长沙理工大学模拟试卷标准答案
课程名称： 线性代数 试卷编号：3
一，判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×， 4，√，5，×； 二：填空题：(每小题5分，共20分)
A *
1，0；2，；3，无关；4，2α+3β；
A
三：计算题（每小题10分，共60分）
111124
1
3
果（3分） 9根据范德蒙行列式的结
-11-2
1，原式=114
-11-[1**********]1
（10分） (1+1)(-2+1)(2+1)(3+1)(-2-1)(2-1)(3-1)(2+2)(3+2)(3-2) =2880；
5⎫⎛00⎫⎛10⎛15-5⎫2
⎪ ⎪ （3分）（3分）（4分） , BA =, A =⎪ -20-10⎪ -3010⎪⎪；00⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3，（1）根据已知B ≠0，可知方程组有非零解，
2，AB =
1
则系数行列式2
2-11
-2
λ=0⇒λ=1；（6分）
-1
3
（2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数≤2，所以B =0；（4分）
⎛1-12-1
02214，
3-18-2
1-30-2⎝1⎫⎛1-12-11⎫⎛1-1⎪ ⎪ 1⎪ 02211⎪ 02→→ ⎪ ⎪40221100⎪ ⎪
⎪ 0⎪⎭⎝0-2-2-1-1⎭⎝00
1-1
210000
1⎫⎪1⎪
（6分） ⎪0⎪0⎪⎭
因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10分）
⎛100⎫
⎪-1
5，根据已知存在矩阵P =(p 1, p 2, p 3)，使得P AP = 000⎪，（4分）
00-1⎪⎝⎭⎛100⎫⎛12-2⎫⎛100⎫⎛ ⎪-1 ⎪ ⎪ 所以A =P 000⎪P = 2-2-1⎪ 000⎪ 00-1⎪ 31⎪ ⎪2⎭⎝00-1⎭ ⎝⎭⎝⎝-⎫⎪
⎪（8分） ⎪-⎪⎭
⎛ = -⎝⎛1 -1
6，A =
0 0⎝
-⎫⎪-⎪（10分） ⎪
⎪⎭-100⎫
⎪
502⎪
，（5分）
010⎪
⎪
200⎪⎭
1-10
1-=4>0, -150=4>0，=-40, （9分）
-15
001
因此f 既非正定也非负定；（10分） 四：证明题：（10分）
证明；设存在一组数设k 1, k 2, k 3使得k 1(α+2β) +k 2(β+2γ) +k 3(γ+2α) =0，（3分） （4分） ⇒(k 1+2k 3) α+(2k 1+k 2) β+(2k 2+k 3) γ=0，
⎧k 1+2k 3=0
⎪
又向量组α1, α2, α3线性无关，因此⎨2k 1+k 2=0⇒k 1=0, k 2=0, k 3=0，（9分）
⎪2k +k =0
3⎩2
由此可知，α+2β, β+2γ, γ+2α也线性无关。（10分）