图解微分法与图解积分法简介
1、图解微分法
下面以图为例来说明图解微分法的作图步骤, 图1-6为某一位移线图, 曲线上任一点的速度可表示为:
v =
ds μS dy μS ==tan α dt μt dx μt
图位移线图
其中dy 和dx 为s=s(t)线图中代表微小位移ds 和微小时间dt 的线段, α为曲线s=s(t) 在所研究位置处切线的倾角。
上式表明, 曲线在每一位置处的速度v 与曲线在该点处的斜率成正比, 即v ∝tg α, 为了用线段来表示速度, 引入极距K(mm),则
v =ds μS dy μS μ==tan α=S ⋅K tan α=μv K tan α dt μt dx μt μt K
式中μv 为速度比例尺, μv = μs /μt K ( m/s/mm ) 。该式说明当K 为直角三角形中α角的相邻直角边时,(Ktgα) 为角α的对边。由此可知, 在曲线的各个位置, 其速度v 与以K 为底边, 斜边平行于s=s(t)曲线在所研究点处的切线的直角三角形的对边高度(Ktgα) 成正比。该式正是图解微分法的理论依据, 按此便可由位移线图作得速度线图(v-v(t)曲线), 作图过程如下:
先建立速度线图的坐标系v=v(t)(图a), 其中分别以μv 和μt 作为v 轴和t 轴的比例尺, 然后沿轴向左延长至o 点,o0=K(mm),距离K 称为极距, 点o 为极点。过o 点作s=s( t) 曲线(图) 上各位置切线的平行线o1" 、o2" 、o3"... 等, 在纵坐标轴上截得线段01" 、02" 、03"... 等。由前面分析可知, 这些线段分别表示曲线在2' 、3' 、4'... 等位置时的速度, 从而很容易画出位移曲线的速度曲线(图a) 。
图速度线图
a) 切线作图 b) 弦线作图
上述图解微分法称为切线法。该法要求在曲线的任意位置处很准确地作出曲线的切线，这常常是非常困难的，因此实际上常用“弦线”代替“切线”，即采用所谓弦线法, 作图方便且能满足要求, 现叙述如下:
依次连接图中s =s(t)曲线上相邻两点, 可得弦线1'2' 、2'3' 、3'4'... 等, 它们与相应区间位移曲线上某点的切线平行。当区间足够小时, 该点可近似认为在该区间(例2,3) 中点的垂直线上。因此我们可以这样来作速度曲线:如图b 所示, 按上述切线法建立坐标系v=v(t)并取定极距K 及极点o, 从o 点作辐射线o1' 、o2' 、o3' 、o4'... 等, 使分别平行于弦线01' 、1'2' 、2'3' 、3'4'... 并交纵坐标轴于1" 、2" 、3"... 等点。然后将对应坐标点投影相交, 得到一个个小矩形(例图b 中矩形22"33"), 则过各矩形上底中点(例图b 中e,f 点等) 的光滑曲线, 即为所求位移曲线的速度线图(v=v(t)曲线) 。
2、图解积分法
图解积分法为图解微分法的逆过程。
取极距Ｋ（mm ），用图解积分法由力矩Ｍr ―φ曲线求得力矩所做的功Ａr ―φ曲线。
由于 M =dA /d ϕ=μA dy /μϕdx =μA ⋅K t a n α=μM K t a n α μϕK
其中 μM =μA μϕK
故取Ａr ―φ曲线纵坐标比例尺μA =K μϕμM
求Ａr 的理论依据如下：
n y y A r =⎰M r d φ=⎰μM y μϕdx =μM μϕK ⎰dx ≈μM μϕK ∑i ∆x i K i =1K 0002π2π2π
=μM μϕK ∑tan αi ∆x i =μA ∑tan αi ∆x i
i =1i =1n n