中考类型——二次函数与相似三角形综合 [问题] 在平面直角坐标系xoy中,抛物线： y =x2/8＋6n x ＋72 n2-2 n 与y轴交于点A(x1 ,0)，B（x 2 ，0） （x1＜x2）两点，与yY轴交于点c。
（1）求n的取值范围
（2）若n＞1/36,且AO + BO = 3CO，求抛物线的解析式以及点A,B,C的坐标
（3）在（2）的情形下，点P,Q分别从A,O两点出发，沿AB,OC方向运动，Q点运动的速度是P点运动速度的2倍，当P点运动到B点时，P,Q两点停止运动，设AP＝k，问是否存在这样的K 值，使一P,Q,O为顶点的三角形与三角形AOC相似？若存在，求出所有这样的k值，若不存在，请说明理由。 这是中考类型的综合题。讲解一下的目的是：学生做得太慢了，临场可能浪费时间，我系统地讲一遍。 分析与解答：首先在脑子里建立一个大致的图像，如下：
令y=0， x2/8＋6n x ＋72 n2-2 n =0 (1) 首先应该考虑⊿＞0。∵抛物线与x轴交于两点, ∴ ? = (6n)2 - 4×(1/8)×(72n2-2n) = n
得n的取值范围： n > 0 (2) ∵n＞1/36, 令x＝0, 则有：C ＝72n2-2n ＝2n(36n - 1) > 0, ∴ C在y轴上方
这个地方有一个关键点：判断交点的位置。 显然用韦达定理比“先求出根的值”再讨论或判断正负，要简洁。 由x2/8＋6n x ＋72 n2-2 n =0 ∵x1＋x2＜0， x1·x2 ＞0 ∴x1、x2均为负值。（看图二）
又：OA + OB＝3OC，即|-x? |＋|x?|＝72n2-2n
解得：n= 1/4 有 A(-8, 0), B(-4, 0), C(0, 4) y = x2/8+ 3x/2 + 4 (3)这一问没有什么了， 但是我习惯上来先回答 这样的点存在，且有两个。（希望学生注意） ∵OA = 8, OC = 4, （注意：OA ＝2OC） 使一P,Q,O为顶点的三角形与三角形AOC相似, ∴满足OP = 2OQ或OQ = 2OP （有两解）
先用坐标表示：AP = K (0＜ K ≤ 4 = AB), OQ = 2K
P(-8+K, 0), Q(0, 2K)， OP ＝8 – K，
1° OP = 2OQ K = 8/5
2° OQ = 2OP ， 2K = 2(8-K)
K = 4 (此时P与B重合)
P(-4, 0), Q(0, 8)。
总之，中考最后一题基本上没有什么难度，只要在仔细的条件下，追求一点速度就可以了。