当我们遇到一个较难解决的问题时(2)

数学解题中的转化思想

姓名 黄楚蝶

班级 2010级数学与应用数学 指导教师 兰春霞

摘要 文章介绍了转化思想的涵义，总结了转化思想的解题手段及策略．

关键词 转化思想， 策略， 转化 ，证明

所谓转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们所熟悉的或已经

解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得解决的一种思想方法．因此，当我们遇到一个较难

解决的问题时，不是直接解原题目，而将题进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的

数学题，从而使原题得到解决．

转化这种重要的思维策略有着广泛的应用，这首先取决于数学本身是客观世界的空间形式和

数量关系的反映，矛盾与对立不断地处于转化与统一之中，在数学知识体系中充满了转化：通过

数学法则，有理数四则运算就转化成算术运算：加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与

开方的转化；解方程就是应用消元﹑降次的方法的一种转换，多元向一元的转化，高次向一次的

转化参数方程与普通方程的转化，复数表达形式的转化；平面图形通过延拓﹑折迭构成了空间形

体；而空间中的问题通常要转换成平面的来研究，即空间与平面的转化，数与形的转化．在解题

中转化更是一种重要的策略和基本的手段．分以下几种情形论述．

1 问题的情景的转化

在碰到陌生题目或没有直接思路解决问题时，我们不妨回忆新知，联想已学过的殊与

类似较为熟悉的问题与之进行比较，设法建立联系，把隐含的数学关系明朗化，从而达到转化的

目的．

例 正

D是侧棱PB

ADE最小周

三棱锥P-ABC中，各棱长都是2，E是侧棱PC的中点，上任长． 一点，求△

图1 图2

解 结合图形（图1），由于AE

PAB、PBC展开成一个平面，那么

当A、D、E三点共线时AE的长，即AD+DE取最小值．

在△AEP（图2）中，PA=2，PE=1，APE=120，依余弦定理得

ADE的

2 特殊与一般的转化

从特殊到一般，从具体到抽象是研究数学的一种基本方法，在一般情况下难以发现的规律，

在特殊条件下比较容易暴露，而特殊情况下得出结论﹑方法也往往可推广到一般场合，所以特殊

和一般之间的转化可以用来验证命题的正确性，探索解的途径．

例 求证：sin70sin10sin100sin70sin10 ．

此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式。经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰

为180，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：

sinAsinBsinCsinAsinB．而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于

第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”

和“余弦定理”．

解 在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则得abcab．

由正弦定理得abcksinAsinBsinC

CkAk，故ksiAnksBink， B

所以sinAsinBsinCsinAsinB．

特殊地，将A=70、B10、C100代入上面的不等式即得所求证的结论．

3 量与图形的转化

这是一种重要的，并被广泛使用的转换。大量数式问题潜在着图形背景，借助形的直观性解

题是寻求解题思路的一种重要方法。有时画一个图形给问题的几何直观描述，从数式形的结合中

易于找出问题的逻辑关系．

例

求函数f(x)

解

函数式变为

f(x)，于是，构造成出“求2抛物线yx2上的点Px,x到点A3,2B0,1距离之差的最大值”的问题．如图，由三角形

两边之差小于第三边知，当P、A、B三点共线（P在AB延长线上）时，f(x)取最大值．

所以

fmax(x)



4 命题间的映射转化

如果数学命题（或问题）在原集合A中直接解决比较困难，可以运用某种法则把它映射到另一个集合B中去，得到一个对应的映射命题（或问题），然后在B集中讨论并解决映射问题，再把解决的结果逆映射到原集中来，从而使原命题获得解决．这种转化方法称为映射法。用映射法转化，关键在于适当地选择映射法。一般地，只要映射法则选择得当，映射问题总是易于解决的，特别地，只要A集与B集能建立一一映射，则产生的新命题（或问题）与原命题（或问题）一定等价．此时逆映射过程往往可以省略，这就更加简单了． 例 已知f(x)的值域为

,，试求yf(x) 89

分析 此例是一个带有根号的复合函数求值域问题，对于这种形式求值域有点不习惯，若能将其转化成整式函数求值域的问题，那就比较容易了．

因为343411

f(x)，所以

，令t8932x)则f(1

2t)2．通

过这样的换形，展示在我们面前的就是给定区间上就二次函数值域问题，所以

1111772(1t2)tt11．因为t，所以y，即yf(x)223298

77的值域是y． 98y

5 构造新命题的转化

有些命题（或问题）直接解决遇到困难，通过分析具体命题（或问题），设想构造一个与原命题（或问题）相关的新命题（或问题），通过对新问题（或问题）的研究达到解决原命题（或问

题）的目的，这种转化方法称为构造法．构造法是数学中最富有活力的数学转化方法之一，通常表现形式为构造函数﹑构造方程﹑构造图形等．

例

9 ，并指出等号成立的条件．

证明

x

表示，将左边看成向量a

与bx的数量积． 又ab

ab





9．

当且仅当ba

0

0得：

x1，

即x

6 参数与消元的转化

参数既是揭示变化过程中变量之间内在联系的媒介，又是刻画变化过程的数学工具。利用参数这一本质特性实现数学转化的方法叫参数法。经常运用参数法实现转化的形式有：引入参数将函数或方程变量个数减少；引入参数将问题的解决归结于对参数的讨论．

例（1999年全国高考试题） 如图3，给出定点A（a,0）(a﹥0)和直线l：x1，B是直线l上的动点，∠BOA的平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

图3

分析 从题设条件看，动点C的动源是B，而设B点的坐标时，比较容易想到用tBD作参数。其实，当B点在直线l上运动时，∠BOD也在相应发生变化，因此，B点的坐标也可选用

(“角参数”来表示，且选用角参数，C与B的坐标关系更容易表示．如图3

，设∠BOD=，

2，

1，B1,tan，而O)，则OBAa,Aa,0，又设Cx,y，则有0xa．由cos2

于OC平分∠AOB， 根据角平分线的性质可知ACOAacos，由定比分点坐标得： CBOB

ax(1cos)acos,x,aax1acos(1a)x22ax(1a)y20(0xa) ① yasinsin(ax)y

(1x)a1acos

这就是所求C点的轨迹方程．

2（1） 当a1时，轨迹方程化为yx(0xa)，此时方程①表示抛物线弧段；

（2） 当a1时， a2)2y轨迹方程化为：1(0xa)． ② 2a2a()1a1a2

所以当0a1时，方程②表示为椭圆的弧段，当a1时，方程②表示为双曲线一支的弧(x段．

7 条件强弱间的转化

数学命题（或问题）就所论条件和结论而言往往有强与弱﹑复杂与简单﹑一般与特殊﹑常义与极端情形之分，为叙述简便统称前种情形为“甲种情形”，后种情形为“乙种情形”，若乙种情形的命题（或问题）不易解决，有时“进”一步先处理甲种情形的命题（或问题），因为甲种情况的命题（或问题）往往更能展示问题的本质属性，所以由此推出原命题（或问题）有反而显得容易．反之，若甲种情形的命题（或问题）不易解决，有时“退”一步先处理乙种情形的命题（或问题），因为乙种情形的命题（或问题）往往寓含着甲种情形的某些本质属性和求解规律，挖掘发现这些东西可以在处理方法和结论上获得解决甲种情形的有益启示，从而使甲种情形最终获得解决，这种转化方法本文称为“进退法”．如“不等价变换”实现命题（或问题）强与弱的转化，“降化归去”实现命题（或问题）复杂与简单的转化，“归纳法”实现命题（或问题）特殊与一般的转化，都是进退法转化具体运用形式，这是大家十分熟悉的．

例

证明不等式1K 式解原不等

knn2k1

2 k1,2,3kn．

而2

． 所以原不等式得证．

8 命题结构形式的转化

这是一种比较高级﹑有一定难度的转换，是不同的解题构想的转换，主要通过数学模型来实行，表现出数学智敏和思维的创造性．同时这种结构上的转换还反映出从整体到局部，从一般到特殊的关系．

例 已知函数yasin2xcos2x的图象的一条对称抽是x

8，则a_．

解 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象具有轴对称形或中心对称性，且其对称轴通过函数图象的最高点或最低点（即对称轴与x轴交点的横坐标使函数取得最大或最小值．

一般地，将yasin2xcos2x变形为ysinx的形式，得

到

ysinx2（其中满足tan1且a0。若a0，则ycos2x，而xa8

不是此函数图象的对称轴）．因为x



8是函数y2x的图象的一条对称轴，

所以根据三角函数图象的特点，当x

8是该函数有最大值或最小值，

即

asin2cos2．解得a1． 88

特殊地，因为x

以x0和x 8是函数yasin2xcos2x的一条对称轴，且该函数定义域为R，所4时函数值相等，即asin0cos0asin2cos2，易得a1． 44

8 等价与非等价的转换

把问题A转化为问题B，若B只是A的必要非充分条件或充分非必要条件，则这种转化就是非等价转化。前者可能扩大解集，后者则可能缩小解集．某些问题，或者根本不存在等价交换，或者按等价转化的思路展开求解较为困难．这时，就需要运用等价转化的观点，对不等价转化产生的后果进行控制，以保持问题的解集不变．

例 已知xR，f(x)sinx1

解 因为当sinx1时， acos2x的最大值为1，求a的取值范围． 2

f(x)1 ⑴ 所以f(x)sinx1

aa22cosx的最大值为1不等式sinx1cosx1恒成立 即：22

恒成立． 10aa2sinx1sinxsinx22

因为sinx10，

aaa1a所以gsinxsin2xsinx1sinx10恒成立． 22228

所以gsinx的最小值N0．

下面分a0，a0，a0分别求N，即得原问题解：a/1a8．

从以上的分析及例题可以看出，转换的本质特征是知识和方法的迁移，这种迁移受一定条件的制约，从学习方法和认识规律来说，应该由以下几方面着手为联想与转换创造条件：

（1） 识的容量要大，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集﹑积累联想

﹑转换的实例．

（2） 逐步掌握数学的基本思想方法，由简单到复杂，由低级到高级，由模仿到创新．联

想与转换通常以一定的技巧﹑技能作为它的存在形式，而技巧与技能的形式与数学

思想方法关系密切，这样做一方面有利于牢固地掌握基础知识，同时又有利于思维

品质的优化．

（3） 在学习中惯彻意义学习的原则，所谓意义学习就是新知识与学习者头脑中认识结构2

中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系，也就是说学习活动要以不断发展和

完善认识结构为目的．

数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为．让学生了解掌握和运用转化的数学思想和方法，有利于提高学生数学学习的效率，开发智力，培养数学能力，培养学生解决实际问题的能力，提高数学应用意识．

能这么顺利的完成这次毕业设计，我要真心的感谢兰春霞老师的指导和帮助。当我遇到困难时，兰老师一次次主动地打电话给我，耐心而又细心地指导我该如何去解决，我注意不到的地方，又像妈妈般叮嘱该怎样去做，再次感谢兰老师。

参考文献：

[1]徐祝庆．例谈数学解题中“换”的技巧[J]．研究数学教学，2005，9

[2]谢幼红．重视“转化思想”培养解题能力[J]．数学大世界

[3]钟焕清．代换法中不等式证明中的应用[J]．中学数学教学参考，2003，9

[4]雪松．特殊与一般思想在三角函数中的应用．现代教育报·思维训练

[5]郑武红．等价转化思想及其应用

[6]孙延峰．例谈“转化思想”在解题中的应用[J]．福建中学数学，2008，1

[7]陈良俊．运用转化思想解题的常用策略[J]．初中数学教与学，2005，5

[8]罗俊科．转化思想在求三角函数值域中的应用[J]．甘肃教育，2007，13

[9]金秋．转化的思想与方法[J]．时代数学学习，2006，2

[10]杨丽琴．数学转化思想分类例说[J]．青海教育，2006，5

In mathematics problem solving transformed thought

Name Huang Chudie

Second-level institute (subordinate institute) mathematical institute math department

Class and grade Mathematics 052 specially Supervising teacher Lan Senhua

Abstract the article introduced the transformed thought's implication, summarized the transformed thought problem solving method and the strategy.

Key word Transformed thought ,Strategy ,Transformation ,Proof