2.1.2 基本电压空间矢量与正六边形空间旋转磁场
在常规PWM 变压变频调速系统中，逆变器输出的供电电压并不是三相平衡正弦电压，那么电压空间矢量u 的运动轨迹又是如何呢？下面进行详细分析。如图2.2所示的三相电压源逆变器-异步电动机调速系统主电路的原理图。
图2.2 三相电压源逆变电路 Fig.2.2 Three-phase voltage inverter circuit
图2.2中，V 1~V 6表示6个IGBT 功率开关管，其中，V 1和V 2、V 3和V 4、
V 5和V 6分别构成上下桥臂。定义a 、b 、c 分别代表3个桥臂的开关状态。当V 1为“开”状态，且V 2为“关”状态时，a 为1；当V 2为“开”状态，且V 1为“关”状态时，a 为0。当V 3为“开”状态，且V 4为“关”状态时，b 为1；当V 4为“开”状态，且V 3为“关”状态时，b 为0。当V 5为“开”状态，且V 6为“关”状态时，c 为1；当V 6为“开”状态，且V 5为“关”状态时，c 为0。因此，6个IGBT 功率开关管共能形成000、001、010、011、100、101、110、111八种开关状态
[19]
。其中6个IGBT 功率开关管为000和111开关状态时，逆变器的输出电压为根据上述定义与分析，由图2.2可以很容易地推导出三相电压源型PWM 逆
零，所以把这两种开关状态称为零状态。
变器输出的线电压矢量和相电压矢量与开关状态矢量的关系式分别为：
⎡U AB ⎤
⎢U ⎥=U
DC ⎢BC ⎥
⎢⎣U CA ⎥⎦
⎡ 1 -1 0⎤⎡a ⎤
⎢ 0 1 -1⎥⎢b ⎥ (2.2) ⎢⎥⎢⎥⎢⎣-1 0 1⎥⎦⎢⎣c ⎥⎦
⎡U A ⎤
⎢U ⎥=1U ⎢B ⎥3DC ⎢⎣U C ⎥⎦⎡ 2 -1 -1⎤⎡a ⎤
⎢-1 2 -1⎥⎢b ⎥ (2.3) ⎢⎥⎢⎥⎢⎣-1 -1 2⎥⎦⎢⎣c ⎥⎦
式（2.2）和式（2.3）中，
U DC ——直流母线电压（或称总线电压）。
将式（2.2）和式（2.3）所表示的对应关系展开见表2.1所示。
表2.1 相电压和线电压与开关状态的对应关系
Table 2.1 Corresponding relations between switch states and phase voltages and line voltages
将表2.1中的八组相电压值分别代入式（2.1）便可以得到这八组相电压的矢量和及其相位角。定义这八个相电压的矢量和为基本电压空间矢量，并根据其相位角分别命名为O 000、U 0、U 60、U 120、U 180、U 240、U 300、O 111。其中称O 000和O 111为零电压矢量。
图2.3 基本电压空间矢量 Fig.2.3 Basic voltage space vectors
八个基本电压空间矢量的大小和位置如图2.3所示。其中六个非零基本电压空间矢量的幅值相等，相邻两基本电压空间矢量之间互相间隔60°，而两个幅值为零的基本零电压空间矢量则位于中心。
由于表2.1中的线电压值和相电压值都是在图2.1所示的A -B -C 三相静止坐标系上求得的，为方便下文的计算，需要将其全部转换到α-β两相静止直角坐标系中求值。令α-β两相静止直角坐标系中的α轴与A -B -C 三相静止坐标系中的A 轴重合，β轴超前α轴90°。按照在两个坐标系之间转换时电动机总功率不变的原则，得到变换矩阵（详细推导过程见第一章的第1.2节）：
C 3/2
11⎤1 - -
22⎥⎥ =
⎥⎥⎦⎣
利用这个变换矩阵，则有：
⎡U α⎤
⎢U ⎥=⎣β⎦
11⎤⎡U A ⎤1 - -⎥22⎢⎥⎥U B (2.4) ⎥⎢⎥-⎥⎢⎣U C ⎥⎦⎣⎦
根据式（2.4），可以得到表2.1中与开关状态a 、b 、c 相对应的相电压U A 、
U B 和U C 的值在α-β两相静止直角坐标系中对应的U α和U β值，结果如表2.2所示。
表2.2 开关状态与相电压在α-β坐标系的分量的对应关系
Table 2.2 Corresponding relations between switch states and components of phase voltages on α-β coordinate
图2.4 正六边形磁链轨迹
Fig.2.4 Regular hexagon flux linkage track
当全部六个非零基本电压空间矢量分别依次单独输出结束后，定子磁链矢量
Ψ矢端运动的轨迹也便形成一个封闭的正六边形。如图2.4所示，当三相电压源
型PWM 逆变器单独输出基本电压空间矢量U 0时，异步电动机的定子磁链矢量
Ψ的矢端从A 到B 沿平行于U 0的方向移动。如果当Ψ移动到B 端时，逆变器的
输出改为基本电压空间矢量U 60，则Ψ的矢端也相应改为从B 到C 沿平行于U 60的方向移动。 2.1.3 磁链轨迹的控制
如前所述，如果异步电动机用常规PWM 逆变器供电，逆变器输出的供电电压并不是三相平衡正弦电压，而是正六边形的旋转磁场。显然，这不可能像三相平衡正弦波供电时所产生的圆形磁场那样能使电动机匀速运行。如何才能获得圆形旋转磁场呢？试想，如果在定子里形成的旋转磁场不是正六边形，而是正多边形或近似圆形的更多边形，那么我们便可以得到近似的圆形旋转磁场了。但是非零的基本电压空间矢量只有六个，要想获得尽可能多的多边形旋转磁场，就必须有尽可能多的相位不同的电压空间矢量。为此，必需对PWM 逆变器的控制模式进行改造来形成逼近圆形的旋转磁场。科技工作者已提出许多实现方法，这里只介绍线性时间组合法[15]。
图2.5 电压空间矢量的线性组合
Fig.2.5 Linear combination of voltage space vectors
如图2.5所示，U x 和U x ±60代表相邻的两个基本电压空间矢量；U out 是U x 和
U x ±60构成的新电压空间矢量，其幅值代表相电压的幅值，其旋转角速度就是输出正弦电压的角频率。设在一个换相周期T PWM 内，U x 作用了时间T 1，U x ±60作用了时间T 2，由于T 1和T 2时间都比较短，所以磁链产生的变化较小，可以分别用电压空间矢量
T 1T PWM
U x 和
T 2T PWM
U x ±60来表示，这两个矢量之和U out 即表示U x 和U x ±60
线性时间组合后的电压空间矢量，U out 与U x 的夹角θ就是新电压空间矢量的相位角。
为方便起见，用6个基本非零电压空间矢量把逆变器的一个工作周期划分为6个区域，称为扇区，如图2.4所示。在各扇区中，逆变器的工作状态都是对称的，所以只需分析其中的一个扇区，便可以将方法推广到其他扇区。实现SVPWM 就是要把每一个扇区再分成若干个对应于T PWM 的小区间，按照上述方法，在不同T PWM 时间作用时采用不同基本电压空间矢量的线性时间组合来得到新的电压空间矢量，并保证其幅值恒定，当T PWM 取足够小时，便可以得到近似圆形的电压矢量运动轨迹。
再来讨论一下零电压空间矢量的作用。在图2.4中，因为当逆变器单独输出电动机的定子磁链矢量Ψ是静止的，所以在满足T PWM =T 1+T 2+T 0O 000和O 111时，
的前提下，将零电压空间矢量作用的时间T 0插入T PWM 期间，这样做可以调整输出角频率从而达到变频的目的。而且为了使磁链的匀速平滑地运动，一般将零电压空间矢量平均分成几份（但其作用的时间和仍为T 0），多点插入到磁链轨迹当中，以减少电动机转矩的脉动[19]。 2.1.4 扇区的确定
如果已知将要输出的一个电压空间矢量U out ，需要计算两个相邻基本电压空间矢量及零电压空间矢量分别作用的时间T 1、T 2、T 0，第一步应该要判断U out 所
在的扇区。定义三个参考电压矢量U A 、U B 和U C ，将其用U out 在α-β两相静止直角坐标系上的分量U α和U β表示，其关系如下式所示：
⎧U A =-U αsin 60︒-U βsin 30︒⎪
⎨U B =U αsin 60︒-U βsin 30︒ (2.5) ⎪
⎩U C =U β
再定义：
S =4sign(U A ) +2sign(U B ) +sign(U C ) (2.6)
式（2.6）中，
i g n () x 1=；i g n () x 0=。sign(x ) ——符号函数。如果x >0，则s 如果x
根据U out 的相位角和幅值可得在α-β两相静止直角坐标系上的分量U α和
U β，结合式（2.5）和式（2.6）计算便得到S 值，再通过表2.3即可查得U out 所在的当前扇区。
表2.3 扇区选择 Table 2.3 Sector selection
2.1.5 相邻两基本电压空间矢量的作用时间
确定输出电压空间矢量U out 所在的扇区以后，就可以来求其所在扇区的相邻两基本电压空间矢量和相应零矢量的作用时间T 1、T 2和T 0。现定义：在某一扇区中，第一个作用的非零基本电压空间矢量称为主矢量，第二个作用的非零基本电压空间矢量称为辅矢量。按照功率开关管的开关状态切换满足最小开关损耗的原则，并结合每个PWM 波都是以零矢量O 000开始和结束的特点，可确定各扇区中的主辅矢量如表2.4所示。
表2.4 各扇区主辅矢量
Table 2.4 The first and the second vectors of each sector
图2.6 输出电压的合成 Fig.2.6 Composition of output voltage
知道各扇区的主辅矢量之后，就可以计算T 1，T 2和T 0了。以扇区1为例，如图2.6所示，矢量U 0、U 60分别作用的时间T 1、T 2和零矢量作用的时间T 0可通过下式确定：
⎧U 0T 1+
U 60T 2=U out T PWM
(2.7) ⎨
⎩T 1+T 2+T 0=
T PWM
用α-β两相静止直角坐标系来描述上式（2.7），则有：
⎧2⎡U α⎤⎡1⎤⎡cos60︒⎤2
⎪U DC ⎢⎥T 1+U DC ⎢⎥T 2=⎢U ⎥T PWM (2.8) 0sin 60︒33⎨⎣⎦⎣⎦⎣β⎦⎪
⎩T 1+T 2+T 0=T PWM
由式（2.8）可以解出：
⎧3β) T PWM DC ⎪T 1=(U α2⎪⎨
⎪T 2=βT PWM DC ⎪T =T
PWM -T 1-T 2⎩0
当输出参考电压矢量U out 位于其它扇区时，按照上述方法同理可求得其主辅矢量作用的时间，结果总结为表2.5所示。
表2.5 各扇区中主辅矢量作用时间
Table 2.5 Action time of the first and the second vectors in each sector
为方便今后工作，定义：
⎧
⎪X =βT PWM DC ⎪
3⎪
⎨Y =α+U β) T PWM DC (2.9)
2⎪⎪3β) T PWM DC ⎪Z =(-U α+
⎩2则T 1，T 2在不同扇区的取值由表2.5简化为表2.6，如下所示：
表2.6 各扇区T 1和T 2值 Table 2.6 T 1 and T 2 of each sector
2.1.6 开关切换时间及电压SVPWM 波的生成
以扇区1为例，定义T cm 1，T cm 2，T cm 3分别为A ，B ，C 三相定子相电压对应的功率开关管的开关切换时间比较值[21]。按照功率开关管状态切换满足最小开关损耗的原则，并结合每个PWM 波都是以零矢量O 000开始和结束的特点，PWM 逆变器开关序列产生的电压空间矢量次序为O 000-U 0-U 60-O 111-U 60-U 0-O 000，输出的PWM 波形如图2.7所示。
图2.7 扇区1输出的PWM 波形图 Fig.2.7 Waveform of PWM output in sector 1
图2.7中标出了三角载波和三相输出电压波形及该扇区的电压空间矢量序列，将三角载波周期T PWM 作为定时周期，与切换时间值T cm 1、T cm 2、T cm 3进行比较以控制逆变器功率开关管的开关状态，从而调制出电压SVPWM 输出波形。
现假定三角载波的幅值和周期恒定，要保证各矢量作用的时间，则有：
⎧T cm 1=(T PWM -T 1-T 2) 4⎪
(2.10) ⎨T cm 2=(T PWM -T 1-T 2) 4+T 12
⎪T =(T
PWM -T 1-T 2) 4+T 12+T 22⎩cm 3
式（2.10）中，T 1，T 2为主辅两个非零基本电压空间矢量的作用时间，不同扇区T 1，T 2值不同，具体值可查看表2.5确定。
定义某扇区中各作用矢量的切换时间分别为T a ，T b ，T c ，则有：
⎧T a =(T PWM -T 1-T 2) 4⎪
(2.11) ⎨T b =T a +T 12
⎪T =T +T 2
b 2⎩c
同理可以求得其他各扇区内各作用矢量的切换时间，整理得表2.7所示。
表2.7 各扇区的矢量切换时间 Table 2.7 Vector switching time of each sector