广角”，20多年来首次进入教材和课堂，是人教版新课标教材的一大亮点。关于“鸡兔同笼”的教学设计，主要是处理好两个方面的问题，一是关于教学目标的定位问题，二是关于教学时间的安排问题。 　　1.关于教学目标的定位。前面谈到，“鸡兔同笼”的教学不应该仅仅局限于问题本身，而应该展示出多种解题方法和“鸡兔同笼”题型。那么，教学目标的定位，就应该将此作为立足点。下面给出关于“鸡兔同笼”问题的教学目标，仅供参考。 　　知识与技能目标： 　　（1）认识“鸡兔同笼”的数学趣题，了解与此有关的数学史，学习我国传统的数学文化。 　　（2）认识“鸡兔同笼”的题型，理解、学习“鸡兔同笼”问题的意义。 　　（3）能运用不同方法解决“鸡兔同笼”问题。 　　过程与方法目标： 　　（1）探究“鸡兔同笼”问题的各种解题方法。 　　（2）理解一些基本的数学思想和数学方法。 　　情感、态度与价值观目标： 　　（1）获得解决问题的成功体验，提高学习数学的兴趣。 　　（2）体会“鸡兔同笼”问题在日常生活中的应用，进而体会数学的价值。 　　教学重点：“假设法”和“面积法”的探究；题型的拓展和认识。 　　教学难点：“假设法”和“面积法”的探究。 　　需要说明的是：（1）这里的教学目标是对整个“鸡兔同笼”问题而设计的，一个学时是难以达到的。（2）“假设法”、“方程法”和“面积法”具有普遍性和实用性的运用价值，也是数学思想和方法的体现，“面积法”更是数形结合的思想和方法的体现。由于“列举法”的局限性和“方程法”是学生在五年级上学期学过的方法，“假设法”和“面积法”就成为了教学重点，同时也是教学难点。（3）由于“鸡兔同笼”的题型也作为教学的立足点，所以也就成为另一个教学重点。（4）教师首先要对“鸡兔同笼”问题要有一定的研究，否则，教学就只能是照本宣科或就题讲题，课堂目标就大打折扣。（5）在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求运用某一种方法，只要学生会解决这类问题即可，同时要兼顾学生之间的差异而做好辅导工作。（6）关于“面积法”，似乎未曾有人提到，但笔者坚持将其作为一种重要的方法，比起“假设法”来，其运用范围和数学思想都是有过之而无不及，况且它直观形象而易于接受，对中学数学的学习有非常重要的意义。（7）对于“猜测法”， 我不赞同把它也作为一种让学生学习的方法，因为它是盲目的、无序的、不可操作的。 　　2.关于教学时间的安排。根据教学目标的定位和教学的重点难点，教学时数至少应该是两个学时，第一学时侧重于“鸡兔同笼”问题的解题方法，第二学时侧重于“鸡兔同笼”问题的题型拓展。 　　实际上，按两个学时来达到教学目标依然是时间紧张。尽管在教学中几种解题方法不宜平均使用，题型的拓展也是有选择的，但是解题方法的探究过程、数学思想的体会提炼和题型拓展的认识及其求解方法的巩固，都需要用一定的时间。因此，教师不妨转换一下思维和视角，瞄准课堂教学以外的时间。 　　利用课堂教学以外的时间，历来（包括传统的和现在的）都是被为巩固课堂教学中学到的知识而占有，就是所谓的课外作业。其实，教师也在提作业布置的改革，但就是没有实质性的举措。我以为，课外作业的布置除了少量的巩固当天所学的知识和方法外，应该布置些对问题的探究方面的作业。这种对问题的探究形式在时间和空间上都是开放的，通过学生自己动手操作、实验、制作、摆弄、查阅、访问等形式去探究和发现，学生肯定乐学，这也正是新课程的价值取向。 　　对“鸡兔同笼”问题的教学而言，了解与此有关的数学史和解题方法，就可以提前布置给学生这样的作业，同样又布置下节课的关于题型拓展的作业，这样就能够在有限的课堂教学时间里从容而有效地完成教学任务，教学目标的达成就是现实的和可行的。 　　总之，关于“鸡兔同笼”问题的教学思考，也仅仅是思考，是立足于“为了学生的发展”的思考，是需要经过教学实践来检验的。