标准答案
河 南 科 技 大 学
试 卷 ︵ B ︶
二、 k-t 条件判断 X 用 （本题 20 分）
(1)
= [1, 1]T 是否为以下约束优化问题的最优解。
------------------------------密-----------------------------封-------------------------- -线------------------------
2010 至 2011 学年第 二 学期试卷
课程 机械优化设计 年级、专业 08 级机设、机制、轴承、液压 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
min f ( X ) = ( x1 − 6)2 + ( x2 − 4)2
s.t.
g1 ( X ) = x2 − x1 ≤ 0
学 号
g 2 ( X ) = x1 − 1 ≤ 0 g3 ( X ) = − x2 ≤ 0 g 4 ( X ) = − x1 ≤ 0
解：把点 X
(1)
第 1 一、 用一面积为 20 m2 薄钢板制造一货箱，要求货箱的长度不小 页 于宽度和高度之和，试确定货箱的长、宽、高的尺寸，以使货箱的 ︵ 共 体积最大。试写出该优化问题数学模型的标准形式。 （本题 15 分） 4 页 T ︶ 解：设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3 ，则 X = [ x1 , x2 , x3 ] ， 所求问题的数学模型为：
= [1, 1]T 代入约束条件，得：
(1)
g1 ( X ) = 0 ， g 2 ( X ) = 0 ， g3 ( X ) = −1 ≠ 0 ， g 4 ( X ) = −1 ≠ 0
所以，点 X
= [1, 1]T 的起作用约束是 g1 ( X ) 和 g 2 ( X ) 。
在点 X (1) = [1, 1]T ，有：
2( x1 − 6) −10 ∇f ( X (1) ) = = −6 2( x2 − 4) x1 =1 x =1
1
姓 名
−1 1 ∇g1 ( X (1) ) = ， ∇g 2 ( X (1) ) = 1 0
将以上各梯度值代入 k-t 条件式：
min
f ( X ) = − x1 x2 x3
s.t. g1 ( X ) = x2 + x3 − x1 ≤ 0 g 2 ( X ) = − x1 ≤ 0 g3 ( X ) = − x2 ≤ 0 g 4 ( X ) = − x3 ≤ 0 h ( X ) = 2( x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 ) − 20 = 0
专业、班级
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−∇f ( X (1) ) = λ1∇g1 ( X (1) ) + λ2∇g 2 ( X (1) )
得： −
−10 −1 1 = λ1 1 + λ2 0 −6
解得： λ1 = 6, 由于 λ1 = 6 > 0,
λ2 = 16 λ2 = 16 > 0 满足 k-t 条件，故点 X (1) = [1, 1]T
就是所求约束问题的极小点。
--------------------------密-------------------------封------------------------------线------------------------------------
三、用进退法确定函数 f ( x) = x 2 − 6 x + 10 的初始区间[a,b]。给定：
x0 = 0.3 ， h = 0.7 。 （本题 8 分）
解： （1）取 x1 = x0 = 0.3 ， f1 = f ( x1 ) = 8.29
四 用黄金分割法求函数 min f ( X ) = x − 4 x + 10 的最优解。给定：
2
学 号
x2 = x0 + h = 0.3 + 0.7 = 1 ， f 2 = f ( x2 ) = 5
∵ f1 > f 2 ∴应加大步长向前探索
试 卷 ︵ B ︶
初始区间[a,b]= [1.6, 2.6]， ε = 0.4 。 （最多缩小区间两次，小数点后 保留 4 位） （本题 15 分） 。 注： x1 = a + 0.382 (b − a ) 解：1）第一次缩小区间
x2 = a + 0.618(b − a)
（2）取 h = 2h = 1.4
x1 = 1.6 + 0.382 × ( 2.6 − 1.6 ) = 1.982 ， f1 = 6.000324 x2 = 1.6 + 0.
618 × ( 2.6 − 1.6 ) = 2.218 ， f 2 = 6.0475
x3 = x0 + h = 0.3 + 1.4 = 1.7 ， f 3 = f ( x3 ) = 2.69
∵ f 2 > f 3 ∴ 应继续加大步长向前探索 （3）取 h = 4h = 2.8 ，且交换变量 令 x1 = x2 = 1 ， f1 = f ( x1 ) = 5 ，
姓
x2 = x3 = 1.7 ， f 2 = f ( x2 ) = 2.69
新的探测点 x3 = x0 + h = 0.3 + 2.8 = 3 .1
第 2 页 ︵ 共 4 页 ︶
由于 f 1 0.4 ，所以应继续缩小区间。 2）第二次缩小区间 令 x2 = x1 = 1.982 ， f 2 = f1 = 6.000324
名
x1 = 1.6 + 0.382 × ( 2.218 − 1.6 ) = 1.836076 ， f1 = 6.0287
由于 f1 > f 2 ，故新区间 [ a, b ] = [ x1 , b ] = [1.836076, 2.218] 。 ∵ b − a = 0.382
f 3 = f ( x3 ) = 1.01
∵ f 2 > f 3 ∴ 应继续加大步长向前探索 （4）取 h = 8h = 5.6 ，且交换变量 令 x1 = x 2 = 1.7, 河 南 科 技 大 学 教 务 处
所以得极小点和极小值为：
f 1 = f ( x1 ) = 2.69
f 2 = f (x 2 ) = 1.01
x* = 0.5 × (1.836076 + 2.218) = 2.027038 f ( x* ) = 6.0001
专业、班级
x 2 = x3 = 3.1,
新的探测点 x3 = x0 + h = 0 .3 + 5.6 = 5.9 ， f 3 = f ( x3 ) = 9.41 ∵ f 2 0
∴确定的初始区间 [ a, b ] = [ x1 , x3 ] = [1.7,
5.9]
五、用共轭梯度法求解（仅作两次迭代，一维优化用解析法） ： ----------------------------密-------------------------封------------------------------线------------------------------------
min f ( X ) = 2 x1 + x2 − 2 x1 − 2 x2 ，
2 2
解得： α = 试 卷 ︵ B ︶ ∴ X
( 2)
给定 X = [ 0, 0] ， ε = 0.1 （本题 22 分）
0 T
学 号
注： S
(1)
= −∇f ( X (1) ) + β 0 S (0)
β0 =
∇f ( X )
(1)
2 2
∇f ( X
(0)
)
∵ ∇f X (
∴ X =
*
(
3 = 0.375 8 4x − 2 0.5 0 = ， ∇f X ( 2 ) = 1 = 1 2 x2 − 2 X ( 2) 0
(
)
2)
) = 0.00
解： （1）第一次迭代沿负梯度方向搜索：
4x − 2 0 −2 ( 0) 2 X ( 0 ) = ， ∇f X ( 0 ) = 1 = −2 ， S = 2 2 x2 − 2 X (0) 0 2 2α (1) ( 0) ( 0) 0 则 X = X +αS = +α = 0 2 2α 代入 f ( X ) ，得到 φ (α ) ，对其求导且令： φ ′(α ) = 0 1 解得： α = 3 4x − 2 2/3 (1) 2 / 3 (1) 则： X = = 1 = −2 / 3 ， ∇f X 2 / 3 2 x2 − 2 X (1)
(
)
0.5 * ， f ( X ) = −1.5 1
( )
2
第 3 页 ︵ 共 4 页 ︶
姓
名
（2）第二次迭代
β0 =
∇f ( X (1) ) ∇f ( X (0) )
2 2
=
(2 / 3) + (−2 / 3) 1 = = 0.111 2 2 (−2) + (−2) 9
2
专业、班级
−2 / 3 1 2 −4 / 9 S (1) = −∇f ( X (1) ) + β 0 S (0) = + = 2 / 3 9 2 8 / 9 2 / 3 −4 / 9 X ( 2 ) = X (1) + α S (1) =
+α 8/9 2 / 3 代入 f ( X ) ,得到 φ (α ) ，对其求导且令： φ ′(α ) = 0
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六、用外点罚函数优化方法求解下列约束优化问题（写出罚函数的分 ----------------------------密-------------------------封------------------------------线-----------------------------------段表达式）（本题 20 分） ： 试 卷 ︵ B ︶
p
当r
(k )
→ ∞ 时，得
T
x1 = 1 ，
x2 = −2
故所求得的最优解为：
min
s.t.
f ( X ) = x12 − 2 x2
X * = [1, −2] ， f ( X * ) = 5
g1 ( X ) = x2 + 2 ≤ 0
学 号
g 2 ( X ) = 1 − x1 ≤ 0
注：
第 4 页 解： （1）构造外点罚函数的无约束优化问题： ︵ 2 x1 − 2 x2 （可行域内） 共 min φ X , r ( k ) = 2 4 2 2 (k ) x1 − 2 x2 + r [( x2 + 2 ) + (1 − x1 ) ] （可行域外） 页 ︶ （2）用极值条件求解：
u =1 u v =1 v
φ(X , r ) = f (X ) + r
(k )
(k )
∑{max[ g
m
( X ), 0]} + r
2
(k )
∑ [h ( X ), 0]
2
(
)
姓
名
专业、班级
∂φ ∂φ = 2x1 ， = −2 ≠ 0 ，知可行域内无极值点。 ∂x2 ∂x1 ∂φ 在可行域外，令 = 2 x1 − 2r ( k ) (1 − x1 ) = 0 ∂x1 ∂φ = −2 + 2r ( k ) ( x2 + 2) = 0 ∂x2 1 1 解得： x1 = ， x2 = ( k ) − 2 1 r 1 + (k ) r
在可行域内，因
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