二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累 次积分 =
∫
0
−1
dy
∫
y 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
化为极坐标系下的累次积分为 π
D
y
∫ π dθ ∫
2
−
2 a cos θ
2
a cos θ
f (r cosθ , r sin θ )rdr
。
O
4 4− y
x
4、 交换积分次序 ∫ dy ∫
2
2
y
∫− 2 dx∫x2 f ( x, y)dy ________________________。
V=
4− x
2
0
− y
f ( x, y )dx + ∫ dy ∫
2
− 4− y
4
2 −2
f ( x, y )dx 为
∫ π dθ ∫
2 − 2
π
a cos θ
0
r ⋅ rdr
2
2
5、以 xoy 面上的圆 D : x 2 + y 2 ≤ ax(a > 0) 为底，曲面 3 2 2 4 。 z = x + y 为顶的曲顶柱体的体积为 πa 32
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
2
6、将 ∫∫
D
dxdy 1 − x2 − y2
π
0
， D : x 2 + y 2 ≤ y 化为极坐标下的累次
y
r dr
0
积分
∫
dθ
∫
sin θ
0
1− r2 。
1
x
7、交换积分次序 ∫ dx ∫
0
1− x
x −1
f ( x, y )dy 为
0
y
1
y = 1− x
1
0
−1
x
∫ dy ∫
0
1
1− y
0
f ( x, y )dx + ∫ dy ∫
−1
1+ y
0
f ( x, y )dx
。
y = x −1
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
3
二、选择
1、设 D : x 2 + y 2 ≤ Rx, I = ∫∫ R 2 − x 2 − y 2 dxdy = A 。
D
1 3 1 3 1 3 D. R π A. R (3π − 4) B . 0 C . − R (3π − 4) 9 9 3 2 2 2 、 设 D : x + y ≤1 ， f 是 D 上 的 连 续 函 数 ， 则
∫∫
D
f
(
x 2 + y 2 dxdy =
1
)
A
。
A. 2π ∫ r ⋅ f (r )dr
C . 2π ∫ f (r 2 )dr
0 0 1
B . 4π ∫ r ⋅ f (r )dr
D . 2π ∫ f (r )dr
0
4
1
0 1
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
3、设 f ( x, y ) 是连续函数，则 ∫ dx ∫
0
4
2 x
x
f ( x, y )dy = A
。
A. ∫ dy ∫ y 2 f ( x, y )dx
0 4
4
y
B . ∫ dy ∫
0 0
4
y2 4 −y y
f ( x, y )dx
C . ∫ dy ∫
0
4
y2 4 y
f ( x, y )dx
D . ∫ dy ∫ y 2 f ( x, y ) dx
4 4
三、计算
1、 I = ∫ dy ∫ e dx
0 y 1 1 y x
y
y=x
0
1 y x x
(1,1)
(4, 4)
x =1 1
1
x
e −1 I = ∫ dx ∫ e dy = ∫ x ⋅ e dx = ∫ x ⋅ (e − 1)dx = 0 0 0 0 2 0
1
x
y x
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
5
2、 ∫∫ sin x 2 + y 2 dxdy ， D : π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π 2
D
解：原式 = ∫0 dθ
2π
∫π
2π
r sin rdr
rd (− cos r )
2π 2π
= ∫ dθ
0 2π 0
2π
∫π
2π
π
2π
= ∫ (− r cos r π + ∫ cos rdr )dθ
π
= ∫ (−2π + π cos π )dθ = −6π 2 0
2π
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
6
3、将 ∫ dx ∫
0
a
x
0
x 2 + y 2 dy 化为极坐标形式的二次积分，
y
y=x
并求值。
解：x = a
极坐标方程 r = a secθ
x=a a
∴ ∫ dx ∫
0
3
a
x
0
x + y dy = ∫ 4 dθ
2 2
0
3
π
∫
a sec θ
0
r dr
2
0
x
a 4 3 a 4 = ∫ sec θ dθ = ∫ secθ d tan θ 3 0 3 0 3 π π a3 a 4 4 − = secθ ⋅ tan θ 0 ∫0 tan θ d secθ 3 3 3 3 3 π a a a 4 3 = 2 − ∫ (sec θ − secθ )dθ = [ 2 + ln( 2 − 1)] 6 6 3 0
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
7
π
π
4、把下列二重积分化为极坐标系下的累次积分：
1) ∫∫
D
x 2 2 2 2 f ( )dxdy, D : x + y = 4 x, x + y = 8 x, y = x, y = 2 x y
arctan 2
解：原式 = ∫π
dθ
4
∫
8cos θ
4cos θ
f (cot θ ) ⋅ rdr
2) ∫∫ x + y dxdy, D : x + y ≤ x, x + y ≤ y
2 2 2 2 2 2 D
解：原式 = ∫ dθ
4 0
π
∫
sin θ
0
r ⋅ rdr
+ ∫π dθ
2 4
π
∫
cos θ
0
4 5 r ⋅ rdr = − 2 9 18
8
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
5、设 f ( x) 在[0,1]上连续，证明：
∫ dx ∫
0
1
x
0
( x − y)
1
n−2
1 1 f ( y )dy = (1 − y ) n−1 f ( y )dy 。 n − 1 ∫0
1 n−2 y
证：左 = ∫0 dy
∫ ( x − y)
f ( y )dx
y
y=x
0
1 1 n −1 1 = ∫0 f ( y) ⋅ ( x − y) y dy n −1 1 1 (1 − y ) n−1 ⋅ f ( y )dy = n − 1 ∫0
x =1 1
x
=右
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
9
6、将二重积分 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化成极坐标系下的二次积分，
D
其中 D 是由 ( x − 1) 2 + y 2 = 1， x 2 + y 2 = 4 （均为上半圆）和 直线 y = − x( y > 0) 所围成的区域。
解：
r = 2cosθ
π
y
y = −x
−2
0
原式=
∫
2 0
dθ
∫
2
1 2
x
2 cos θ 3π 4
f (r cosθ , r sin θ )rdr
+ ∫π dθ
2
∫
2
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr
10
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
7、计算 ∫∫ x 2 + y 2 − 4 dxdy ， D : x 2 + y 2 ≤ 9
D
解：
D2 D1
2
3
2 2 2 2 原式 = ∫∫ (4 − x − y )dxdy + ∫∫ ( x + y − 4)dxdy
D1
D2
= ∫ dθ ∫ (4 − r )rdr + ∫ dθ
2 0 0 0
2π
2
2π
∫
3
2
(r 2 − 4) rdr
41 = π 2
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
11
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解： 原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y)dy =
x
1 3
9、 F (t ) =
x 2 + y 2 ≤t 2
∫∫
e
2π
sin x 2 + y 2
dxdy ，求 F ′(t ) 。
sin r
解：F (t ) = ∫ dθ
0
∫
t
0
re
dr = 2π ∫ resin r dr
0
t
F ′(t ) = 2π tesin t
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
12
10、将下列积分化成极坐标系下的二次积分：
1） ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
0 0 1 1
2） ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
0 0
1
x2
解：1）根据所给积分画出几分区域如图 y 1 1 x = 1 ⇒ r = secθ ∫0 dx ∫0 f ( x, y)dy y = 1 ⇒ r = cscθ 1
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr
y = x2 r = tan θ ⋅ secθ
+
∫π dθ
2 4
1
π
∫
cscθ
0
2
2）∫0 dx ∫0 f ( x, y )dy
= ∫ 4 dθ
0
x
π
∫
secθ
secθ ⋅tan θ
f (r cosθ , r sin θ )rdr
13
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
11、计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ， D : y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 1
D
=0 解： 原式 = ∫∫ xdxdy + ∫∫ ydxdy
D D
y = 4 x2
1
y = x2
= 2 ∫ dy ∫
1 0
1 3 2
y y 2
ydx
2 = ∫ y dy = 0 5
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
14
12、∫∫ x[1 + yf ( x 2 + y 2 )]dxdy ，D : y = x3 , x = −1, y = 1，其中
D
f (u ) 为连续函数。
解： = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy 原式
D D
1
−1
1
= ∫ xdx ∫ 3 dy + ∫ xdx ∫ 3 y ⋅ f ( x 2 + y 2 )dy
1 1
−1
1
x
−1
x
2 =− + 5 2 =− + 5
1 1 2 2 1 ∫−1 x ⋅ F ( x + y ) x3 dx 2 1 1 2 2 2 6 ∫−1 x ⋅ [ F ( x + 1) − F ( x + x )]dx = − 5 2 奇函数
15
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
13、 I = ∫∫ ( x + y )dxdy ， D : x 2 + y 2 ≤ 1
D
解：
y
D1
I = 4 ∫∫ ( x + y )dxdy
D1
0
x
= 4∫
π
2 0
8 dθ ∫ r (cosθ + sin θ ) ⋅ rdr = 0 3
1
14、设 f (u ) 为可微函数， f (0) = 0，求极限
1 lim 3 ∫∫ f t →0 + π t x 2 + y 2 ≤t 2
(
x 2 + y 2 dσ
)
高等数学——Copyright2012 by Samw. All rights reserved.
2t ⋅ f (t ) = lim 解： 原式 = tlim 3 + 2 →0 t →0 + πt 3t 2 f (t ) − f (0) 2 = lim = f ′(0) + t 3 t →0 3
0
16
2π ∫ r ⋅ f (r )dr
t