第18章勾股定理整章水平测试
一、相信你的选择
1. 下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( )
A ．a 2-c 2=b 2 B．(a -b )(a +b )+c 2=0
C．∠A=∠B=∠ C D．∠A=2∠B=2∠ C 2. 如图1, 图中有一个正方形，此正方形的面积是（ ）
A.16 B.8 C.4 D.2
图1 图2
3. 如图2所示：是一段楼梯，高BC 是3m ，斜边AB 是5m ，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A.5m B.6m C.7m D.8m
4. 放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min，小红用15min 到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（ ） A ．600m B．800m C．100 m D．不能确定 5. 已知x,y 为正数, 且x 2-4+(y 2-3)=0, 如果以x,y 的长为直角边作一个直角三角形, 那么
2
以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A ．5 B．25 C．7 D．15
6. 如图3, 在底面周长为12, 高为8的圆柱体上有A,B 两点, 则AB 之间的最短距离是( ) A ．10 B．8 C．5 D．4
7. 知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC上的中线AD=8cm，则△ABC 为（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8. 直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( ) A ．15° B ．30 ° C ．45 ° D ．75°
9. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形，图中正确的是( ) ．
图
4
10. 如图4, 在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A. CD、EF 、GH B.AB、EF 、GH C.AB、CD 、GH D.AB、CD 、EF
二、试试你的身手
11. 直角三角形两直角边长分别为6和8, 则它斜边上的高为______. 12. 在Rt △ABC 中，斜边AB=2cm,则AB 2+BC 2+CA 2=______cm 2.
13. △ABC 中，如果AC=3，BC=4，AB=5，那么，△ABC 一定是_____角三角形，•并且可以判定∠_____是直角，如果AC ，BC 的长度不变，而AB 的长度由5增大到5.1，•那么原来的∠C 被“撑成”的角是______角．
B
C A
14.(08株洲) 如图5，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，图5
树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米. 15. 三角形的三边a,b,c 满足(a +b )=c 2+2ab , 则这个三角形是______三角形.
16. 若一个三角形的三边长的平方分别为：则x =_____. 32, 42, x 2若此三角形为直角三角形，17. 小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m. 18. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图11所示). 已知斜放置的三个正方形的面积分别
是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______.
A
2
2
S 1
1
2
S 2
图6
3
S 3
S 4
l
C
D 图7
E
B
19. 如图7有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为______. 20. 观察33=9=4+5, 则有32+42=52; 52=25=12+13, 则有52+122=132;
72=49=24+25, 则有72+242=252; 按此规律接续写出两个式子________________.
三、挑战你的能力
21. 如图8，为修通铁路需凿通隧道AC ，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km，BC=4km，若每
天开凿隧道0.3km ，试计算需要几天才能把隧道AC 凿通？
22. 如图9, 四边形ABCD 中, ∠B =90 , AB =3, BC =4, CD =12, AD =13. 试判断∆ACD 的形状, 并说明理由.
D
B
A
图9
23. 某工厂的大门如图10所示，其中四边形ABCD 是长方 形，上部是以AB 为直径的半圆，其中AD=2.3米，AB=2米，现有一辆装满货物的卡车，高2．5米，宽1．6米，问这辆车能否通过厂门? 说明理由．
图10
24. 如图11，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
图11
25. 在一次探险活动中, 某小组从A 点出发, 先向东走8km, 又往北走2km, 遇到障碍物后又往西走3km, 再折向北走6km 后往东一拐, 仅走1km 即到达目的地B, 问:出发点A 到目的地B 的最短距离是多少?
26. 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图12所示AB 所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和D 处．CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB =25km，CA =15km，DB =10km，试问：阅览室E 应建在距A 多少㎞处，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？
图
12
27. 在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发. 现有一C 处需要爆破. 已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米, 与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA ⊥CB, 如图13所示. 为了安全起见, 爆破点C 周围半径250米范围内不得进入, 问在进行爆破时, 公路AB 段是否有危险, 是否需要暂时封锁?
乙
图13
28. 如图14, 在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD 沿CE 折叠后, 使点D 恰好落在对角线AC
上的点F 处. ⑴求EF 的长;
⑵求梯形ABCE 的面积.
图14
参考答案
一.1. C(提示:判断三角形是否是直角三角形:一看是否满足勾股定理的逆定理, 二看是否存在90°的角. A 中可得a 2=b 2+c 2, B 中可得a 2+c 2=b 2, D 中根据三角形内角和等于180°, 易得∠A=90°, 而C 中三角形为等边三角形)
2. B(提示:设正方形边长为x, 则有x 2+x 2=42, 于是x 2=8, 故正方形面积为8) 3. C(提示:根据勾股数得AB=4m)
4. C(提示:小红和小颖走的路程分别为60 m,80 m,而两人路径垂直, 则两家距离为100 m) 5. C(提示:由题意得x 2=4, y 2=3, 所以斜边的平方=7,故所求正方形的面积为7)
6. A(提示: AB之间的最短距离是以底面周长的一半6, 圆柱高8为直角边的斜边长10) 7. B(提示:8,15,17是勾股数组, 所以AD ⊥BC, 于是Rt △ADB ≌Rt △ADC, 所以AB=AC,故△ABC 为等腰三角形)
8. C(提示:设两直角边为a,b ，斜边为c, 则有c 2=2ab , 又c 2=a 2+b 2, 所以有a 2+b 2=2ab , 即
(a -b ) 2=0, 所以a=b,即△ABC 是等腰直角三角形)
9. C(提示:7,24,25和15,20,25是勾股数组)
10. B (提示:设小正方形的边长为1, 则AB 2=22+22=8, CD 2=22+42=20,
EF 2=12+22=5, GH 2=22+32=13. 因为AB 2+EF 2=GH 2, 所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH) 二.11. 4.8(提示:斜边为10, 斜边上的高为12. 8(提示: AB 2+BC 2+CA 2=22+22=8) 13. 直; C ;钝
14. 8(提示:∵AC=4米，BC=3米，∠ACB=900, ∴AB=5米. 所以大树高度是AB+BC=5+3=8米)
15. 直角(提示:由(a +b )=c 2+2ab 得a 2+b 2=c 2)
2222
16. 5或7(提示:若x 为斜边, 则x =5, 若4为斜边, 则x =42-32=7)
2
6⨯8
=2.4) 10
17. 15(提示设旗杆高为xm, 则绳长为(x+2)m,于是有x 2+82=(x +2)2) 18. 4（提示：S 1+S2=1，S 3+S4=3，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4） 19. 3 (提示:设CD=DE=xcm,则DB=(8-x) cm,
由勾股定理和折叠性质知AB=8cm ,AE=AC=6cm,DE⊥AB, 则BE=4cm, 根据勾股定理得x 2+42=(8-x ), 解得x=3)
2
20. 92=81=40+41, 则有92+402=412; 112=121=60+41, 则有112+602=61.
2
三.21. 解: ∵∠A=50°，∠B=40°∴∠C=180°-50°-40°=90°,
∴△ABC 为直角三角形，根据勾股定理得:AC 2=AB 2-BC 2=52-42=9,
图1
∴AV=3km, ∴需要的天数为
3
=10(天). 0. 3
22. 解: ∆ACD 是直角三角形. 因为∠B =90 , AB =3, 所以AC 2=AB 2+BC 2=9+16=25, 即AC =5. 又AC 2+CD 2=52+122=169, AD 2=132=169, 即又AC 2+CD 2=AD 2, 所以∆ACD 是直角三角形.
23. 解：能通过，理由如下:如图1，因为OG=1，OF=0．8，所以
FG 2=OG 2-OF 2=12-0.82=0.36.
所以FG=0.6 所以 EG=0.6+2.3=2.9＞2.5．所以能通过． 24. 解：如图2, 因为AC=3×3+1×3=12,BC=5, 所以AB 2=AC 2+BC =169, 所以AB=13（cm ）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm..
25. 解:如图3, 过B 作起始向东线的垂线, 垂足为,D 连接AB. 在Rt △ADB 中,AD=8-2=6,BD=6+2=8. 由勾股定理AB 2=AD 2+BD =62+82=100,
图2
1 B
6 所以AB=10 km.
26. 解：设阅览室E 到A 的距离为x ㎞．连结CE 、DE ．
3 22222
在Rt △EAC 和Rt △EBD 中，CE =AE +AC =x +15， 2
22222
DE =EB +DB =（25-x ）+10．因为点E 到点CD 的距离， 8
22图3
所以CE =DE ．所以CE =DE ．
即x 2+152=(25-x ) 2+102．所以x =10． 因此，阅览室E 应建在距A 10km 处．
27. 解:如图4, 本题需要判断点C 到AB 的距离是否小于250米，如果小于则有危险, 大于则
没有危险. 因此过C 作CD ⊥AB 于D. 因为BC=400米,AC=300米, ∠ACB=90, 所以根据勾股定理有AB=500米.
11
因为AB ⋅CD =BC ⋅AC ,
22
所以CD=240米.
由于240米＜250米, 故有危险, 因此AB 段公路需要暂时封锁. 28. 解: (1)设EF=x,
依题意知:△CDE ≌△CFE.DE=EF=x,CF=CD=6,∵AB=6,BC=8,∴AC=10, ∴AF=AC-CF=4,AE=AD-DE=8-x.
2
在Rt △AEF 中, 有AE =AF +EF ，于是(8-x )=42+x 2，
图4
222
解得x=3，因此EF 的长是3. （2）由(1)知:AE=8-3=5，
S 梯形A B CE =
(AE +BC )AB =(5+8)⨯6=39.
2
2