字典序 多 目标划 规问题的研 究王
娜丽 春卓 英（
重庆 水利 电 职 力业 术 学技 重院庆永 川４ ０ １ ２６０
） 摘： 要文本 在字序典下讨论 约 束多 目规划 问题标弱对的 ， 偶及以字典在序下拉 格 日朗子存在乘的条件 究。研
关词键： 目多规 标； 划典序字； 弱偶对 ；拉 格朗日乘 子
１定
义
Ｌ（ ｘ） ≥ （ ） ， （ ） 厂 ２（ ） ， …… （ ） （ ）。 此因，对 ∈ ，系 统 （ ） ＜ （ ），ｇ （ ） ｅ 一 无 。 解 定
义如下集合：
Ｓ＝＝｛ ｅ Ｒ ｘ Ｒ ： ∞ 一 ） ＜ ｑ ｇ， ∞∈ ｑ一 ，Ｖ ｘｅ 椰 。
一
定义１ ． １ 设 ＺＲ ｃ是 空子非集。
Ｉ ）（ ｚ点 。∈ｚ 为Ｚ ｃｌ 极大 点，如果 ｚｃ 一 ，Ｃ即 ： ｅ
：
，任意 Ｚ∈ ｚ，
ｚｏ；记 的
一
极 一点大 为集
Ｚ。
（
Ｉ Ｉ ） ∈点ｚ Ｚ￣ Ｊ为 Ｃｔ 小点 极， 果 如 ｚ ｃ ｚ０ Ｃ＋ ，即 ： ｅ ｘ
是集 凸 ， 和ｇ 凸 函数 是，则 Ｓ 凸子是 。集
任
意 Ｚ， ∈ ｚ０
；记ｚｚ 的 一小极点 集为
。 Ｚ
由系统无解于 ，得 （０ ０， 仨）Ｓ。由集凸分定理离可 知 存：
注
意 到 Ｍ似 若ｚ ≠ 则 Ｍ ａｘ Ｚ是 单点集 ＮＮ ；Ｍ ｉ Ｚ ｎ
也是单点集 。 定义 １ ２
在．零非量 （ 向。， ） 使 得
Ａ （ （ ）一
）） ＋ ｇ ｘ （） ｏ ， ｘ∈Ｖ
１（）点 Ｅ 为∈（ Ｍ Ｐ 的）典 字极 解 小如果 ，∈Ｅ且 厂（ ） 厂 （ ） ， Ｖ ｘ ∈Ｅ 。 （ Ｍ记Ｐ ） 的有字典极所解小 解字，典
就 是也丘 （ ） ＋ 碍 ｇ（ ｘ ）
） ，Ｖ ｘ ∈ｘ （ ３ ）
定 ∈ｘ 取由， ５ ，‘ 定 的可义 ：知 ｇ能，取分充 大由。（ ３ ）
小极分别为ｍｉ 值ｎ Ｅ ，ｍｉ ｎ （ｆＥ ）
Ⅱ （）点 ∈ 为 Ｅ（ ＰＭ的）强有 效 解 ， 如 果 ∈和Ｅ
有（
， ）Ｒ∈ ＋ｘ Ｒ７ 。 面验证下Ａ ＞ ０ 反证。法： 设 假 ＝１０ 由， Ｉ（ Ｖ ，）存 在
／
Ｉ ） ∈ ’ 一 ／， ∈ ，Ｅ 即（ ）
用ｍ ｉ ｎ ／（ Ｅ ） ２ 主 要
结 论
（
） ， Ｖ ∈ Ｅｘ Ｖ ｉ， １＝ ， ２ ，… ｎ ，．
∈
ｘ 得使（ ｇｏ ）∈ ｉ一 ｎ ｔ？ 在（３ ） 中 ｘ取＝ ｏ 有ｘ
互 ｇ （ 。 ≥） ０。 ｇ Ｎ （ｘｏ ） ∈ 一ｉ ｔ ＲｎＺ ，＾ ∈Ｒ： ｌ 所以 ｇ （ ≥） ， ０
定
理 ２ Ｉ． （弱 偶对） 虑原 考题问 Ｍ Ｐ）（ （ Ｉ）及其 偶问对 题
则互
： ０ 。 因 此 （ 。 互 ， ＝ （ ）ｏ ， ）ｏ 与（， 庇， ） 非 零是向
量 矛 。
盾
（Ｄ Ｍ ）Ｐ （２ ） 设 。是 （ ＰＭ 可）行 解， 也就是∈ ， ｇ（ ｘ ∈） 一Ｒ ；
人 是对偶 Ｚ问题（ Ｄ ＭＰ） 的可行 解，就是也人 ∈ （Ｒ ， Ｒ ） 则。
（在 ３式两） 端同除 时矗 以有 ，厂 １（ ｘ ）＋ （ ｇ） 厂 １≥（ ） ，ｖ ∈ （ ４） ’
厂（ ）
（人 ） ０ 。 由 （Ａ ）的定
证 明 由 ： ∈ ， ｇ （ ｘ） 一 Ｒ ？∈ Ａ及∈ｇ ｏ （ ， Ｒ ）得
Ａ ｔ １
人 ｇ）∈ 一 ＋ ｍ 一 ｃ 也就，是 Ａｇ （ ）
义 以得可 到：
在 ４（）取 中＝ ， 有 ｇ （ ） ｏ。 由 ｇ （ ） ∈ 一 ＋ｍ，
（ 有Ａ ）＝ ｍ ｌ ｌｉ ｅｌｘ ｛ 厂 （）＋ Ａ ｇ（ ）｝ 蛔厂 （ ） Ａ＋ｇ （ ） ： ｆ （ｘ ）
拿） ０ 。 ：类
似 ， 存 地 在，拿彗， … ， 拿 ， 得使 对任意 ∈
有 ２ｕ ， ｓ
引理２ ．１设 ｎ ｌ Ｅ ≠ ２ （ ｊ， ∈Ｅ 是（ Ｍ Ｐ ） 的字有效解
典当仅 且 当 Ｅ∈是 （ ＭＰ的）有强效 解
定 理 ．２ （２ 拉 格 朗ＩＥ Ｉ 乘 子 假）设下条件列立成 ： （ Ｉ ） Ｒ 是的 空 凸子非集； （ Ｉ Ｉ ）ｆ：
凸函数 ；是
（
＋ ｇ （拿 ）≥ （ ） Ｉ
ｒ
Ｒ： 的 一凸函 数 即，， ： － － Ｘ＞ ￣ ｔ ＝１ｉ ， ２ ，・ ・ ， ２
（ ） ＋ ｇ （ ）≥ （ ） ，Ｖ ｘ∈ ｘ
５ （
（ ＩＩＩ ） ｇ： 是
凸 数 函 ；
？ 的 ？ 一 凸函 ， 数，即：吕Ｘ － － ＞ ， ｉＲ＝ ｌ ，２ ， ・ ・
（ ）ｘ＋ （ ｘ ） ｇ≥ （ ） ，Ｖ ∈ ｘ ／
． ｔ
（
ｖＩ） ｌＳａ ｅｔｒ 约 束品 行 成 立 ， ，即 在存 ∈‰ 使 得
ｇ（ ｘ 。 ） ∈ 一ｉ ｎ ｔ Ｒ？其 中一ｉ ｎｔ Ｒ ￣Ｒ ， ？＋
的 拓内扑 部 ；（ Ｖ）ｎ Ｅ
≠
取
Ａ （ ： 拿 拿， …，拿 ） ，ｒ 根 据Ｒ？ ｃ Ｃ ｌ ｅ ，ｘ（ ４ Ｙ ｒ ２）（ ）５ ，有 １
２ “
， ） ＋ Ａ ｇ ） ｆ∈ （ ２） ＋ Ｒ ？ ∈， （＋ ， Ｖ ∈ｘ
和 ＝ ；即（ｆ ） 十Ａ ｇ（ｘｘ －） －－ ｌ ｘ ｅ ｆ （Ｙ） Ｖｘ∈
若 是（ Ｍ ）Ｐ的典字效解 有
，则存 Ｘ在 ＋∈ （ ， Ｒ ） 得
使人 和ｇ （ ） ＝０ ，； ＝ ）
ｍ（ Ｋ ２ ０ １ ３ １ ９ ） ：
（ ＋ ＾ ｇ（ ）： ∈ 毋和 （ ） ＝ ０ 一 。
厂 （ ） ： ａｒ ｉ ｎ￣ ｅ ｘ ｆ｛（ ｘ ）＋人ｇ （ ）： ∈ Ｅ ｝ （和 ） ：
证０明： 假设 是（Ｍ ）Ｐ的 典有效字 ，由解引 ２ 理． １， 是 （ Ｍ Ｐ）
基 项金 ：目重庆 水利 电力 职 技业术 学 院科研项
目第一作 ：者王丽娜 ，女 ， 硕研 士生，研究究 向方为最化 优理
论与 方 法 ．
的 强有效解。于是， 对任意 ∈ ： ＝Ｅ ∈ ：Ｘ ｇ （ —∈ ？ ）
，当
青年 代 ２ ０１ ． ５ ２ ０
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