把握数学本质，加深数学思维
12数教 何志勇 11号
【摘要】数学是用数来揭示自然规律的科学。数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想、心灵的升华。突出数学本质教学，就是要求我们在教学过程中，让学生理解数学概念，把握数学思想，感悟数学特有的数学思维方式，追求数学精神。对数学本质的理解与把握决定了一个数学老师的教学观和教学效果，因为有什么样的价值观就有什么样的行为方式，有什么样的行为方式就有什么样的行动结果。
【关键词】数学本质 数学思维 数学思想 数学理性思维
学生现状一：“一根铁丝剪去的长度，还剩0.6米。”这是北师大版教材5五年级上册练习题。影响学生对它的正确性的判断直接因素：对分数意义的理解：把“单位1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。如果学生能非常深刻去领悟分数的意义，对于它的正确性是不可能有任何疑义。
学生现状二：一个三角形和一个平行四边形同底，且面积相等，已知三角形的高是3.4分米，则平行四边形的高是（ ）分米。面对类似这种需要分析的题目，学生便束手无策。
面对这些学生，我开始思考：如何改善这样的被动与狭隘？影响学生思维深刻的因素是什么？如果改变学习方式，让学生充分感受数学知识的本质与形成过程，是否会有较大的改观？突然脑中忽闪一个词：数学本质。或许这才是影响老师教学，学生学习数学的主要因素吧！
首先我们得弄清楚的问题：数学本质到底是什么？
数学是用数来揭示自然规律的科学。数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想、心灵的升华。
对数学本质的理解与把握决定了一个数学老师的教学观和教学效果，因为有什么样的价值观就有什么样的行为方式，有什么样的行为方式就有什么样的行动结果。
作为数学内容的本真意义，这需要我们对具体内容进行深入挖掘，一层一层地追问。隐藏在客观事物背后的是什么数学、数学规律？这个数学知识的本质属性是什么？统摄具体数学知识与技能的数学思想方法是什么？
所以我认为如果一个老师懂得去深刻理解、挖掘数学本质，该是学生多大的一种服气和幸运。 2
一、充分挖掘数学思想。
数学内容中蕴含着数学思想和方法，它是数学知识在更高层次上的抽象和概括。数学观念、思想和方法是数学科学的“灵魂”，在促进学生的发展中具有决定性的作用。其价值不仅仅在于学生掌握了它便能更加透彻地理解数学知识，还在于它是学生创造精神和创造力的坚实基础。数学知识本身是非常重要的，但真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。在数学学习中，要让学生不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神、思想和方法。掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆，领会数学思想方法是通向迁移的“光明之路”。
镜头一：
出示平行四边形。
师：你能计算它的面积吗？
在学生独立思考的基础上，学生出现了两种思考。
①6×4（底×邻边） ②6×3（底×高）
师：我们一起来研究一下这两种方法。
师：6×3表示什么意思？
生：把左边的这个角移过来补到右边，就变成了一个长方形。
师：他刚才是怎么做的？我们来想象一下：把这个三角形移过来，放过去，变成了一个什么图形？长为多少？宽为多少？
师：6是什么？还是什么？
生：6是长方形的长，还是平行四边形的底。
师：3是什么？还是什么？
生：3是长方形的宽，还是平行四边形的高。
师：6×3求的是谁的面积？哪个长方形的面积？
生：长方形的面积是18平方厘米，平行四边形的面积也是18平方厘米。 师板书：长方形的面积=长×宽
平行四边形面积=底×邻边
师：现在求出的平行四边形的面积对吗？
生：可以。
师：为什么可以求出长方形的面积就算出了平行四边形的面积？
生：面积转化过程中面积没有发生变化。
在亲身经历思考、探求结果的过程中，学生获得的又仅是一个公式？“把一个平行四边形割补以后转化成一个长方形，计算平行四边形面积”的思想已经深深埋藏孩子大脑中。所以至今为止，还有学生是想着长方形算平行四边形面积。我想对数学本质的深刻认识就是忘了数学知识，却还记得数学思想。
二、呈现数学知识的内核。
今天听了学校同事的一节《认识负数》。让我若有所思：
环节一：游戏导入课堂。
游戏规则：同桌玩石头、剪子、布游戏，赢一次得2分，输一次扣2分。 师：你自己的方法记录下输赢情况。
生：用+2来表示我赢了一次，用－2表示同桌输了一次。初次感受负数的存在。
环节二：温度计引入负数。
师出示：金华气温+4摄低度；北京气温－4摄低度。能不能在温度计上表示出＋4度和－4度。经过一番讨论和纠正，终于找到了这两个数在温度计上的位置。
这一正一负的两个数，温度计一上一下的两个点，不就是数轴上两个整数吗？这“0”刻度，不就是正负数的分界点吗？如此丰富多彩的数学世界，却被忽视了，这不能不让人为之感叹遗憾。
环节三：生活中的负数。
师：在我们的生活中也有很多负数，你在哪些地方见过？
由于农村孩子知识面比较狭隘，他们所谈及都是与温度有关的负数。
师图片出示：炒股涨跌
电梯楼层
存折存取
本以为老师提供了多么有价值的素材，可以让学生真正感悟到“负数是用来表示相反意义量”的真正含义，可是却被一带而过，只是粗粗认了三个负数。遗憾再次产生。
听完课后，我不禁反复问自己：到底为什么学负数？哪里需要用负数？为什么要引进负数？负数的数学本质是什么？
思考一：我们用正整数来表示物体数量的多少，一个物体也没有就用0来表示，测量和计算有时不能得到整数的结果，就要用分数和小数来表示。
那么在温度计上温度计液面指在0以上第4刻度，它表示的温度是4℃，那么温度计液面指在0以下第4刻度，如果还用4℃来表示，那么就无法区分是零上4℃还是零下4℃，因此我们就引入一种新数——负数。人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如：在记账时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负；楼层、海拔、水位、盈利、增产/减产、支出/收入、得分/扣分等方面。
所以贯穿本课的主线是：让学生充分感悟在表示两个相反意义的量的时候，需要用负数来表示。
思考二：数与数轴。数的深入认识离不开数轴。在环节二中的温度计，就是纵向摆放的一个数轴。不由此抽象出数轴，这不能不说是一个遗憾。在这里，教师本应引导学生在数轴上找找正数，想想负数，看看差距。让学生真正明白负数也是数世界的一部分。而如果把数轴向右方向作为正方向，那么0的反方向就可以用负数来表示。在这条数的轴上，正负数的本质意义、0的分界点意义也被理解、分析得淋漓尽致。
思考三：0的分界意义。0在学生头脑里已形成两个比较深的概念，即表示“没有”或“起点”，但在正数和负数中表示“分界”是一个全新的概念。对于理解为什么规定0既不是正数，也不是负数，就更加难了。静态的教学往往不能形象地展示分界点，如果化静为动、动静结合，使静态知识动态化，就该轻松地化解难点。零度刻度线、海平面就是正负数的分界点，零度以上、海平面以上为正数，反之，则为负数。引导学生以0刻度线为形象支撑，并与0比较大小关系，得出结论“0”既不是正数又不是负数。正数都比0大，负数都比0小的规律。这样，既拓展了学生的思维空间，分化了教学难点，又把抽象的数融入到数学意义中，并在数的历史长河中构建了新的认知结构。
张奠宙教授认为，在实际教学中，教学本质常被两种活动所掩盖：一是过度的形式化，把光彩照人的数学女王，用x 光看成一副“管架”；另一种是教条式的教学改革，只图表面热闹，“去数学化”的走过场。因此在数学教学中，一要教“活动”，要将数学知识演变成数学思维活动，来激发学生学习数学的积极性，反对呈现过度的形式化的数学. 二要教“数学化”，不能把数学课上成一般的、失去“数学味道”的“活动课”，而要突出数学知识的内核，注重数学思想方法的提炼，强化数学素质的培养。
只要我们能多想一点，想深一点，寻找出数学知识的本源，那么往往就能化繁为简，很快得到问题的答案。这个时候，我们往往会发现惊叹：数学原来是这么神奇的！探究问题的本质，经历数学知识的形成发展过程，就是学习数学的最好方法。
三、强化理性思维的训练
每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。理性思维理应作为新教育理念下的一个教学目标，在数学课堂教学中得到应有的重视。从这个意义上说，我们应该着眼于培养学生自觉进行理性思维的意识，探索进行理性思维的方法（如逐步理性化）。
而很多时候，新课程下的很多研究课，都试图通过教学中的内容、活动等各要素去促进学生的理解。这脱离了对具体数学内容的深刻理解以及由此而衍生出的数学思想方法的扎实领会，所说的理性思维将从何而来？学生的深层理解从何而来？
还是上面案例《负数的认识》一课，看似课堂上学生都认识了负数，但是对那些颇具思维深度与思想方法内涵的内容，教师蜻蜓点水般的解释，必然使大多数学生最终在“似懂非懂”、“似是而非”或“知其然而不知其所以然”的朦胧状态中被动接受数学。
在每一个数学概念、数学知识的背后，是有何其数学本质，我们又该如何把存乎学生头脑中的思维心结通过教学被真正地巧妙化解，从而让学生深层理解与建构变换过程的数学本质与内涵。
四、挖掘数学教学的价值
小学数学会被认为是一门非常简单的学科，；看似简单的数字，背后也蕴藏了丰富的内涵；看起来简单的问题，反而难于回答。例如 1,2,3,...... 都是抽象的数，并不代表一把椅子、二只兔子、三个皮球，都是已经抽象的概念，它已丢掉了事物许多具体特征：椅子的质料，白兔的品种，皮球的颜色，等等。便剩下了赤裸裸的1、2、3„„。几何里的直线、点、平面也是一种抽象慨念，点没有大小、直线没有粗细、平面没有厚薄，超越空间，存在于数学世界之中。
正如说明演绎方法时提过，一切我们所接受的数学事实，必须是由基础概念、公理、推论而来。例如平行四边形面积计算、三角形内角和，数学的论断不能由作实验中得到，就是算上上千万个平行四边形、量上一千万个三角形，也不能因
而断言所平行四边形都是这样去计算，所有三角形三内角和是一百八十度。
教学《平行四边形》面积计算教学案例：
（1） 每一小格代表1平方厘米。
（2） 说一说你是怎么想的？（引导学生思考：可以转换成怎样的
长方形？）
（3） 算出来的面积是谁的面积？
生1：图①可以转化成长为4厘米，宽为3厘米的长方形。
生2：图②可以转化成长为4厘米，宽为2厘米的长方形。
生3：图③可以转化成长为5厘米，宽为3厘米的长方形。
生4：图④可以转化成长为4厘米，宽为2厘米的长方形。
师：刚才我们都把平行四边形转化成了一个长方形，从而算出了平行四边形的面积。是不是任意一个平行四边形都可以转换成一个长方形？
生：可以的。
师：可以怎么转换？
生：沿着高把三角形剪下来，拼到另一边，就变成了一个长方形。
师：除了这样剪下来，还有其它方法吗？
生：沿着另一条底画一条高，然后把三角形剪下去，拼到另一边去，也可以变成一个长方形。
师：你听得懂吗？他这样剪拼是以哪条边作底的？
师小结：不管怎么剪拼，都是沿着高剪下的部分拼到另一边，把平行四边形转化成一个长方形。
只通过一个平行四边形的面积计算何以得出结论？即使是小学数学，我也认为应该渗透这样的辩证思维方式，感受数学的严密性和科学性。计算方法的价值在于从特殊到一般进行演绎推理。因此，教学中要引导学生对得到的结果进行反思， 这时应追问学生“是否所有的平行四边形可能这样计算？”在学生对这个关键问题进行纷纷议论之后指出：从数学本质看，要获得这一规律，就要从我们目前的知识储备出发，理性验证“平行四边形转化成长方形”的数学本质。
突出数学本质教学，就是要求我们在教学过程中，让学生理解数学概念，把握数学思想，感悟数学特有的数学思维方式，追求数学精神。
补充资料：
东北师大史宁中校长与孔凡哲在《人民教育》2008年第21期上有一个《“数学教师的素养”对话录》，此中说道如何增强自己的数学专业功底？一是理解数学抽象、推理、模型等核心数学思想，把握数学的主要思维特征。二是正确理解中小学数学中的“关系”，从整体上把握中小学数学课程内容。三是有针对性地深入研究不同学段中核心数学内容的学科本质，切实将数学专业功底与研究中小学数学课程的核心内容融合在一起。
【参考文献】：
卜以楼 《数学本质教学的个案研究》
吕林海 《从理性思维到深层理解：数学教学的实质性关注》 中学数学教学参考(初中) 2004年12期
隋鸣 许敏慧 《数学实验活动与数学教学》 数学教育学报 2004年2期数学发展史http://blog.csdn.net/rideronstorm/archive/2006/04/12/660302.aspx
张景中 《数学与哲学》 大连理工大学出版社 2008年7月
史宁中 孔凡哲 《数学老师的素养对话录》 人民教育 2008年21期