三角函数的图象与性质
基础梳理 1．“五点法”描图
(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π⎫3
1 (π，0) ⎛，－1⎫ (2π，0) (0,0) ⎛⎝2⎭⎝2⎭ (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π⎫3π
0，(π，－1) ，⎛0⎫，(2π，1) (0,1)，⎛⎝2⎭⎝2⎭2. 三角函数的图象和性质
3. 有f (x ＋T ) ＝f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
对函数周期性概念的理解
周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T ) ＝f (x ) ，其中T 是不为零的常数. 如果只有个别的x 值满足f (x ＋T ) ＝f (x ) ，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T ) ＝f (x ) ，都不能说T 是函数f (x ) 的周期.
函数y ＝A sin(ωx＋φ) 和y ＝A cos(ωx＋φ) 的最小正周期为 |
关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.
调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1) ，则y ＝(t －2) 2＋1≥1，解法错误.
5. 求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间. 应特别注意，应在函数的定义域内考虑. 注意区分下列两题的单调增区间不同; 利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ππ
2x －；(2)y ＝sin ⎛2x ⎫. ＝sin ⎛4⎝⎝4⎭热身练习:
π
x ⎫，x ∈R ( ) ． 1．函数y ＝cos ⎛⎝3⎭
A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数
C ．是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 π⎫
2．函数y ＝tan ⎛⎝4x ⎭的定义域为( ) ．
ππ
x ≠k π＋，k ∈Z D. x ⎪x ≠2k π＋，k ∈Z C. x ⎪44⎪⎪
⎧⎫⎧⎪⎫ππ
⎨x x ≠2k π－，k ∈Z ⎬ x ≠k π－，k ∈Z ⎬ A . ⎨x ⎪B . 44⎪⎪⎩
⎭
⎩
⎭
⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
π
3．函数y ＝sin(2x ＋的图象的对称轴方程可能是( )
3
ππππ
A ．x ＝－ B ．x ＝－ C ．x ＝ D ．x ＝612612
π
x －的图象的一个对称中心是( ) ． 4．y ＝sin ⎛⎝4A ．(－π，0)
3π3π
－，0⎫ C. ⎛，0⎫ B . ⎛⎝4⎭⎝2⎭
π⎫
D. ⎛⎝20⎭
( )
5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是 A.(0，π)
π3π
－，0⎫ C. ⎛，2π⎫ B. ⎛⎝2⎭⎝2⎭π
－π，－⎫ D . ⎛2⎭⎝
ππ
6．已知函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) ，其中φ为实数，若f (x )≤|f (对任意x ∈R 恒成立，且f (f (π)，
62
则f (x ) 的单调递增区间是( )
πππ
A ．[k π－k π＋k ∈Z ) B ．[k π，k π＋](k ∈Z )
362π2ππ
C ．[k π＋k π＋](k ∈Z ) D ．[k π－，k π](k ∈Z )
632
x π⎫
7. 函数f (x ) ＝3cos ⎛⎝24⎭x ∈R 的最小正周期为____． π
x ＋⎫的最大值为_____，此时x ＝_________. 8.. y ＝2－3cos ⎛⎝4⎭
9．函数y ＝(sinx －a ) 2＋1，当sin x ＝1时，y 取最大值；当sin x ＝a 时，y 取最小值，则实数
ππ
10．函数f (x ) ＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[]上的最大值是
42
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：
(1)y ＝lgsin(cos x ) ； (2)y ＝sin x －cos x . 变式训练1 (1)
求函数y =
lg(2sinx -1) +的定义域；
x cos(+)
28
(2)
求函数y =
的定义域.
题型二、三角函数的五点法作图及图象变换
π
例2已知函数f (x ) ＝4cos x sin(x ＋) －1.
6
(1)用五点法作出f (x ) 在一个周期内的简图；
(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R ) 的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？
题型三 三角函数图象与解析式的相互转化
π
例3函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0
2
(1)求f (x ) 的解析式；
π
(2)设g (x ) ＝[f (x －2，求函数g (x ) 在
12
ππ
x ∈[上的最大值，并确定此时x 的值．
63
例43sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，求a 的取值范围，并求此时x 1＋x 2的值．
π
例4已知函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) ，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜) 的图象与x 轴的交点
2
π2π
中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M 2) ．
23
(1)求f (x ) 的解析式；
π1
(2)将函数f (x ) 的图象向右平移个单位后，122
纵坐标不变，得到y ＝g (x ) 的图象，求函数y ＝g (x ) 的解析式，并求满足g (x )≥2且x ∈[0，π]的实数x 的取值范围．
题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用
π
例1已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ) ，其中ω＞0，|φ|＜.
2
π3π
(1)若cos cos φ－sin φ＝0，求φ的值；
44
π
(2)在(1)的条件下，若函数f (x ) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f (x ) 的
3
解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x ) 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．
题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： π
－2x ＋⎫；(2)y ＝|tan x |. (1)y ＝sin ⎛3⎭⎝
ππ
4x ⎫＋cos ⎛4x －的周期、单调区间及最大、最小值； 变式训练2 (1)求函数y ＝sin ⎛6⎝3⎭⎝π
x ＋⎫－1. (2)已知函数f (x ) ＝4cos x sin ⎛⎝6⎭
ππ
－上的最大值和最小值. ①求f (x ) 的最小正周期； ②求f (x ) 在区间⎡⎣64
题型六、三角函数的对称性与单调性及应用
例2已知向量m ＝(3sin2x －1，cos x ) ， n ＝(1,2cosx ) ，设函数f (x ) ＝m ⋅n ，x ∈R.
(1)求函数f (x ) 图象的对称轴方程； (2)求函数f (x ) 的单调递增区间．
题型七 三角函数的对称性与奇偶性
π
|φ|≤的图象关于直线x ＝0对称，例3 (1)已知f (x ) ＝sin x ＋3cos x (x ∈R ) ，函数y ＝f (x ＋φ) ⎛⎝2则φ的值为________.
4π⎫
(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ) 的图象关于点⎛⎝30⎭中心对称，那么|φ|的最小值为( ) π A .
6
5π
变式训练3 (1)已知函数f (x ) ＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝，则函数g (x ) ＝a sin
3x ＋cos x 的最大值是 ( )
πB. 4
πC. 3
πD. 2
2A.
3
2B. 3
4C. 3
2D. 3
π
(2)若函数f (x ) ＝a sin ωx＋b cos ωx (0
4ωπ⎫
的图象的一个对称中心是⎛⎝8，0⎭，则f (x ) 的最小正周期是________.
题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用
2sin x cos 2x
例3(1)求函数y ＝
1＋sin x
(2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值；
1+cos 2x x x
(3)若函数f (x ) ＝－a sin －的最大值为2，试确定常数a 的值．
224sin(+x )
2
【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．
b
(1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a ＋b sin(x ＋φ)(其中tan φ＝．
a
(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C . (3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sinx cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化．
a sin x ＋b a cos x ＋b (5)y ＝(或y ＝) 型，可用分离常数法或由|sinx |≤1(或|cosx |≤1) 来解决，也可
c sin x ＋d c cos x ＋d
化为真分式去求解．
a sin x ＋b (6)y ＝
c cos x ＋d
π
例4已知函数f (x ) ＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数) ，且是函数y ＝f (x ) 的一个零点．
4
(1)求a 的值，并求函数f (x ) 的最小正周期；
π
(2)当x ∈[0，时，求函数f (x ) 的最大值和最小值及相应的x 的值．
2
题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用
ππ⎛
0，函数的最大值为1，最例题：已知函数f (x ) ＝－2a sin 2x ＋＋2a ＋b 的定义域为⎡⎣2⎝
6⎭
小值为－5，(1)求a 和b 的值.
π
x ＋且lg g (x ) ＞0，求g (x ) 的单调区间． (2)若 a ＞0，设g (x ) ＝f ⎛⎝2三角函数的图象与性质练习一
一、选择题
1．对于函数f (x ) ＝2sin x cos x ，下列选项正确的是( )
ππ
A ．f (x ) 在(，上是递增的 B ．f (x ) 的图象关于原点对称
42
C ．f (x ) 的最小正周期为2π D ．f (x ) 的最大值为2
ππ
2．若α、β∈(，，那么“α＜β”是“tanα＜tan β”的( )
22
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
ππ
3．已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|
26
后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x ) 的图象( )
π5π
A ．关于点0) 对称 B ．关于直线x ＝
12125ππ
C ．关于点0) 对称 D ．关于直线x ＝对称
1212
π
4．已知f (x ) ＝sin x ，x ∈R ，g (x ) 的图象与f (x ) 的图象关于点(，0) 对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )
4
的x 的取值范围是( )
π3π3π7ππ3π3π3πA ．[] B ．[] C ．[] D ．[，44442242
ππ
5．已知函数f (x ) ＝3sin(ωx＋φ) ，g (x ) ＝3cos(ωx＋φ) ，若对任意x ∈R ，都有f (x ) ＝f (－x ) ，则
33
π
g () ＝____. 3
πx π
6．设函数f (x ) ＝，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2) 恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为
25
7．已知函数f (x ) ＝sin x ＋cos x ，f ′(x ) 是f (x ) 的导函数． (1)求f ′(x ) 及函数y ＝f ′(x ) 的最小正周期；
π
(2)当x ∈[0时，求函数F (x ) ＝f (x ) f ′(x ) ＋f 2(x ) 的值域．
2
8．设函数f (x ) ＝2cos x (sinx ＋cos x ) －1，将函数f (x ) 的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )
的图象．
(1)求函数f (x ) 的最小正周期；
π
(2)若0＜α＜g (x ) 是偶函数，求α的值．
2
三角函数的图象与性质练习二
π
2x ＋图象的对称轴方程可以为 1. 函数f (x ) ＝sin ⎛3⎝5π
A. x ＝
12
ππB. x ＝ C. x ＝
36
( )
π
D . x ＝
12
( ) π⎫D. ⎛⎝2，0⎭
( )
π
x 的图象的一个对称中心是 2. y ＝sin ⎛⎝4A.(－π，0)
3π3π
－0⎫ C. ⎛，0⎫ B. ⎛⎝4⎭⎝2⎭
π
3. 函数y ＝3cos(x ＋φ) ＋2的图象关于直线x ＝φ的可能取值是
43πA. 4
3ππB. － C.
44
π
D. 2
二、填空题 4. 函数y ＝lg(sin x ) 1
cos x －___________.
2
π
5. 已知函数f (x ) ＝3sin(ωx－ω>0)和g (x ) ＝2cos(2x ＋φ) ＋1的图象的对称轴完全相同. 若x ∈[0，
6π
，则f (x ) 的取值范围是______________. 2
π⎡
4．函数f (x ) ＝2sin ωx(ω＞0) 在⎢0，4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，
⎣⎦那么ω等于________．
π
2x ＋⎫ (x ∈R ) ，有下列命题： 6. 关于函数f (x ) ＝4sin ⎛3⎭⎝
π
2x －； ①由f (x 1) ＝f (x 2) ＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x ) 的表达式可改写为y ＝4cos ⎛6⎝ππ
－0⎫对称；④y ＝f (x ) 的图象关于直线x ＝－. ③y ＝f (x ) 的图象关于点⎛⎝6⎭6其中正确命题的序号是_________ 三、解答题
π
7. 设函数f (x ) ＝sin (2x ＋φ) (－π
(2)求函数y ＝f (x ) 的单调增区间.
πππ
2x ＋ (－x
三角函数的图象与性质练习三
一、选择题
π
0，⎤ 时，1. 定义在R 上的函数f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若f (x ) 的最小正周期是π，且当x ∈⎡⎣2⎦5π⎫
f (x ) ＝sin x ，则 f ⎛⎝3⎭的值为 ( ) 1
A. －
2
13 C. － 22
D. 3
2
ππ
－，上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) 2. 已知函数f (x ) ＝2sin ωx(ω>0)在区间⎡⎣342
A. 3
3B . 2
C.2
D.3
( )
5π⎫
3. 函数f (x ) ＝cos 2x ＋sin ⎛⎝2x ⎭是
A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题
π
4. 设定义在区间(0，上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的
2垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________. π
0上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝5. 函数f (x ) ＝2sin ωx(ω>0)在⎡⎣4
___________. 6. 给出下列命题：
2π3＋是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝； ①函数y ＝cos ⎛⎝322
5ππ
2x ＋⎫的一条对称轴；③若α、β是第一象限角且α
2x ＋的图象关于点⎛，0⎫成中心对称图形. 函数y ＝sin ⎛3⎝⎝12⎭其中正确的序号为___________. 三、解答题
7. 若函数f (x ) ＝sin 2ax －sin ax ·cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，并且切点的横坐标依次成公π
差为的等差数列. (1)求m 的值；
2
π
0，求点A 的坐标. (2)若点A (x 0，y 0) 是y ＝f (x ) 图象的对称中心，且x 0∈⎡⎣2
三角函数的图象与性质练习四
一、选择题
1．函数f (x ) ＝2sin x cos x 是( ) ．
A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) ．
555
－，－1⎤ C. ⎡－，1⎤ D. ⎡－1， A ．[－1,1] B. ⎡4⎣4⎦⎣4⎦⎣
π⎡π，π上单调递减，0，⎤上单调递增，3．若函数f (x ) ＝sin ωx(ω＞0) 在区间⎡在区间则ω＝( ) ． ⎣3⎦⎣3223
A. B. C ．2 D ．3 324．函数f (x ) ＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( ) ． A ．2π B.
3ππ
C ．π D. 22
ππ5．下列函数中，周期为π，且在⎡⎣42上为减函数的是( ) ．
π2x ＋ A ．y ＝sin ⎛2⎝
πx ＋ C ．y ＝sin ⎛⎝2π2x ＋⎫ B ．y ＝cos ⎛2⎭⎝πx ＋⎫ D ．y ＝cos ⎛⎝2⎭
πx －⎫(x ∈R ) ，下面结论错误的是( ) ． 6．已知函数f (x ) ＝sin ⎛⎝2⎭
π0上是增函数 A ．函数f (x ) 的最小正周期为2π B ．函数f (x ) 在区间⎡⎣2C ．函数f (x ) 的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x ) 是奇函数
二、 填空题
7.y =－|sin（x +π）|的单调增区间为_______. 4
8. 要得到y =3cos 2x -⎛
⎝π⎫⎪的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移___单位. 4⎭
9. 若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为_______.
10函数f(x)
0≤x ≤2π) 的值域是______ __. ⎛
⎝π⎫⎪(ω>0) ，f 3⎭⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫，且在区间=f f (x ) ⎪ ⎪ ⎪有最小值，无63⎝⎭⎝⎭⎝63⎭11. 已知f (x ) =sin ωx +
最大值，则ω＝__________
12、给出下面的3个命题：（1）函数y =|sin(2x +
在区间[π, π3) |的最小正周期是π3π（2）；函数y =sin(x -) 223π5π5π（3）x =是函数y =sin(2x +) 上单调递增；) 的图象的一条对称轴. 其中正242
确命题的序号是 ．
πωx⎫(ω＞0) 的最小正周期为π，则ω的值为________． 13．若函数f (x ) ＝cos ωxcos ⎛⎝2⎭
π2x ＋的图象与x 轴交点的坐标是______． 14．函数y ＝tan ⎛4⎝
⎡－ππ⎫是偶函数，则θ的值为________． 15．已知函数f (x ) ＝sin(x ＋θ) ＋3cos(x ＋θ) ⎛θ∈⎝⎣22⎭
三、解答题
π⎫1－x . (1)若α∈[0，π]，且sin 2α，求f (α) 的值； 16．已知f (x ) ＝sin x ＋sin ⎛⎝2⎭3
(2)若x ∈[0，π]，求f (x ) 的单调递增区间．
π17．设函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0) ，y ＝f (x ) 图象的一条对称轴是直线x ＝. 8
(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x ) 的单调增区间．
πx （1）求f (x ) 的最小正周期． -) -2cos 2+1．468
4（2）若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，求当x ∈[0,]时y =g (x ) 的最318、设函数f (x ) =sin(
大值．
πx π