双曲线及其标准方程
背景
随着新课程改革的开始，素质教育的发展，计算机在教学上的应用越来越广泛，运用多媒体技术教学已成为现实，如何在40分钟的课堂教学中提高教学效果，进行高质量的教学，成为我们研究的重点。利用多媒体教学一方面能够更有效地利用课堂时间，合理的调动学生的课堂积极性，把抽象难懂的知识概念用多媒体展示出来帮助学生理解，丰富教学内容，拓展学生的思维空间，从而获得最佳的教学效果，另一方面也有利于教师的业务进修。
主题
本节课是双曲线内容的第一节, 在此之前学生已经学习了椭圆这种圆锥曲线，对学习曲线方程有了一定基础和方法，教学目标是了解双曲线的标准方程, 能根据已知条件求双曲线的标准方程。标准方程的简单应用中学会一种方法(待定系数法) 两种数学思想(数形结合 分类讨论) ；另外, 在课堂教学过程中了解求轨迹方程的基本方法. 案例设计
一、教材分析
本案例从学生的兴趣入手引入新课，以椭圆的定义和建立椭圆的方程开始引导学生, 着手从双曲线的定义来推导双曲线的标准方程，再从方程以及图像来深刻剖析双曲线的定义, 从而真正理解双曲线的定义及其标准方程。
设置的练习目的在于让学生真正理解标准方程的两种形式, 分清两种形式里的a,b,c 及其焦点坐标, 其中焦点坐标是(±c , 0) 还是(0, ±c ) , 分别对应哪种形式值得强调。
思考是为了真正弄懂双曲线的定义及其图像。例1的目的是用待定系数法求双曲线的方程, 其中蕴含分类讨论的数学思想。例2的目的在于加深对双曲线定义的理解, 以及双曲线标准方程中a,b,c 所指量, 例2的思考是着手对定义后的补充的思考的实践. 只有实践才能真正掌握定义2a
最后的课堂训练是学生自己思考动手解决问题, 让其体验学习过程, 进一步明确今天所学内容, 达到对新学知识的再认识.
二、学情分析
高二学生已经形成了是非观，具备了一定的类比转化及分析问题的能力，在心里上也具备了承受和辨证地接受别人的意见和建议，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。
三、教学目标
了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导方法，能根据已知条件求双曲线的标准方程。
四、教学重点、难点
重点：根据已知条件求双曲线的标准方程，掌握双曲线中a,b,c 之
间的关系
（设计意图研究双曲线的性质离不开a,b,c 之间的的关系）
难点：双曲线的标准方程如何分清双曲线标准方程的两种形式是难
点（解决方法多媒体辅助教学，指导学生自学法）
五、教学程序设计：
创设情境：在上课之前首先用多媒体为学生播放校园歌曲《悲伤的双
曲线》，动听的旋律响起，一下就吸引了学生的注意，看着歌词， 欣赏完歌曲，学生就开始围绕双曲线提问，问定义、怎么画图像、 方程是什么，自然而然的进入了这节课的内容。
（设计意图：学生都是十七八的年纪，正处在爱听歌，喜欢“为赋新诗强说愁”的阶段，所以我从学生兴趣入手，由歌曲引入新课，比生硬的开场白要起到事半功倍的效果。）
(一) 复习提问
1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的
轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数；(3)常数2a ＞|F 1F 2|．
2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
（设计意图：把知识点在黑板上板书出来，在给出双曲线的定义、方程之后让学生能对这两种圆锥曲线的异同直观的进行比较。）
(二) 双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
（设计意图:让学生产生疑问，自己设想，锻炼学生的想象能力。）
1．简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F 1、F 2是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细
绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|MF 1|-|MF 2|是常数，
这样就画出曲线的一支；由|MF 2|-|MF 1|是同一常数，可以画出另一
支．
注意：常数要小于|F 1F 2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就
叫做双曲线．
（设计意图：让学生自己动手，锻炼学生能力的同时活跃课堂气氛）
2．设问
问题1：定点F 1、F 2与动点M 不在平面上，能否得到双曲线？
问题2：|MF 1|与|MF 2|哪个大？
问题3：点M 与定点F 1、F 2距离的差是否就是|MF 1|-|MF 2|？
问题4：这个常数是否会大于等于|F 1F 2|？
（设计意图：让学生回答，锻炼学生的观察能力，分析能力，解决问
题的能力，同时通过这几个问题能准确理解双曲线的定义。）
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)
的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两个
焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
(三) 双曲线的标准方程
设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)
教师引导学生指出：
(1)双曲线标准方程中，a ＞0，b ＞0，但a 不一定大于b ；
(2)如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a 、b 、c 的关系是c 2=a 2+b 2，不同于椭圆方程中c 2=a 2-b 2．
(四) 练习与例题
1、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
焦点F 1 (-3，0) 、F 2 (3，0) ，且2a=4； x 2y 2本题由学生先练习再口答：-=1 45
设计意图：让学生熟记双曲线的定义，会用定义法求曲线轨迹方程。
x 2y 22、证明：椭圆+=1与双曲线x 2-15y 2=15的焦点相同。 259
3、已知两点F 1(-5，0) 、F 2(5，0) ，
(1)求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．
(2)如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
(1)按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b 2=c 2-a 2=42
(2)因为2a=12，2c=10，且2a ＞2c ．所以动点无轨迹．
(五) 小结
1．定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小
于|F 1F 2|)的点的轨迹．
3．图形(见图2-25) ：
4．焦点：F 1 (-c，0) 、F 2 (c，0) ；F 1 (0，-c) 、F 2 (0，c) ．
5．a 、b 、c 的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
（六）、布置作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0) 、(6，0) ，并且经过点A(-5，2) ；
(2)经过点P (-3, 27) 和Q (-62, -7) ，焦点在y 轴上。
3．已知圆锥曲线的方程为mx 2+ny 2=m +n (m
（七）、板书设计
六、案例分析与启示 用学生感兴趣的音乐导入本课，使学生在快乐中学习，运用大量的图片和视频资料对比，激发学生的积极性和主动性。本节课识记内容不多，但是计算很多，需要学生既动手又动脑，另外解析几何内容相对枯燥，所以运用多媒体教学，增加活跃气氛，调动学生的积极性，整节下来，学生兴趣很高，效果不错。但是有点不足的是，有几个学生下课后要求我把课件存入班级电脑，问其原因，想听悲伤的双曲线这首歌，说明对有的学生这节课偏离了主体，重点没发挥作用，还有待改善。