《数值分析》大作业
学 号：[1**********]1
学生所在学院：航空制造工程学院
学 生 姓 名 ：曾志强
任 课 教 师 ：黄香蕉
2013年12月
由线切割所得数据用最小二乘法求经验公式
曾志强 航制学院 材料加工工程 [1**********]1
摘要：数值分析(numerical analysis) 是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。本文数据为实验所用钛板经线切割所得材料数据，用matlab 软件采用最小二乘法求得的经验公式。这对以后科研作了瞻前性的预测，起到指导性的作用。 关键字：数值分析 matlab 最小二乘法
[1]
Abstraction:Numerical analysis (numerical analysis) is a computational method and its numerical computation problem is solved by computer analysis of mathematical research subject, is a branch of mathematics, it isbased on the theory and methodology of digital computer to solvemathematical problems as the research object. As the main part of the [1] numerical mathematics. The data for the titanium plate line cuttingthe material data, empirical formula by least square method with MATLAB software. The future research is forecasted prospective,play a guiding role.
Keyword:Numerical analysis matlab the least square method
1.1引言
数学是科学之母，科学技术离不开数学，他通过简历数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现，用计算机求解科学技术问题通常经历以下步骤： ①根据实际问题建立数学模型。 ②由数学模型给出数值计算方法。
③根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。
在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都要涉及在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题。本文的函数逼近，是指“对函数类A 中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A ，要求在另一类简单的便于计算的函数类B 中求函数p(x)
【2】∈B, 使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小”。
数值分析研究研究对象及特点主要包括以下几点： 一、数值分析课的主要内容:
计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算（即使是函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成了的一个小型软包）。 1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法, 分直接方法和间接方法。 2. 插值和数值逼近。 3. 数值微分和数值积分。
4. 常微分方程和偏微分方程数值解法。 二、数值分析具有的特点：
1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法, 即算法只能 包含加、减、乘、除和逻辑运算, 这些运算是计算机能直接处理的运算。 2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。
3. 要有好的计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题, 它关系到算法能否在计算机上实现。 4. 要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外还要通过数值试验证明是行之有效的。 三、对算法所要考虑的问题:
1. 计算速度，例如：求解一个20阶线性方程组, 用加减消元法需3000次乘法运算, 而用克莱姆法则要进行9.7ｘ1020次运算, 如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。
2. 存储量。大型问题有必要考虑。
3. 数值稳定性。在大量计算中, 舍入误差是积累还是能控制, 这与数值稳定性算法有关【3】。
2.1用最小二乘法拟合曲线
2.1.1最小二乘法的历史简介
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经
过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理【4】。
2.1.2最小二乘法的原理
在我们研究两个变量（x,y ）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据
（x 1,y 1.x 2,y 2... xm ,y m ）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附
近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
其中：a 0、a 1 是任意实数
（式1-1)
为建立这直线方程就要确定a 0和a 1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Y i 与利用（式1-1）计算值（Y j =a0+a1X ）的离差（Y i -Y j ）的平方和
最小为“优化判据”。 令：φ =
（式1-2)
把（式1-1）代入（式1-2）中得： φ =当
（式1-3)
最小时，可用函数 φ 对a 0、a 1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
∑2（a 0 + a1*Xi - Yj ） （式1-4) ∑2*Xi （a 0 + a1*Xi - Yj ） （式1-5) 亦即：
Na 0 + （∑X i ) a1 = ∑Y j （式1-6) （∑X i ) a0+ （∑X i ^2 ) a1 = ∑（X i *Yj ) （式1-7) 得到的两个关于a 0、 a 1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a 0 = （∑Y i ) / n - a1（∑X 1) / n （式1-8) A 1 = [n∑X i Yi - （∑X i ∑Y i )] / [n∑X i 2 - （∑X i )2 )] （式1-9) 这时把a 0、a 1代入（式1-1）中， 此时的(式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点（x 1,y 1. X2,y 2...x m ,y m ），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R ”，统计量“F ”，剩余标准偏差“S ”进行判断；“R ”越趋近于 1 越好；“F ”的绝对值越大越好；“S ”越趋近于 0 越好。
R = [∑X i Y j - m（∑X i / m）（∑Y j / m)]/ SQR{[∑X i 2 - m（∑X i / m)2][∑Y j 2 - m （∑Y j / m)2]} （式1-10) *
在（式1-1）中，m 为样本容量，即实验次数；X i 、Y i 分别任意一组实验X 、Y 的数值。[5]
2.1.3最小二乘法的定理
在函数的最佳评方逼近中f(x)∈C[a,b],如果f(x)只在一组离散点{xi ,i=0,1,...m}上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据
{（x i ,x i ),i=0,1,...,m}的曲线拟合，这里y i =f(xi )(i=0,1,...,m),要求一个函数y=S*(x)与所给数据{（（x i ,x i ),i=0,1,...,m}拟合，若记误差δ
i
=S*(xi )-y i (i=0,1,...,m),δ=(δ0, δ1,..., δm ) T , 设φ0（x), φ1（x),..., φn （x)
是C[a,b]上线性无关函数族，在φ=span{φ0（x), φ1（x),..., φn （x)}中找一函数S *（x) ，使误差平方和
‖δ‖=∑δ=∑[S （x i ) -y i ]=min
2
2
2i
＊
2
i =0
i =0
m
m
S (x ) ∈Ф
∑[S (x ) -y ]，
2
i
i
i =0
m
这里
S （x ）=a 0Φ（Φ（0x ) +a 11x ) +... +a n Φ（n x ) (n
这就是一般的最小二乘逼近，用几何语音说，就称为曲线拟合的最小二乘法[6]。
2.1.4用最小二乘法待解决的问题
本文是用最小二乘法求一线切割的经验公式。
根据所给数据，由最小二乘法，取φ0（x)=1,φ1=x,φ2（x)=x2, ω（x) ≡1, 得： （φ0，φ0）=6， （φ0，φ1）=∑x i =10.5 （φ0，φ2）=∑x i 2=22.75
i =0
i =0
6
6
（φ1，φ0）=∑x i =10.5 （φ1，φ1）=∑x i 2=22.75 （φ1，φ2）=∑x i 3=37.125
i =0
i =06
i =0
6
66
（φ2，φ0）=∑x i 2=22.75 （φ2，φ1）=∑x i 3=37.125 （φ2，φ2）=∑x i 4=142.188
i =0
i =0
i =0
6
6
（φ0，y i ）=∑y i =28.41
i =06
6
（φ1，y i ）=∑x i y i =61.94
i =06
（φ2，y i ）=∑x i 2y i =151.81
i =0
故有法方程{10.5a +22.75b +37.125c =61.94
22.75a +37.125b +142.188c =151.81
6a +10.5b +22.75c =28.41
由此解得a=0.561,b=0.829,c=1.156 于是得最小二乘拟合曲线为:
y=0.561+0.829x+1.156x2
2.1.5matlb 编程
Matlab 编程如下：
>> x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; grid on hold on
p=polyfit(x,y,2) x1=[0.5:0.5:3.0]; y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 由matlab 所得图形如下：
图一:matlab最小二乘法拟合图形
图二：由matlab 拟合出的曲线系数值
3.1参考文献
[1]李乃成，梅立泉. 数值分析[M].科学出版社.2011:3-10.
[2][3]李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].清华大学出版社.2008.12:1-5. [4][5]王穗辉．误差理论与测量平差：同济大学出版社，2010
[6]李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].清华大学出版社.2008.12:70-75.
数值分析课程学习心得体会
通过一个学期的学习数值分析，使我把之前所学的数学知识能够比较全面的串联起来，而且数值分析是一门在现实生活中比较实用的一门课程，能够解决现实生活中的诸多问题。更重要的是数值分析中的许多解题的思想是能够应用到现实生活中解决一些比较困难的数学问题。
随着学习的深入，自己逐渐的发现数值分析是博大精深的，要想把数值分析学习好，需要非常深厚的应用数学功底，在我的内心深处一方面在不断的鞭策自己，要继续努力学习，夯实基本功，不断的拓展自己的知识面；同时又有另外一个声音告诉自己，无论是计算数学，还是应用数学，甚至生活中的问题，本质上都是应用数学思想解决问题的。真正把数学的思想学通了就够了，很多定理，算法蕴含的绝不仅仅是简单的推理而已，它是包含很多数学家的丰富的思想，而且不仅仅是逻辑思想。西方很多数学家都是伟大的哲学家就是已明证，虽然我们现在无法真正的理解这些思想，但我们不能忽略这些思想，因为这些思想才是真正接近生活的。我们不能满足于仅仅应用定理而已，我们更要结合实际深刻的理解定理、算法，不断的有意识或无意识的发现并接受定理、算法中蕴含的思想，让这些思想内化为自我知能的一部分，去引领我们的生活，我认为这样的数学才是美的。这样有意识或无意识的将本已工具化的数学转化为内在知识，进而真正让数学帮助我们全方位的成长。
通过这次数值分析大作业让我学会了matlab 这个软件，同时也让我学会了用电脑模拟解决数学问题。Matlab 这个软件能够很好的计算数值，绘制图形，能够起到对我们理论的计算作指导和纠正的作用。通过此次的数值分析的考核，一方面即锻炼了个人的自我学习能力，另一方面对数学的学习有了更进一步的体会。对将来解决现实生活中的数学问题能起到很好的指导作用。
完成人签名：
姓名__ 曾志强__________ 完成时间：2013年12月18日