直线与圆单元测试题
一、选择题
1.从点P(1,-2)引圆(x+1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长是( ) A.4 B.3
C.2 D.1
2.以M(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,那么圆M的半径r的取值范围是( )
A.0<r<2 C.0<r<25 3.圆(x+
B.0<r<5 D.0<r<10
8112
)+(y+1)2=与圆(x-sinθ)2+(y-1)2= (θ为锐角)的位置21616
关系是( )
A.相离
B.外切
C.内切
D.相交
4.若m≠0,则过(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( )
11
A.1 B.-3 C. D.-
33
5.使圆x+y=r与x+y+2x-4y+4=0有公共点的充要条件是( ) A.r5+1
C.|r-5|
22222
6.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 7.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部,则半径r的范围是( ) A.0
4
B.π C.
3
4
D.
3 2
9. 圆x2y21与直线xsiny10的位置关系为 ( )
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
AC0,
10.已知二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,则2是方程表示圆的2
DE4F0
( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
11.圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是( )
A.10
B.10或-68
C.5或-34
D.-68
12.过点(2,1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=5 C.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25 D.(x-5)2+(y-5)2=5 二、填空题
13.曲线y=|x-2|-3与x轴转成的面积是 .
14.已知M={(x,y)|x2+y2=1,0
三、解答题
17.求过A(1,2)与B(3,4)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.
18.设t=3x-6y,式中变量x、y满足下列条件
|xy|1,
|2xy|2,
① 求t的最大值和最小值.
19.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称, (1)求k、b的值;
(2)若这时两圆的交点为A、B,求∠AOB的度数.
20..若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切,且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程.
21.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
22.设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧,其弧长之比为3∶1,在满足(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
参考答案 一、选择题
1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.C 1.解析:勾股定理.答案B
2.解析:圆心到直线的距离d>r.答案C
3解析:两圆心之间的距离d(sin)2(11)2(sin)24,
1212
∵θ为锐角,∴0
11317125sin,(sin)24 , 222424
∴
55
d,两半径之和为,两半径之差的绝对值为2,∴两圆相交.
222
答案D
4. 解析:由a+3m(-1)+2a=0,得m=a.又m≠0,∴a≠0.∴直线的方程可写成
1
x+3y+2=0,斜率为-.答案D
32
5. 解析:由x+y2+2x-4y+4=0得:(x+1)2+(y-2)2=1,两圆心之间的距离为
2225,∵|r-1|≤5≤r+1,∴5-1≤r≤5+1,即-1≤r-5≤
1,∴|r-5|≤1.答案D
6. 解析:有内切、外切两种情况.答案D 7. 解析:曲线|x|+|y|=4是顶点为(±4,0)、(0,±4)的正方形,其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x≤4).∵圆在正方形的内部,∴0
8. 解析:由图知,所围成的图形最小面积为圆x2+y2=4的面积的
|004|
2
>r.即
1
.答案B 4
1k|
2
9. 解析:设直线l的方程为y+3=k(x-2),由夹角公式可得:.
13|1k|2
|
解得:k=-或k=
187
∴直线l的方程为x+8y+22=0或7x-4y-26=0.答案A 4
AC0,
10. 解析:取A=C=4,D=2,E=2,F=1时,满足2但是2
DE4F0
4x2+4y2+2x+2y+1=0不表示圆,∴条件不是充分的.
1111
方程x2+y2+x+y+1=0表示圆,其中A=,C=,D=1,E=1,F=1,不满足
3333
22
D+E-4F>0. ∴条件不是必要的. 答案D
11. 解析:∵弦长为8,圆半径为5,∴弦心距为5242=3,∵圆心坐标为(1,-2),∴
|5112(2)c|
=3,∴c=10或c=-68.答案B
13
12. 解析:设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),∵圆过第一象限的点
a0,
a1a5b0,
(2,1)并与两坐标轴都相切,∴解之得b1或b5
r1r5.|a||b|r,
222(2a)(1b)r.
因此,所求圆的方程是(x-1)+(y-1)=1或(x-5)+(y-5)=25.(此题也可
画图排除A、B、D) .答案C
二、填空题
13. 答案9 ,14.答案-1
2
2
2
2
1923
)(y)21, 16. 答55
x5(x2),
13. 解析:y=|x-2|-3可写成y=曲线y=|x-2|-3与x轴转成一
x1(x2).个三角形,其顶点分别是(2,-3)、(-1,0)、(5,0).∴SΔ=
1
[5-(-1)]³3=9. 2
14. 解析:集合M为单位圆的上半圆,集合N为直线,M∩N≠,是指直线
与半圆有公共点.画出图形,易知-1
15. 解析:已知圆的圆心(3,-1)关于直线x+2y-3=0的对称点的坐标是(
193
,),所以圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是55
1923
)(y)21. 55
x2y2k0x4k16. 解析:由,得,∵交点(-4k,-3k)在圆
2x3yk0y3k
(x
x2+y2=25上,∴(-4k)2+(-3k)2=25,∴k=±1.
三、解答题
17. 解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得
14D2EF0D12D89163D4EF0解之,得,或E22E2 F27,F7.2
D4F6.
∴所求圆的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.
18. 解 作出不等式组①表示的平面区域平行四边形ABCD的边界和内部.ABCD的顶点坐标分别为A(-1,0)、B(,
13414
)、C(1,0)、D(,).
333
11xt, 26
1
3
作动直线l:3x-6y=t(t∈R). ∵l的方程可写成y=
∴当l的纵截距最大时,t最小;当l的纵截距最小时,t最大. 由图知当l过B点时,t最大=3³(-)-6³(-
4
)=7.当l过D点时, 3
14
t最小=3³()-6³()=-7.
33
19. 解 (1)圆x2+y2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.
∵圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称, ∴y=kx+b为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.
20∴³k=-1,k=2. 点(0,0)与(-4,2)的中点为(-2,1),∴1=240
³(-2)+b,b=5.∴k=2,b=5.
(2)圆心(-4,2)到2x-y+5=0的距离为d=而圆的半径为25,∴∠AOB=120°.
20. 解 设动圆的圆心C的坐标为(x,y),则x-(-1)+1=(x2)2y2,即x+2=(x2)2y2,整理得y2=8x.所以所求轨迹E的方程为y2=8x.
21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.设l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).
由OA⊥OB知,kOA²kOB=-1, 即
2(4)25
5
5.
y1y2
=-1,∴y1y2=-x1x2. x1x2
yxb,22由2, 得2x+2(b+1)x+b+4b-4=0,
2
xy2x4y40
b2
∴x1+x2=-(b+1),x1²x2=+2b-2,
2
2
b22by1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b=+2b-2-b(b+1)+b=+b-2 22
2
b2b2
∵y1y2=-x1x2 ∴+b-2=-(+2b-2)
22
即b2+3b-4=0. ∴b=-4或b=1.
又Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)=-4b2-24b+36=-4(b2+6b-9) 当b=-4时,Δ=-4³(16-24-9)>0; 当b=1时,Δ=-4³(1+6-9)>0
故存在这样的直线l,它的方程是y=x-4或y=x+1,即x-y-4=0或x-y+1=0.
解法二 圆C化成标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,
假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a,b).
由于CM⊥l,∴kCM²kl=-1,即∴b=-a-1,
b2
³1=-1, a1
①
直线l的方程为y-b=x-a,即x-y+b-a=0,∴|CM|∵以AB为直径的圆M过原点,∴|MA|=|MB|=|OM|,
|ba3|
, 2
(ba3)2
而|MB|=|CB|-|CM|=9-,
2
2
2
2
(ba3)222
|OM|=a+b,∴9-=a+b,
2
2
2
2
②
把①代入②得2a2-a-3=0, ∴a=
3
或a=-1, 2
当a=
35
时,b=-此时直线l的方程为x-y-4=0; 22
当a=-1时,b=0此时直线l的方程为x-y+1=0.
故这样的直线l是存在的,它的方程为x-y-4=0或x-y+1=0.
22.解 设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则P到x轴,y轴的距离分别为|b|、|a|,由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得弦长为2r=2b. ∴r2=2b2
①
②
又由y轴截圆得弦长为2, ∴r2=a2+1
由①、②知2b2-a2=1.又圆心到l:x-2y=0的距离d=
|a2b|
,∴5d2=(a-5
2b)2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1.当且仅当a=b时“=”号成立,
ab5
∴当a=b时,d最小为,由2 2
52ba1a1a1
得或由①得r=2.
b1b1
∴(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求.