第六章 定积分的应用
1、求曲线y =x 和y =x 在[0, 1]上所围成的平面图形的面积.
2
3
2、求由曲线y
2
=x , x
2
=y 围成的平面图形绕
b
ox 轴旋转所得旋转体的体积.
3、
s 1和s 2表示的面积, 如图, 则⎰f (x ) dx =(
a
)
(A ) s 1+s 2 (B ) s 1-s 2(C ) s 2-s 1 (D ) s 1-s 2
4、曲线y =ln x , y =ln a , y =ln b (0
ln a
ln a
e
e
ln b
ln b
y
e
b
面积为A =
x
e
a
5、曲线y =3x , y =4-x 所围成的平面图形的面
2
(A ) (4-x -3x ) dx (B ) ⎰⎰(
-44
-121
2
1
3
2
积A =
y 3y
--
4-y ) dy 4-y ) dy
(C ) (D ) ⎰(4-x -3x ) dx ⎰(
-1
-4
3
6、求曲线y =(A ) ⎰(3-x
-
22
x
2
2
2
, x +y -x x
22
22
=3所围成的平面图形上半
2
面部分的面积A =
22
) dx (B ) ⎰(
-
21
x
2
2-
-3-x ) dx
2
2
(C ) ⎰(3-x
-1
1
2
-
) dx (D ) ⎰(
-1
x
2
2
3-x ) dx
7、曲线y =x 和y =
2
x 所围成的平面图形的面积是
111
(A ) 1 (B ) (C ) (D ) 234
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8、曲线y =x 和y =
3
x 所围成的平面图形的面积为
13
(A ) 1 (B ) (C ) 3 (D ) 22
9、由不等式x ≤y ≤x 及x ≤2所确定的平面图形的面7317204
(A ) (B ) (C ) (D ) 121233
23
积为:
10、曲线y =sin x , y =cos x , x =0及x =π所围成的平面图形的面(A ) 2 (B ) 0 (C ) 1 (D ) 3
2
3
积是
11、曲线y =sin x 和y =sin x =0及x =
π
2
所围成的平面图形的面积为
1π2(A ) + (B ) 1 (C ) (D ) -
43243
2
π
12、曲线y =x -3x +2与直线y =2所围成的平面图形的面925(A ) 4 (B ) 6 (C ) (D ) 26
13、曲线y =x -2x +4上点M 0(0, 4) 处的切线M 0T 与曲线y 的平面图形的面积
A =(
)
2
2
2
积A =
=2(x -1) 所围成
214913
(A ) (B ) (C ) (D ) 49412
14、曲线y =ln x 与直线x =
1e
, x =e 及y =0所围成的平面图形的面
1
积A =
1
(A ) e - (B ) e + (C ) 2(1-) (D ) +1
e e e e
15、抛物线y =x (x -2) 与直线y =x 所围成的平面图形的面
11
积为____________． 积为
16、曲线r =2+c o s θ(0≤θ≤2π) 所围成的平面图形的面
9
(A ) 4π (B ) 2π (C ) 9π (D ) π
217、由曲线y
2
=(x -1) 和直线x =2所围成的平面图形绕
1π
(A ) (B ) (C ) (D ) 2344
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3
0x 轴旋转所得的
旋转体的体积为
ππ
18、由y =x , y =0及x =1所围成的平面图形绕(A ) (B ) (C ) (D ) 234619、由曲线y =x 与y
2
2
2
y 轴旋转而成旋转体体积V =
ππππ
=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体
的体积V =()
3π
(A ) π (B ) (C ) π (D ) 2105
-(x -1) 与直线y =
V =(
)
-y ) dy -y ) dy -y ) dy
3
π
20、由曲线y =
2
x 3
所围平面图形绕oy 轴
旋转成的立体的体积
3
(A ) π(B ) π(C ) π(D ) π
⎰⎰
2
32
3y dy -π3y dy -π
3
2
⎰
2
1
32
(1-(1+
22
2
1
32
22
⎰
2
01
32
3y dy -π(1+
2
1
(1-
2
22
⎰
-y ) dy +π
2
⎰
2
3y dy -π
2
⎰
1
(1--y ) dy
22
21、由曲线y =x 及y =2x -x 所围成的平面图形绕
2
x 轴旋转所得的
旋转体的体积
14
V =(
12
)
71π
(A ) π (B ) (π-1) (C ) π-1 (D ) 1533
长s =
22、曲线y =x -
2
ln x 自x =1至x =e 之间的一段曲线弧的弧
1212
(A ) (e +2) (B ) (1-e )
441212
(C ) (e +1) (D ) (e -1)
44
t
⎧π⎪x =e s i n t ,
23、曲线⎨自t =0至t =之间的一段弧的弧长
t
2⎪⎩y =e c o s t ,
π
π2
s =
π
π2
(A ) 2(5-e ) (B ) 22-e
2(C ) 2e (D ) 2(e 2-1)
⎧x =a (cost +t sin t ,
24、曲线⎨从t =0到t =π一段弧的弧长
⎩y =a (sint -t cos t ),
π
2
s =
(A ) (B ) ⎰+[a (sint -t cos t ) ]dt ⎰+(at sin t ) at cos tdt
2
π
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(C ) ⎰π+(at sin t ) 2
dt (D ) ⎰π
atdt
25、求由曲线y =x 3
及直线y =-x , x =1, x =2所围成的平面图形的面积. 26、求由曲线y =ln x 及直线y =1+x , x =1, x =e 所围成的平面图形的面积. 27、求由抛物线y 2
=2x 与直线y =x -4所围成的平面图形的面积. 28、求由抛物线y
2
=2x 与抛物线y
2
=3-x 所围成的平面图形的面积.
29、求由抛物线y =x (x -4) 与直线y =2x 所围成的平面图形的面积. 30、求抛物线y =x (4-x ) 与直线y =2x 所围成的平面图形的面积. 31、求a 为何值时, 使曲线y
2
=ax (a >0) 与y =x 2
所围成的平面图形的面
为9.
32、如图, y =x 2
, 是区间[0, 2]上抛物线. 直线y =ax +1与曲线y =x 2
相交
问a 为何值时, 能使图中两阴影部分面
积相等.
33、如图, y =x 2
, 是[0, 1]上的抛物线
t ∈(0, 1), 问t 为何值时, 使图中两阴影面积相等
34、试求y =x 3
上点(1, 1) 处切线与抛物线
y =-x 2
+4x 围成的平面图形的面积. 第 4 页 共 7 页
.
35、求由曲线y =
x
2
2x
3
, y =x , y =2x 所围成的平面图形的面积.
36、求由曲线y =
4
与y =3x -x 所围成的平面图形的面积.
2
37、求通过(0, 0), (1, -1) 且对称轴平行于使它与x 轴所围成的平面图形的
y 轴, 开口向上的抛物线,
面积最小.
38、求由不等式r ≤3+3cos θ, r ≥3确定区域的面积. 39、求由不等式r ≤2cos 2θ和r ≥1确定的平面区域的面积. 40、求曲线r =
3a 和r =2a cos θ所围成公共部分的面积.
41、求由曲线r =1+sin θ, r =1围成的公共部分的面积.
42、求由曲线
y =
1+x
2
, x =0, x =1及x 轴所成的平面图形绕x 轴旋转
而成的旋转43、求由曲线
体的体积.
y =sin x , y =x , x =0及x =
π
4
所围成的平面图形的绕x 轴旋转
而成的旋转体的体积.
44、求由曲线y =
1x
, y =
1x
, x =1及x =2所围成的平面图形的绕x 轴旋转
而成的旋转45、求由曲线
体的体积. y =
x 和y =
3
x 所围成的平面图形分别绕x 轴及绕y 轴旋转
而成的旋转体的体积.
x
2
46、求由曲线y =
2
和y =
x
3
8
所围成的平面图形绕ox 轴旋转所得的旋转
体的体积.
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47、求由不等式
y ≤sin x , y >0, x ≥0及x ≤
π
2
确定的平面图形绕y 轴旋转
而成的旋转体的体积.
y 轴旋转
48、试求曲线y =x (4-x ) 的左半支, 直线y =3及y 轴所围成的平面图形绕
而成的旋转体的体积.
y
2
49、求由曲线
=2px (p >0)和它在(
p 2
, p ) 处的法线所围成的平面图形绕y 轴
旋转所得的旋转体的体积
50、求由曲线
y =
.
直线y =-2旋转
x , x =1, x =2及x 轴所围成的平面图形绕
而成的旋转体的体积.
12(e +e
x
-x
51、求曲线y =) 上相应于0≤x ≤b 的一段弧的长度.
52、求曲线⎨
⎧x =cos t +t sin t ,
⎡ππ⎤
上相应于t ∈⎢, ⎥的一段弧的长度.
⎣64⎦⎩y =sin t -t cos t ,
⎧x =8sin t +6cos t , π
53、求曲线⎨上相应于0≤t ≤的一段弧的长度.
y =6sin t -8cos t 2⎩
3⎧⎪x =cos t , ⎡π
54、求曲线⎨上相应于t ∈⎢0,
3
⎪⎣2⎩y =sin t
⎤
⎥的一段弧的长度. ⎦
55、求曲线r =1-cos θ的长度.
56、求曲线r =1+cos θ上相应于θ∈[0, π]的一段弧的长度.
57、一变力F =
12x
2
把一物体从
0. 2
x =0. 9推到x =1. 1, 它所做的功W =
(A ) ⎰
1. 1
12x
0. 91. 1
(B ) 2⎰
2
12x
2
0. 2
(C ) ⎰
12x
0., 9
⋅xdx (D ) ⎰
12x
2
⋅xdx
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答( )
58、力F =20x -x 拉伸一个非线性弹簧力所作的功
W =
215
(C ) 18 (D ) 40
13
3
, 把弹簧从x =0到x =2, 则
(A ) 36 (B ) 50
答( )
59、一质量为
m 的物体由静止开始作直
线运动, 其路程x =kt 3
. 则从t =0
到t =T 所做的功为
(A ) ⎰T
f ⋅kt 3
dt (B ) ⎰T
6ktmv dt
(C ) ⎰T
23
T
25
18k mt dt (D ) ⎰0
3k mt dt
答( 60、一水池底面积为800米2
, 水深4米, 池顶在水面1米之上。求抽干池
水所需的功。(水的密度为1吨米3
) .
61、一均匀细棒长度为
a , 质量为M , 在其中垂线上距棒中点
36
a 处有一
质量为m 的质点, 求细棒与质点的引力
.
62、一均匀直棒AB , 长为l , 质量为M 。在它的中垂线上距棒
a 单位处
有质量为m 的质点P . 试求该棒对质点
P 的引力.
63、求一质量均匀的半圆弧对位于圆心的单位质量的引力. 第 7 页 共 7 页
)