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Ｓｃｉｅｎｃｅａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｉｎｎｏｖａ最而丽而
？００８
ＮＯ
１０
用方向导数法求解多元函数条件极值
（１．焦作大学基础部
唐军强’杨庆玺ｔ马小霞，耿世佼ｚ
河南焦作４５４００３；２．河南理工大学河南焦作４５４０００）
摘要：本文用方向导数法考虑多元函数条件板值问起，并且在理论上蔫示了这种方法与拉格朗日采子法之两的内在联拳。关键词：梯度方向导教法向量拉格朗日采子法中图分类号：０１７２文献标识码：Ａ文章编号｛１６７４—０９８Ｘ（２００８）０７（＝）一０１７９一眈
１前言
用拉格朗日乘子法求解多元函数条件极值问题，一般都需要求解一个多元方程组，有时候这并不足一件容易的事情。本文我们用方向导数法来重新考虑这一问题。在对于许多问题的计算当中，这种方法的效率更高些。最后我们还将说明这种方法在理论上与拉氏乘子法之间的内在联系。
霎：赐要：碣要：矽卯也
ｏｘ
鲤Ｏｘ一２，鲁＝羔２，誓＝２ｚ’ｔ
７西
’受
剐代入方程组（２）得到
２单个条件函数极值
我们考虑函数ｕ＝ｙ（ｘ，Ｙ，ｚ）在条件烈工，ｙ，ｚ）＝０下的极值问题。函数
＿气，强，Ｙ，ｏ）在点（Ｊ，Ｙ，ｚ）处的梯度向量为
办彬护冼∥∥卸卸却
纠嚣一
・
∽
也就是当动点沿着曲面（争２＋（詈）：＋７＝足２移动时，只有满足
石＝ｙ＝２ｚ的点才可能是函数ｆ的极值点。由此就可以得到极大值点
ｇｒａｄ＝＝娶ｆ＋罢／＋要七钡咖也
函数妒Ｏ，ｙ，ｚ）＝０在点Ｏ，），，ｚ）处的法向量为’
．
嗉见扣万１札
．
露。枣，兽，参ｏｘ＠貔
设曲面认互，Ｙ，ｚ）－－－ｏ在点（工，），，ｚ）处的切平面上的一个向量为（４，ｂ，
ｃ），则应当有
下面我们来考虑这三个向量所构成的行列式
。
卸～昆
：：０
㈣
缸缸Ｈ豢，等，》＝口豢＋６鲁＋ｃ鲁＝ｏ
在上式中，令删，得到江警ｃ／等，从而得判一＃扁ｌｔｔ
钡卯院
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一
一
一
却一苏却一锣
。却一函
（ｏ，一薯“警，ｃ），消去ｃ，整理得到方向相同形式却更简化的向量（ｏ，一薯，争，同样分南令删和例，得到另外两个向量
这说明这三个向量是线性相关的，这也符合几何意义。在三维空间里，和同一个法向量垂直的不可能有三个线性无关的非零向量。这样我们求解极值问题的时候。对于如上例所示的三元函数，只需要其中的两个向鼍就够了。由方程组（３）我们也可以看到，取其中的任意两个方程，最后得到的结果都是一样的。
本文所述的方法也可以推广到ｎ元函数。设函数ｕ＝ｆ（ｘ，，石＇＇．一，善．），条件函数瓠工。，Ｊ：，…。工．）＝ｏ，则“在点（石。，Ｊ：，…。Ｊ。）处的梯度向量为
卜鲁＇ｏ＇争．（一雾，豢，ｏ），把这三个向量分别与
ｇｒａｄｕ：（箬，要，…知（ＴＸｔ％何＾
而曲面贴ｌＪ２＇…，Ｊ。）＝ｏ在Ａ（ｘＩ，工２。…，膏。）处的法向量为
。’
触＝玺篆，争傲内积，并且令之为ｏ＇得到下面的方程缉
望翌一望塑：０
忍咖谚’勿
’
弹：《霎，婺，…参６吗吸＾
ｃ氍ｌ
设曲面中ｏ．，工２，…Ｊ。）＝０在点Ｏ，，Ｘ２，＂ｏｏＪ。）处的切平面上的一个向
量为（口１，乜：，…，ａ。），则应当有
望塑一望塑：ｏ笪塑一笪鲤。０
从这个方程组以及条件函数似石，Ｙ，ｚ）＝Ｏ，我们就可以求得极值
点的坐标。下面我们通过一道题目来说明这一思想。
例一个半径为的半球体，锯成一个长方体，问长、宽，高各
为多少时，长方体体积最大？
廿ｌ亡＋口２亡＋…＋吼亡＝口ｌ妻＋口２要＋－．Ｊ＋吼要；００‘码‘“２
●
．
令气＝－ａ．蓦…＝４．＝ｏ。得到ｑ。一ｊ毒ｑ７雾，从而得到一个向量
■…●
ａ。
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．钿
（一妻吼，詈勘０－．－ｏ）＇消去ａ２，整理得到向《一妻，詈，ｏ＇ｏ．”ｏ）。
同理可以得到另外的厅一２个向量（取０的方法不同，得到的向量组
也不同）
解：设长方体的长，宽、高分别为毒，一ｚ，令，（工。Ｙ，ｚ）＝ｘｙｚ。
９《五只力＝＜争２十审２＋，一足２＝ｏ。由几何知识可以知道。就是要
二
二
％（一詈，噜，ｏ．．．ｏ）＇（一挈ＯｘＡ，ｏ，。，詈ｄｘ…。）’．．．（一皇ｄｘ．，ｏ＇ｏ，ｏ．一§Ｏｘ，。
积Ｉ
’
’
求函数ｆ＝ｘｙｚ在条件９＝Ｏ下的极大值。
可知它们是线性无关的。把这辟一１个向量分别与ｇｒａｄｕ傲内
积，得到方程组
科技创新导限Ｓｃｉｅｎｃｅ
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Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ
Ｈｅｒａｌｄ
１７９
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面的方程组
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翌盟一笪塑：０
氖。ａｋ阮魏
由该方程组，再结合条件函数畎了。，ｊ：，…，ｊ。）＝Ｏ，就可以得到极值点的坐标。
。
（一～舞一ｋ玺…一～薏，ｏ，．一＇０’ｋ鲁＋ｊＬ２玺＋．．ｊ＋ｋ却”～要一ｋ玺…一ｋ玺，ｏ’．．・＇ｏ．～差＋ｋ玺一‘＋ｋ卺）印（ｏ’ｏ’一～薏一ｋ玺…一～玺，…姒鲁＋ｋ鲁＋．．－＋ｋ拳
（。’ｏ’ｏ，．．，，一～玺＾玺…一ｋ卺Ａ善＋ｋ杀＋．”＋ｋ急暇％％％一Ｉ％。１％ｑ
（七≤一一１）
３多个条件函数极值
下面我们来考虑当条件函数有多个的时候应该怎样处理．求函数“气厂（工，，工：。…以）在条件
『：
＝ｌ｜
ＯＯ
鼽吼鼍ｔ
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¨
ｋ％
¨¨
魄五邑广
¨
焉、，、，、，
＝
Ｏ
把舻１个向量和融＝岳，争，蚤傲抵就得翔下
善“萋一ｋ筹…一ｋ舞，＋差ｃ～玺＋ｋ鲁扣“＋ｋ挚＝。
下的极值问题。函数Ｈ矶ｘ。，工２，…，工．）在点（毒。一：，…，毒。）处的梯度
向量为
ｇｒａｄｕ：（要要，…参戗ｌ戤２
ｃ％
假设这ｋ个条件相交部分的方程为
９＝九印Ｉ＋入神２＋…＋入渺‘
善ｔ＾摹一ｋ鲁…一ｋ玺，＋差ｔ～舞＋ｋ鼍＋．“＋ｋ鼍Ｍ
……（４）
这里丸，ｋ，…ｋ是一些固定的常数。这样我们就可以把多个条件转化为在一个条件下的极值问题。曲面矿Ｏ。，工：，…，孑。）＝ｏ在点
ｏｌ，工２，…，工。）处的法向量为
若ｒ一～等一ｋ善…一噜，＋ａ熹－ｏ，磬＋ｋ卺＋．一＋ｋ鲁卸
将该方程组进一步化简，我们得到
州嚆十如玺＋．一＋ｋ玺，
～差十ｋ玺＋．“＋ｋ薏，喙十ｋ舞＋．．．＋ｋ静
同样，设曲面似工。。工：，…，工。）＝Ｏ在点（工ｌ，工２，…。Ｊ．）处的切平面上的一个向量为∞，。ａ：，…，口。）．则应当有
啊
阳
娄～誓＋ｋ拿＋．．．＋～譬觑１觑’蕊‘氖
差～罄＋ｋ薏。．＋～棼
要～豢＋ｋ玺＋．．・＋～釜
功ｃ＇功矗ｄｋ功【’
差～罄＋ｋ玺＋．一＋ｋ玺
（５）
煦魏
＋
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＋
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圭：兰垂：三釜＝竺量
差～罄＋ｋ舞＋．“帆罄
●
％粥矾晏Ｏ＇Ｘｌ＋ｋ玺＋－．峨挈
也（～鲁＋如詈“．＋ｋ》
Ｃ挑．ａｂ
ａ％，
通过解该方程组以及个条件函数，我们就可以得到极值点的
坐标。其实这里我们很容易看出，方程组（５）和用拉格朗日乘子法得到的结果是一样的。但是比拉氏乘子法少了一个式子。这使得对于许多问题的计算会得到简化。
州～玺＋如鲁＋．一＋ｋ鲁）一ｏ
ｏｘｑ
ａｘ％
苏，
参考文献
【ｌｌ王月山，马韵新．高等数学（第二皈）ＩＭｌ．北京：科学普及出版社，
２００４．２５４
２６ｌ
令口２翎产…＝吒．１＝ｏ，得蓟
１８０科技铷新导报ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
一一％
【２】童裕孙，於崇华，金路，张万国．高等数学（第二版）【Ｍ】．北京：高等
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２５．ＮＯ．Ｉ．
ＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ
用方向导数法求解多元函数条件极值
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
唐军强， 杨庆玺， 马小霞， 耿世佼
唐军强,杨庆玺,马小霞(焦作大学基础部,河南焦作,454003)， 耿世佼(河南理工大学,河南焦作,454000)
科技创新导报
SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD2008，""(19)0次
参考文献(3条)
1. 王月山. 马韵新 高等数学 2004
2. 童裕孙. 於崇华. 金路. 张万国 高等数学 2004
3. 常健. 高丽 条件极值的一阶充分条件[期刊论文]-河南科学 2007(01)
相似文献(10条)
1.期刊论文 黄建明. 云莲英. Huang Jianming. Yun Lianying (h,φ)-方向导数与(h,φ)-次梯度 -丽水学院学报2008,30(2)
首先根据Ben-Tal广义代数运算定义了一类(h,ψ)-方向导数并得到了它的一些基本性质,然后在(h,ψ)-方向导数概念的基础上定义了(h,ψ)-次梯度与正则弱(h,ψ)-Lipschitz函数,讨论了它们的一些相关性质.从得到的结果可以看出:(h,ψ)-方向导数与(h,ψ)-次梯度推广了以往的广义方向导数与次梯度的概念,且能够互相刻画彼此的性质;对于某些函数无法用Clarke广义梯度研究时,可以用(h,ψ)一次梯度来研究;正则弱(h,ψ)-Lipschitz函数的概念推广了可微函数与凸函数概念.
2.学位论文 张莹 一类广义梯度及其在最优化中的应用 2003
该文讨论了一类广义梯度及其在最优化中的应用,共分五节.第一节是引言部分,提出了最优化问题的实质是在给定条件下求一函数的极值点;简述了非光滑分析的主要研究内容及其发展进程;指出研究Lipschitz函数的微分性质,具有深刻的理论意义和广泛的实用前景.第二节引入基本定义和记号,在Clarke和徐义红提出的各自的广义梯度的基础上,定义了一类D正则弱L函数,且提出了一个新的广义梯度.设f:R→R,其广义梯度为(公式略)其中
Df(x;d)为f在x处沿方向d的方向导数,即(公式略)并给出了若干性质定理.文中对三类广义梯度进行比较,若以@f(x)和@f(x)分别表示Clarke和徐义红定义的广义梯度,三者之间的包含关系为(公式略).即该文定义的广义梯度集合较小;而当f为凸函数或f可微时,三者统一.举例说明在选择广义梯度中的元素时,有可能比较方便、快捷.同时也指出在某些应用环境下该文定义的广义梯度的不完善之处.第三节和第四节是该文的主要章节,以该文定义的广义方向导数和广义梯度为分析工具,对目标函数为D正则弱L函数,约束函数为正则弱L函数的单目标非光滑规划分别给出了一阶必要条件和一阶充分条件.该文定义的广义方向导数在一般情况下不具有凸性,因而研究其性质时,要采用新的方法来得到类似的结论.第五节介绍了Mond-Weir对偶和Wolfe对偶,并重点讨论了徐增坤教授提出的混合型对偶.依所给约束函数的不同条件来恰当划分约束集,在广义(F,ρ)凸性下,证明了弱对偶定理、强对偶定理以及严格逆对偶定理.
3.期刊论文 刘秀梅 网络环境下"方向导数与梯度"的教学案例 -科技信息（学术版）2007,""(22)
网络环境下方向导数与梯度的教学设计要以计算机辅助教学为手段,采用师生互动式,从引入问题、揭示概念、辨析概念、运用概念、评价总结五方面来进行,使学生明确方向导数与函数可微、函数连续及偏导数存在等概念间的辩证关系,从而构建准确、完整的知识结构.
4.期刊论文 徐义红. 刘三阳. Xu Yihong. Liu Sanyang (h,ψ)-Lipschitz函数及其广义方向导数和广义梯度 -数学物理学报2006,26(2)
借助于Ben-Tal广义代数运算引进了一种新的函数-(h,ψ)-Lipschitz函数.讨论了它与Lipschitz函数之间的关系,给出了它的广义方向导数和广义梯度,得到了它们的若干性质.作为应用,给出了广义方向导数与切锥之间的关系.
5.学位论文 黄建明 一类广义（h，Φ）—η次梯度与广义（h，Φ）—η预不变凸函数及其在最优化理论中的应用
2006
本学位论文主要研究一类广义(h，ψ)-η次梯度与一类广义(h，ψ)-η预不变凸函数及其在最优化理论中的应用，共分七章.
第一章是绪论部分，分三小节.第一节简述了凸性概念拓广的主要六个形式以及相关性质的研究；第二节简述了对导数与微分概念拓广的主要三个形式以及相关性质的研究；第三节简述了本学位论文的主要研究成果.
第二章主要讨论了一类广义(h，ψ)-η次梯度及其应用，分为七小节.第一节，引进了Ben-Tal广义代数运算的概念，讨论了Ben-Tal广义代数运算的基本运算性质，这些运算性质，是本学位论文进行算术演算的主要工具；第二节，根据Ben-Tal广义代数运算定义了(h，ψ)-方向导数并讨论了它的一些基本性质；第三节，根据(h，ψ)-方向导数的概念定义了(h，ψ)-次梯度与广义弱(h，ψ)-L函数，并讨论了它们的一些基本性质；第四节，讨论了(h，ψ)-次梯度在(h，ψ)-规划中的应用，得到了(h，ψ)-规划的最优性条件以及使(h，ψ)-K-T条件成立的三个约束品性；第五节，推广了第二节定义的(h，ψ)-方向导数，定义了广义(h，ψ)-η方向导数并讨论了它的一些基本性质；第六节，根据广义(h，ψ)-η方向导数的概念定义了广义(h，ψ)-η次梯度与正则弱(h，ψ)-L函数，讨论了它们的一些基本性质；第七节，根据得到的关于(h，ψ)-η预不变凸函数与(h，ψ)-η预不变拟线性函数的两个不等式，得到了非光滑(h，ψ)-半无限规划的最优性条件以及使(h，ψ)-K-T条件成立的一个约束品性.
第三章主要讨论了一类广义(h，ψ)-η预不变凸函数的判定准则及其在最优化理论中的应用，分为五小节.第一节，根据第二章的(h，ψ)-η次梯度的概念定义了一类广义(h，ψ)-η预不变凸函数，并找到了作为广义(h，ψ)-η预不变凸函数判定准则的ConditionC*与ConditionD*；第二节，在(h，ψ)-η严格(强)预不变凸函数,ConditionC*，ConditionD*以及上半(下半)连续等条件下刻画了(h，ψ)-η预拟不变凸函数；第三节，在(h，ψ)-η(强)预不变凸函数,ConditionC*，ConditionD*以及上半(下半)连续等条件下刻画了(h，ψ)-η严格预拟不变凸函数；第四节，在(h，ψ)-η(严格)预不变凸函数,ConditionC*，ConditionD*以及上半(下半)连续等条件下刻画了(h，ψ)-η强预拟不变凸函数；第五节，讨论了广义(h，ψ)-η预不变凸函数在最优化理论中的应用.
第四章主要讨论了一类广义(h，ψ)-η预不变凸函数与相应的广义(h，ψ)-η不变单调函数以及(h，ψ)-η似变分不等式问题的相互关系，分为五小节.第一节，简述了有关向量变分不等式问题已有的主要研究成果；第二节，根据第二章的广义(h，ψ)-η次梯度的概念定义了一类广义(h，ψ)-η不变单调函数，并找到了作为建立广义(h，ψ)-η预不变凸函数与广义(h，ψ)-η不变单调函数桥梁的ConditionE与ConditionE*；第三节，讨论了广义(h，ψ)-η预不变凸函数与广义(h，ψ)-η不变单调函数之间的相互关系；第四节，讨论了广义(h，ψ)-η不变单调函数与(h，ψ)-η似变分不等式问
题的相互关系；第五节，讨论了(h，ψ)-η似变分不等式问题与单目标规划最优性的相互关系.
第五章是关于对偶理论.根据第二章得到的关于(h，ψ)-η预不变凸函数与(h，ψ)-η预不变拟线性函数的两个不等式，构造了一类(h，ψ)-半无限广义分式规划的两个对偶，在约束品性极弱的条件下得到了一些弱和强对偶性的结果以及相应的鞍点型最优性准则.
第六章是关于次最优化理论，研究了一目标函数((h，ψ)-η预不变凸函数)以另一多目标规划(相应的函数为广义(h，ψ)-η预不变凸函数)的弱有效解集为约束的次优化问题，分为三小节.第一节与第二节，引进了函数q(x)，与规划(MISP)t，刻画了弱有效集E，为第三节把原来复杂的规划转化为简单的熟悉的规划打下基础；第三节，将原问题(P)转化为单目标规划，并分别用罚函数法与松驰法构造了(P)的两个算法，得到了(P)次最优解的两个必要性条件.
第七章进一步推广了第三章定义的广义(h，ψ)-η预不变凸函数的概念.在这一章，我们把讨论的空间由原来的欧氏空间推广到有序拓扑向量空间.定义了(h，ψ，η)-K次预不变凸函数，讨论了它的一些基本性质.然后根据关于(h，ψ，η)-K次预不变凸函数的一个择一性定理得到了抽象空间规划(KMP)的最优性条件.
6.期刊论文 谈方向导数与梯度的几何意义 -甘肃高师学报2009,14(5)
利用一元函数导数的几何意义直观认识一般意义下多元函数的方向导数与梯度,给出了其"斜率"定义.
7.学位论文 王荣波 几类非光滑半无限规划的最优性与对偶性 2007
本文首先利用局部渐近锥，K-方向导数、K-次微分和凸泛函的概念，给出了新的非光滑广义凸函数，即广义一致(C，α，ρ，d)-I型凸函数等，并研究了涉及这些新广义凸性的一类非光滑多目标半无限规划的最优性与对偶性，其次，利用Clarke-广义方向导数和Clarke- 广义梯度定义了广义一致B-(p，r)-不变凸性，并在此类函数的情形下，得出了一类极大极小分式规划的最优性条件和对偶性结果；最后，利用右上方向导数，给出了一类新的广义一致局部连通凸函数等，并讨论了涉及这些新广义凸函数的一类多目标半无限分式规划的最优性与对偶性，其内容如下：
(1)利用局部渐近锥，K-方向导数、K-次微分和凸泛函的概念，给出了新的广义一致(C，α，ρ，d)-I型凸函数等，并研究了涉及这些新广义凸性的多目标半无限规划的最优性与对偶性；
(2)利用Clarke-广义方向导数和Clarke-广义梯度定义了新的广义一致B-(p，r)-不变凸函数，并在此类函数的情形下，得出了一类极大极小分式规划的最优性条件和对偶性结果；
(3)利用右上方向导数，给出了一类新的广义一致局部连通凸函数等，并讨论了涉及这些新广义凸函数的一类多目标半无限分式规划的最优性与对偶性。
总之，本文给出了几类意义较广的非光滑凸函数，并在这些新的广义凸性的情形下，得出了多目标半无限规划，极大极小分式规划以及多目标半无限分式规划的最优性条件与对偶性结果，从而拓广了非光滑凸函数类，丰富了半无限规划的理论。
8.期刊论文 丁宣浩 论方向导数与梯度 -大学数学2004,20(2)
讨论了几种不同的方向导数和梯度的定义.
9.期刊论文 徐义红 (h,φ)-凸函数的广义方向导数及其性质 -南昌大学学报(工科版)2002,24(4)
方向导数在非线性规划中对启发和研究某些最优性准则及计算方法是特别有用的.本文借助于Ben-Tal广义代数运算针对(h,φ)-凸函数定义了一种广义方向导数,它是凸函数方向导数的推广.给出了用凸函数方向导数计算广义方向导数的公式.引进了(h,φ)-可微函数的概念.得到了一类(h,φ)-凸且(h,φ)-可微函数的广义方向导数与(h,φ)-微分之间的关系式.最后用广义方向导数刻画了广义次梯度.
10.学位论文 禚斌 迭代的二阶方向导数与（h，ψ）-Lipschitz函数的广义方向导数 2008
微分学是分析学中重要的内容.从欧式空间上经典的微积分到近代分析学,微积分贯穿始终.随着实际问题的需要和最优化等数学分支的发展,非线性泛函的微分学越来越引起人们的关注,各种推广的方向导数的概念被提出来,更广泛的应用被发现.譬如,上世纪七十年代,Clarke给出了定义在Banach空间上的局部Lipschitz函数的Clarke广义上、下方向导数；1990年R.Cominetti给出的Banach空间上实函数的广义二阶上、下方向导数；1991年Yang和V.Jeyakumar给出的C1,1函数的广义二阶方向导数；1999年V.Jeyakumar和Yang给出的Banach空间上连续G可微函数的二阶上半方向导数等等.
在1977年Ben-Tal定义了广义代数运算,通过引入相关的映射,将正常的线性映射进行了推广,并进而给出了模和内积等概念的相应形式.从这以后人们利用广义代数运算,引进了新的函数类及其广义方向导数,譬如,(h,ψ)-Lipschitz函数及其广义方向导数.
本文首先将给出迭代的二阶方向导数的概念,讨论这种方向导数所具有的性质和其与已知的二阶方向导数的关系,并获得已知函数的凸性与该二阶方向导数的符号之间的关系等相关应用,所得结论推广了2004年Bednarik和Pastor相关的结果.其次,我们将给出(h,ψ)-Lipschitz函数的广义下方向导数的概念,讨论它与Clarke广义下方向导数的关系；根据(h,ψ)-Lipschitz函数的广义方向导数(或广义梯度)与局部Lipschitz函数的Clarke广义方向导数(或广义梯度)的关系,讨论(h,ψ)-Lipschitz函数的广义方向导数和广义梯度的一些性质以及(h,ψ)-Lipschitz函数与它的广义微分之间的关系.
本文共分为三章.第一章回顾广义方向导数的发展背景,介绍一些一阶与二阶的方向导数的概念与相关结果；第二章给出了迭代的二阶方向导数的概念、性质以及对函数凸性判断的应用；第三章给出了(h,ψ)-Lipschitz函数的广义微分的相关结论.
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