石墨烯等离基元研究背景及意义
自上世纪60年代以来，集成电路技术取得了飞速的发展。作为电子及其他相关行业的核心技术，集成电路的研究一直按照“摩尔定律”预言发展。“摩尔定律”是指每隔约18~24个月，集成电路单个芯片上的晶体管数目将增加1倍，集成电路中最细刻线的宽度减小0.7倍[1]。集成电路已从上世纪60年代每个芯片上只有几十个器件发展到现在每个芯片上可包含10亿个以上的器件。
图1. 摩尔定律
尽管CPU 的数据处理能力伴随着不断提高的晶体管集成度而日益增强，总线的数据传输速率却不能满足CPU 的数据处理需求。为了克服电子互联的有限带宽和在数据传输速率方面的局限，充分发挥电子系统在现代信息处理中的作用，就需要研制能够工作在纳米尺度、且可同时实现高速传输的信息载体。从物理角度来看，与电子相比，光子具有更多的优势，比如光子无静止质量，光子不带电荷，从而光子的传输无电磁串扰等问题；光子是玻色子，因而无需遵守泡利不相容原理；光子具有振幅、频率、相位、偏振等多种有利于检测的状态等。因此，利用光子作为信息传输的载体，也就具有电子无法比拟的优势, 如高带宽、高密度、高速率、低耗散、抗干扰、可并行处理等，从而适于大容量高速率的信息传输和处理。目前，基于光子技术的通信网络技术已得到广泛应用。在计算处理器之间的通信网络中使用光纤代替电缆作为系统间的互联，已被证明可以极大的改善信息传输带宽和传输距离。进一步，如果将光子器件和电子器件集成在同一芯片上，则可以克服电子互联技术在传输速率和能耗等方面的现有瓶颈，从而极大的改善器件的性能。而对于芯片级的光子和电子器件的集成而言，
首先需要解决的难题
就是如何实现电子元件与光学器件的尺寸匹配。
传统的光子器件主要基于折射率差别很小的介电材料。这些低折射率差光波导一般通过掺杂等工艺，使得波导的芯层折射率略高于包层折射率。对于这一类波导，基于全反射原理，满足一定条件的光波将被限制在芯层内部形成导波模式向前传播。由于芯层与包层的折射率差比较小，波导对光场的约束不强，模场面积大。当波导的横向尺寸逐渐减小时，将会使进入包层的能量增加，从而出现相邻波导间串扰增大、弯曲损耗增大等问题，无法实现高密度的光子集成。
目前，在光子器件集成领域，被广泛认为比较有潜力能进一步提高光子器件集成度的研究方向主要有：光子晶体器件及光子晶体光纤、硅基光子器件、以及表面等离激元器件等[2,4]。下面就对这几类光子波导及微纳器件进行简要的介绍。
1.2微纳光波导及器件
1.2.1光子晶体器件
光子晶体是由不同介电常数的介质材料在空间呈周期性排布的物质结构[1]。这种周期性结构会对沿特定方向传播的电磁波产生布拉格散射。当构成光子晶体的晶格常数和介电常数比为合适值时，光子晶体的光子能带之间可以出现使某些特定频率的电磁波无法透过的频率区域，被称为光子禁带。在光子禁带以外，电磁波以布洛赫波的形式在光子晶体中传播。光子晶体可以灵活而有效地控制光的辐射与传播，因此具备广泛而重要的应用价值。
按照维度，光子晶体可被划分为一维、二维和三维结构[3]。目前，由于三维光子晶体波导及器件的加工制作技术尚且不够成熟，对于光子晶体波导及器件的相关研究主要集中在二维光子晶体器件方面。二维光子晶体波导是在二维光子晶体中引入线缺陷形成的。引入的线缺陷通常会使得光子晶体禁带内产生一个或者多个局域模，这些模式可以实现对光场的较强束缚。由于光子带隙的存在，光场可以在缺陷中以导波的形式传播，实现大角度弯曲，并具有更强的色散特性等等，因此可以被用来构建集成光子器件和集成光路。与基于传统低折射率差波导的集成光路相比，以二维光子晶体波导为基础构建的集成光路可具有更高的集成度。
1.2.2光子晶体光纤
光子晶体光纤是在普通石英光纤中沿轴向方向周期性排列空气孔，端面呈二维周期性的光子晶体结构，由于其具有光子晶体带隙频带，如果在光子晶体中引入缺陷，则在禁带中中的缺陷模式可使得光能在缺陷内有效传播。光子晶体光纤中的光场沿着垂直于光子晶体周期平面的方向传播。相对于传统光纤而言，光子晶体光纤具有不同的光波传输原理。它利用光子晶体所具有的光子频带特性，将特定频率的光波强烈的束缚在纤芯进行传导，光纤的弯曲对于光波的影响非常小，通过光纤结构设计，可以实现在所有的波长保持单模运转，其零色散波长也可以从传统光纤的红外波段移到可见光波段。此外，光子晶体光纤利用其包层周期性的空气孔结构，可将模场面积有效压缩，在实现较强模场束缚能力的同时可以获得较高的非线性系数。
尽管传统的光子晶体光纤可以提供较强的光场约束，但是由于其本质上仍受衍射极限的制约，因而无法实现真正的亚波长模式限制。
图2. 光子晶体光纤中心的亚波长量级空气孔[5]
1.2.3硅基光波导
硅基光电子学为片上光互联提供了一种极具前景的技术平台。如果要实现集成电路的光电集成，就需要在硅基上产生光、实现光在硅中的选择性传输、光信号的编码和光信号的探测等功能，并对这些器件进行封装和智能化的控制。这些器件的制备工艺必须与现行的大规模集成电路的工艺相兼容，以降低光电集成的成本。因此，基于标准互补金属氧化物（CMOS, Complimentary Metal Oxide Semiconductor ）工艺的硅基波导及其相关器件是未来发展的趋势。下面介绍两种典型的硅基波导结构，绝缘衬底上的硅（Slicon on Insulator, SOI）和硅基狭缝波
[5]。
图3. 硅基光电子的六个主要领域[10]
（1）绝缘衬底上的硅（Silicon on Insulator, SOI）波导[11,12]
目前大多数硅基光子器件主要基于SOI 波导，这种结构中作为芯层的硅和包层、基底层的二氧化硅等材料的折射率有较大差异。由于介质波导对光场的约束跟波导芯层与包层之间的折射率差有关，折射率差越大，对光波的横向约束就越强，因此SOI 波导可以在具有较小的几何尺寸的同时仍能保持对传输光场的较强束缚。通常，典型的单模SOI 波导尺寸仅为几百纳米，其器件密度甚至可以达到10000个/cm2。SOI 波导及器件的紧凑性以及其与CMOS 工艺完全兼容等优良特性为其在大规模集成光路中的广泛应用奠定了坚实的基础
（2）硅基狭缝波导
硅基狭缝波导（Silicon Slot Waveguide）结构最早于2004由美国康奈尔大学的Michal Lipson 教授的研究小组率先提出[13]。传统的光波导结构通常是以高折射率材料作为波导芯层，以低折射率材料作为包层，光场主要集中在高折射率材料构成的芯层中传播。而在狭缝结构中，波导的芯层则由纳米尺度的高折射率材料和低折射率材料共同构成，如图4所示。
图4. SOI 狭缝波导结构[13]
利用在不同介电常数材料界面上电场矢量的垂直分量不连续，且其大小与材料介电常数的平方成反比的原理，低折射率材料中的电场将大大高于其旁边的高折射率材料中的电场分布，从而实现将输入光限制在低折射率材料中传输。在这种情况下，两种材料折射率的对比度越大，电场就越不连续，导致低折射率部分的电场强度越强，
从而最终获得深亚波长的模场束缚同时产生显著的局域场增强
效应。狭缝波导突破了传统光波导尺寸的限制，直接将模场限制在纳米级的狭缝区域内，因此可以实现超小的模场面积和超高的非线性系数。
σ(ω) =σint ra (ω) +σinter (ω)
e 24ω=+[G (ε/2) -πh (ω+i τ-1) 4h i πie 2μ+∞⎰0d εG (ε) -G (ε/2) ]22ω-4ε （2.10）
通过数值求解公式（2.10）可以计算出石墨烯的电导率，如图12所示。
10-22图12 石墨烯掺杂浓度为10cm 时，电导率e /h 的实部和虚部[41]
图13 （a ）化学势能随温度变化的趋势
（b ）多层样本波散射的几何模型[41]
图13表示出石墨烯表面电导率的实部（吸收）的阶跃性以及低温时虚部的对数奇异性。随温度的改变，曲线从波尔兹曼统计向费米-狄拉克统计的转变也非常明显的。
通过改变外部电极的偏置电压来控制石墨烯电子或空穴的浓度[42]，石墨烯化学势能可由下式得出： （2.11）
从这个式子和上图可以看出，温度升高时，化学势能单调递减并逐渐变为0。 02n 0=π(h v ) 2+∞⎰ε[f (ε-μ) -f (ε+μ)]d ε00石墨烯的电导率由频率、化学势能以及温度确定。化学势能可以通过电场、磁场、电极以及掺杂调节[43]。由上式计算可以得到图9所示石墨烯电导率的等高线图。
图14 石墨烯表面点电导率与化学势能及频率的关系
图14表明，在一定频率和化学势能区域中，石墨烯电导率的虚部会大于零。
2.2.2石墨烯的光学特性
为了计算石墨烯的反射率，使用麦克斯韦方程： 4πi ωj 22c c （2.12）
ε0是介电常数，j 是导电流。现在考虑p 极化：电场E 在xz 平面，电流j 只∇(∇⋅E ) -∇E =ε02ω2 E +在x 方向。
单层石墨烯
先考虑基板上（z>0，介电常数ε0=εs ，εs =1是悬浮石墨烯的介电常数）单层石墨烯的情况（z=0，ε0=εg ），z
总和给出。因此石墨烯中的传导电流为：
（2.13）
利用相对x 坐标的傅里叶变换，E ∝e ik x x ，可以将麦克斯韦方程写为： dE x d 2E x ω24πi ωik x --εE =j x 0x dz dz 2c 2c 2 （2.14） dE x ω22ik x +(κx -ε02) E x =0dz c （2.15）
等式在z=0处的边界条件为场分量E x 连续，单层石墨烯层的两侧的电感应z j x =σ(ω) δ(z)Ex 分量变化为： εs E z z =+0-E z z =-0=4π⎰ρ(ω, κx , z) dz -0+0 （2.16）
载流子浓度与（2.13）中的电流有关：
ρ(ω, κx ,z) =j x ρ(ω, κx ,z) κx /ω
将（2.15）中的E z 代入（2.16）中，可以得到第二边界条件： （2.17）
εs dE x κs 2dz z =+0-dE x
(κz i ) 2dz 1z =-0=4πσ(ω) E x i ωz =0
（2.18）
这里κs =
κz i =使用边界条件，可以得到反射率和透射率： 1-C 2t =1+C ，1+C （2.19）
i i 这里C =κz ）的结果[(4πσ(ω) /ω) +(εs /κs )]。悬浮石墨烯（εs =1，κs =κz r =
比较简单。系数C 接近单位值：
C =1+4πσ(ω)cos θ/c （2.20） （2.21） θ是入射角，因此由等式（2.19）得到反射率和透射率： r =-2πσ(ω)cos θ/c ，t =1-2πσ(ω)cos θ/c
图15载流子浓度分别为n 0=10cm ，10cm 时石墨烯的透射谱[41] 10-211-2
图16每层石墨烯载流子浓度为n 0的多层石墨烯的垂直入射透射率和反射率[41] 垂直入射的透射系数t 由（2.19）可以计算出。表达式（2.19）如图15所示。从图中可以看出，石墨烯的透射率与无量纲参数e 2max(T,μ) /h c ω成比例的偏离，也就是说频率ω很低时，t 相对较大，此时，带内电导率起了主导作用；频率较高时跨带作用转变为主导因素。由于载流子浓度的升高，反射率随温度的变化而增大；由于化学势随温度的升高而降低，反射率不是关于温度单调的。
2
2.3石墨烯表面等离激元
“SPP 是在支持载流子移动的材料和介质的截面上激发的光学模式[44]”，石墨烯是碳原子六角型排列的二维材料。石墨烯表面等离激元是由Jablan 等学者提出的[32]，并且得到了实验证实[29]。石墨烯表面等离激元具有可调性、深亚波长限制以及较长的等离子体寿命[45]。
当石墨烯电导率虚部大于零时，石墨烯像一个很薄的金属层，可支持TM 偏振的SPP[46]，模场分布如图17所示：
图17TM 偏振的石墨烯表面等离激元[32]
该TM 模式的SPP 色散关系为： q ≈ε0
εr 1+εr 222i ωσgraphene (q , ω) （2.22）
2.4本章小结
本章主要介绍了一种新的材料石墨烯，分析了石墨烯的电学特性以及光学特性。石墨烯的光学特性是由其直接间带电子跃迁决定，石墨烯在可见光的透射率与光频率无关，而是由石墨烯的结构决定的。表面等离激元（SPP ）是由光和金属表面自由电子的相互作用引起的一种电磁波模式。这种模式存在于金属与介质界面附近，其场强在界面处达到最大，且在界面两侧均沿垂直于界面的方向呈指数式衰减。表面等离激元具有较强的场限制特性，
可以将场能量约束在空间尺寸
远小于其自由空间传输波长的区域，且其性质可随金属表面结构变化而改变。在适当的金属与介质组成的表面等离激元光波导结构中，横向光场分布可被限制在几十纳米甚至更小的范围内，能够突破衍射极限的限制。