江苏省南通中学2013-2014学年度暑假作业
高二数学01 数学I
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入的相应答题线上．） 1．设全集U =R ，集合A =x |x 2-2x 1}，则集合A ð {x |0
{}
1-2i
等于 ．-i 2+i
3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容
量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 ．64 4．右边的程序语句运行后，输出的S 为17
5．在△ABC 中，∠A=45o ，∠C=105o ，
AC 的长度为 ．1 6．已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是． [-6, 2 ]
7．已知P ：|x－a|＜4；q ：（x －2）（3－x ）>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围
为 ．[-1,6]
⎧x ≤0
⎪
8．已知变量x ，y 满足约束条件⎨y ≥0，表示平面区域M ，若-4≤a≤t时，动直线x+y=a所经过
⎪y -x ≤4⎩
的平面区域M 的面积为7．则t= ．2
9．已知圆C l ：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －l =0对称，则圆C 2的方程
为 ．(x -2) +(y +2) =1
10．等差数列{an }的公差为-2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 20-30 11．如图，过抛物线y 2=2px（p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交
其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程
为 ．y =3x
12
．设函数f (x ) =+ϕ)(0
2
2
2
2
2
ϕ=．
π 6
13．定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，6）与点
B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M' 经过的路线的长度为
．
(1-t ) x +t 2
14．已知关于x 的函数y=（f ∈R ）的定义域为D ，存在区间[a，b]⊆D ，f （x ）的值域
x
也是[a，b]．当t 变化时，b －a 的最大值=
．
3
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 已知向量m =(sinx , -
1) ，向量n =x , 1
2
) ，函数f (x ) =(m +n ) ·m 。 （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期T; （Ⅱ）若不等式f （x ）－t=0在x ∈[
π4
, π
2
]上有解，求实数t 的取值范围． 16．已知lg(3x ) ＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1) ．
(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．
⎧x ＞0，解 由lg(3x ) ＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1) ，得⎪
⎨y ＞0，
⎪⎩3xy ＝x ＋y ＋1.
(1)∵x ＞0，y ＞0， ∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －－1≥0. 即xy ) 2－2xy －1≥0. ∴xy ＋1)(xy －1) ≥0. ∴≥1. ∴xy ≥1.
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x ＞0，y ＞0，
⎛x ＋y 2. ∴x ＋y ＋1＝3xy ≤⎝2∴3(x ＋y ) 2－4(x ＋y ) －4≥0. ∴[3(x ＋y ) ＋2][(x ＋y ) －2]≥0. ∴x ＋y ≥2.
当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2. 17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，
AB ==2，CD =3，直线P A 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是P A ，PB 的中点． （1）求证：MN ∥平面PCD ；
（2）求证：四边形MNCD 是直角梯形； （3）求证：DN ⊥平面PCB ． 17．证明：
（1）因为点M ，N 分别是P A ，PB 的中点，所以
MN ∥AB ．…………………2分
因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．
又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分 （2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，
又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PD ，又AD
PD =D ，所以CD ⊥平面PAD ．……………6分
因为MD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥MD ，
所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分
（3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD =
60． …………………………9分
在Rt △PDA
中，AD =
，PD =
PA =
，MD = 在直角梯形
MNCD
中，
MN =
1
，ND =，CD =
3，
CN ==，
从而DN 2+CN 2=CD 2，所以DN ⊥CN ． …………………………11分
在Rt △PDB 中，PD = DB
， N 是PB 的中点，则DN ⊥PB ．……13分 又因为PB
CN =N ，所以DN ⊥平面PCB ． …………………14分
18. （本小题满分16分）
一位幼儿园老师给班上k (k ≥3) 个小朋友分糖果. 她发现糖果盒中原有糖果数为a 0, 就先从别
处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的
1
分给第一个小朋友; 再从别处抓2块糖加入盒中，2
1
然后把盒内糖果的分给第二个小朋友; …, 以后她总是在分给一个小朋友后, 就从别处抓2块
3
糖放入盒中，然后把盒内糖果的
1
分给第n (n =1,2,3, n +1
k ) 个小朋友．如果设分给第n 个小
朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为a n . （1） 当k =3, a 0=12时, 分别求a 1, a 2, a 3;
（2） 请用a n -1表示a n ; 令b n =(n +1) a n , 求数列{b n }的通项公式;
（3）是否存在正整数k (k ≥3) 和非负整数a 0, 使得数列{a n }(n ≤k ) 成等差数列, 如果存在, 请求
出所有的k 和a 0, 如果不存在, 请说明理由.
1
(a 0+2)=7, 2
11
a 2=(a 1+2)-(a 1+2)=6, a 3=(a 2+2)-(a 2+2)=6. ……3分
34
1
（2）由题意知：a n =(a n -1+2)-(a n -1+2)=n (a n -1+2) , ……6分
n +1n +1
解：（1）当k =3, a 0=12时, a 1=(a 0+2)-
即(n +1)a n =n (a n -1+2)=na n -1+2n , b n =(n +1) a n , ∴b n -b n -1=2n , ……7分
∴b n -b n -1=2n , b n -1-b n -2=2n -2, b 1-
b 0=2.
累加得b n -b 0=
(2+2n )n =n (n +1), ……9分 又b
2
=a 0, ∴b n =n (n +1)+a 0. ……10分
（3）由b n =n (n +1)+a 0，得a n =n +
a 0
, ……12分 n +1
若存在正整数k (k ≥3) 和非负整数a 0, 使得数列{a n }(n ≤k ) 成等差数列,
则a 1+a 3=2a 2, ……14分 即(1+a 0) +3+
12
a 0⎛a ⎫
=2 2+0⎪⇒a 0=0, ……15分 43⎭⎝
当a 0=0时， a n =n ，对任意正整数k (k ≥3) , 有{a n }(n ≤k ) 成等差数列. ……16分 [注:如果验证a 0, a 1, a 2不能成等差数列, 不扣分]
【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；
考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力．本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求a 0的最小值. 19. （本小题满分16分）
已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A (2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距
离之比为
31
. 不过A 点的动直线y =x +m 交椭圆O 于P , Q 两点． 22
（1） 求椭圆的标准方程；
（2）证明P , Q 两点的横坐标的平方和为定值；
（3）过点 A,P , Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标.
x 2y 2
19. 解：（1）设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0). 由题意得a =2, e =. ……2分
2a b
x 2
∴c =3, b =1, ……2分 ∴椭圆的标准方程为+y 2=1. ……4分
4
（2）证明：设点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)
将y =
1
1 x +m 带入椭圆，化简得：x 2+2mx +2(m 2-1) =0○
2
∴x 1+x 2=-2m ,
2
x 1x 2=2(m 2-1) , ……6分 ∴x 12+x 2=(x 1+x 2) 2-2x 1x 2=4,
∴P , Q 两点的横坐标的平方和为定值4. ……7分
22
（3）(法一) 设圆的一般方程为:x +y +Dx +Ey +F =0, 则圆心为（-
D 2
, -
E 2
）,
PQ 中点M (-m , 圆心（-
m 3
), PQ 的垂直平分线的方程为:y =-2x -m , ……8分
22
E 3D E 3
2, ……9分 , -）满足y =-2x -m ，所以-=D -m ○
22222
圆过定点(2,0)，所以4+2D +F =0○3, ……10分
⎧x 12+y 12+Dx 1+Ey 1+F =0,
圆过P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) , 则⎨2 两式相加得： 2
⎩x 2+y 2+Dx 2+Ey 2+F =0,
x 1+x 2+y 1+y 2+Dx 1+Dx 2+Ey 1+Ey 2+2F =0,
2
2
2
2
x 12+x 22+(1-
x 14
2
) +(1-
x 24
2
) +D (x 1+x 2) +E (y 1+y 2) +2F =0, ……11分
y 1+y 2=m , ∴5-2mD +mE +2F =0○4. ……12分
因为动直线y =
12
x +m 与椭圆C 交与P,Q （均不与A 点重合）所以m ≠-1，
3(m -1) 4
, E =
32m +
32,
35
F =-m -, ……13分
22
由○2○3○4解得:D =
3335
x +(m +) y -m -=0, 42222
335333
整理得：(x 2+y 2-x +y -) +m (x +y -) =0, ……14分
422422代入圆的方程为：x 2+y 2+
335⎧22
x +y -x +y -=0, ⎪⎧x =0, ⎧x =2, ⎪422所以：⎨……15分 解得：⎨或⎨(舍).
333y =1, y =0⎩⎩⎪x +y -=0, ⎪⎩422
3(m -1)
所以圆过定点(0,1).……16分
22
(法二) 设圆的一般方程为:x +y +Dx +Ey +F =0, 将y =
1
x +m 代入的圆的方程: 2
52⎛E ⎫
5. ……8分 x + m +D +⎪x +m 2+mE +F =0○
42⎝⎭
12m 2(m 2-1) 方程○1与方程○5为同解方程. =, ……11分 =
m 2+mE +F
m +D +42
圆过定点(2,0)，所以4+2D +F =0 , ……12分
因为动直线y =解得: D =
1
x +m 与椭圆C 交与P,Q （均不与A 点重合）所以m ≠-1. 2
3(m -1) 3335
, E =m +, F =-m -, ……13分 (以下相同) 42222
【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.
20．（本小题满分16分）
已知函数f （x ）=ax2+1，g （x ）=x3+bx，其中a>0，b>0． （Ⅰ）若曲线y=f（x ）与曲线y=g（x ）在它们的交点P （2，c ）处有相同的切线（P 为切点）， 求a ，b 的值；
（Ⅱ）令h （x ）=f（x ）+g（x ），若函数h （x ）的单调递减区间为
[-（1）函数h （x ）在区间（一∞，-1]上的最大值M （a ）； （2）若|h（x ）|≤3，在x ∈[-2，0]上恒成立，求a 的取值范围。
a , ]，求： 2
数学Ⅱ
21．(1) 选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知，点A 在变换T ：⎢⎥→⎢'⎥=⎢
⎡x ⎤
⎣y ⎦⎡x '⎤⎣y ⎦⎡x +2y ⎤
作用后，再绕原点逆时针旋转90o ，得到点、B ．若⎥
⎣y ⎦
点B 的坐标为（-3，4），求点A 的坐标．
(2) 选修4－4:坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知在极坐标系下，圆C ：p= 2cos （θ+
π
2
）与直线l ：ρsin （θ+
π
4
）
M 为圆C
上的动点．求点M 到直线l 距离的最大值．
22．（本小题满分10分）
某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数
分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t ），结果如下：
注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． （Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率； （Ⅱ）用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分） 已知函数f （x ）=
12
x 2
+1nx． （Ⅰ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g （x ）=f（x ），求证：[g (x )]n
-g (x n
) ≥2n
-2(n ∈N +
) ．