排列与组合的共同点是从n 个不同的元素中，任取m （m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别． 【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．
（1） 高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2） 高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4） 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
【思考与分析】 （1） ①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
解： （1） ①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次） （2） ①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；
（3） ①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；
（4） ①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．
【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.
排列与组合的概念与计算公式
1．排列及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)„„(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2．组合及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数. 用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
３．其他排列与组合公式
从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列的计算公式:
第一位的可能性×第二位的可能性×.... ×第N 位的可能性
例如
5个人排队, 第三个人的位置不变, 那么第一位置的可能性是4, 第二位置的可能性是3, 第三位置的可能性是1, 第四位置的可能性是2, 第五位置的可能性是1, 那么共有5×4×1×2×1=40种
组合的公式: 我举例来说吧
第一规则:从五个事物里取三种事物组合 与 从五个事物里取二种事物组合是相同的 第二种规则:从五个事物里取三种事物组合的组合数 (5×4×3) ÷(3×2×1)
从五个事物里取二种事物组合的组合数 (5×4) ÷(2×1)
从十里取八与从十里取二相同
(10×9×8×7... 取几个数就依次乘几个数) ÷(8的阶乘) 备注:8阶乘就是从８依次乘到1
数学补差（4）———计数原理
12 D ．14 81 B ．64 C ．1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．
2．5个人排成一排, 其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有
5233323113
A ．A 3 B ．4A 3 C ．A 5-A 3A 3 D ．A 2A 3+A 2A 3A 3
3．a , b , c , d , e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A. 20 B ．16 C ．10 D ．6
4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是
A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人.
⎛x 5
．在 -的展开式中的常数项是A. 7 B ．-7 C ．28 D ．-28
⎝2
6．(1-2x ) 5(2+x ) 的展开式中x 的项的系数是A. 120 B ．-120 C ．100 D ．-100
3
8
2⎫7
．2⎪展开式中只有第六项二项式系数最大, 则展开式中的常数项是
x ⎭A ．180 B ．90 C ．45 D ．360
8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个
9．3张不同的电影票全部分给10个人, 每人至多一张, 则有不同分法的种数是
A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n ∈N 且n
n
(69-n ) 等于
55-n 151514
A ．A 69-n B ．A 69-n C ．A 55-n D ．A 69-n
11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12
．把-x ) 10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．-135 C
．- D
．
11⎫⎛2
224112 28C ．56 D ．x 13．的展开式中，的系数是，则的系数是A. 14 B ．2x + ⎪2
x 2x ⎭⎝
14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
15．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.
16．在(1-x ) 展开式中，如果第4r 项和第r +2项的二项式系数相等，则r =，
220
2n
T 4r =.
17．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个.
18．用1, 4, 5, x 四个不同数字组成四位数, 所有这些四位数中的数字的总和为288, 则
x
19．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有
20．已知集合S ={-1,0,1}, P ={1,2,3,4}, 从集合S , P 中各取一个元素作为点的坐标, 可作出不同的点共有_____个.
21．(x -1) -(x -1) 2+(x -1) 3-(x -1) 4+(x -1) 5的展开式中的x 的系数是___________ 22．A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.
3
8张椅子排成, 有4个人就座, 每人1个座位, 恰有3个连续空位的坐法共有多少种?_______ 23．
24．0.991的近似值（精确到0.001）是多少？
25．7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头:
（2）甲不排头，也不排尾:
（3）甲、乙、丙三人必须在一起: （4）甲、乙之间有且只有两人: （5）甲、乙、丙三人两两不相邻: （6）甲在乙的左边（不一定相邻）:
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序: （8）甲不排头，乙不排当中: 26．已
知(22
5) 0=a 0+a 1x +a 2x +
其+5a 05x , 中a 0, a 1, a 2
5
, a 5是0常数, 计算
(a 0+a 2+a 4+
15、8640 16、4, -C 20x 17、840 18、1530
+a 50) 2-(a 1+a 3+a 5++a 49) 2
19、2 20、 23 21、15 22、105 23、480 24、0.956
66
25．解：（1）甲固定不动，其余有A 6=720，即共有A 6=720种；
6116
（2）甲有中间5个位置供选择，有A 5，其余有A 6 =720，即共有A 5A 6=3600种；3（3）先排甲、乙、丙三人，有A 3，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当
535
于5人的全排列，即A 5，则共有A 5A 3=720种；
22
（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有A 5，甲、乙可以交换有A 2，
n
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，
224
则共有A 5A 2A 4=960种；
4（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有A 4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排 334
这五个空位，有A 5，则共有A 5A 4=1440种；
7（6）不考虑限制条件有A 7，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即
17
A 7=2520种； 2
4
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A 7，留下三个空位，甲、乙、丙
4
三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A 7=840 766
（8）不考虑限制条件有A 7，而甲排头有A 6，乙排当中有A 6，这样重复了甲排头，
乙排当中A 5一次，即A 7-2A 6+A 5=3720
6
．解：设f (x ) =(2) 50，令x =
1，得a 0+a 1+a 2+ 令x =-
1，得a 0-a 1+a 2-
5765
+a 50=(250
+a 50=(250
(a 0+a 2+a 4+
+a 50) 2-(a 1+a 3+a 5++a 49) 2=
(a 0+a 1+a 2+
+a 50)(a 0-a 1+a 2-
+a 50) =(250(250=1
1⎫⎛7
4．已知 x 2-⎪展开式中的二项式系数的和比(3a +2b )
展开式的二项式系数的和大128,
x ⎭⎝1⎫⎛
求 x 2-⎪展开式中的系数最大的项和系数量小的项.
x ⎭⎝
n
n
⎛
5．（2） 的展开式奇数项的二项式系数之和为128， ⎝
n
则求展开式中二项式系数最大项。
(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[综合训练B 组]
一、选择题 二、填空题 [提高训练C 组]
一、选择题
4．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则值为A.
T 的S
20151621 B ． C ． D ． [1**********]8
5
．若(2x 4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4) 2-(a 1+a 3) 2的值为 A. 1 B ．-1 C ．0 D ．2
二、填空题
2．在△AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共个点，以这12个点为顶点的三角形有 个. 5．若C 3+C 4+C 5+
2
2
2
2+C n =363, 则自然数n =_____.
三、解答题
1．6个人坐在一排10个座位上, 问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
2．有6个球, 其中3个黑球, 红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？
数学选修2-3 第一章 计数原理 [基础训练A 组]
一、选择题
1．B 每个小球都有4种可能的放法，即4⨯4⨯4=64
1221
2．C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：C 4（2）甲型2台，乙型1台：C 4C 5；C 5 1221 C 4C 5+C C =4570
5235233．C 不考虑限制条件有A 5，若甲，乙两人都站中间有A 3-A 3A 3为所求 A 3，A 521214．B 不考虑限制条件有A 5，若a 偏偏要当副组长有A 4，A 5-A 4=16为所求 2135．B 设男学生有x 人，则女学生有8-x 人，则C x C 8-x A 3=90,
8x =) 即x (x -1) (-
r
8
3=0⨯2⨯3x 5, =
14
8-r -r 8-r x 8-r r 1r 18-r r r 8-r r
6．A
T r +1=C () (=(-1) () C 8x 3=(-1) () C 8x 3
222 令8-
41-66r =0, r =6, T 7=(-1) 6() 8C 8=7 32
5
5
5
3
3
2
2
7．B (1-2x ) (2+x ) =2(1-2x ) +x (1-2x ) =... +2C 5(-2x ) +xC 5(-2x ) +... =(4C 5-16C 5) x +... =-120x +... 8．A 只有第六项二项式系数最大，则n =10，
T r +1=C r 10
10-r
55-r 52r 2r r
, =4C (2) =2C 10x 2，令5-r =0, r =2T 80310=1
2x
2333
二、填空题
3444
1．（1）10 C 5（2） 5 C 5（3）14 C 6=10；=5；-C 4=14 44442．8640 先排女生有A 6，再排男生有A 4，共有A 6⋅A 4=8640
15153．480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有A 4，其余的有A 5，共有A 4⋅A 5=480 466r 10-r 4．1890
T r +1=C 10 , =4T 9x 0x (r ，令10-r =6r 5, =C 10x =1894r -1r +115305．4, -C 20, 4r -1+r +=1x C 20=C 20
2r 0=, T 41=, 6C
15
20515
0-x (2=1-) C x 2
2222
6．840 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A 5，其余的A 7，共有A 5⋅A 7=840 4
x 7．2 当x ≠0时，有A 4=24个四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+
1+4+5x =) 24(+2x 8=8, ；当x =0时，288不能被10整除，即无解
314325
8．11040 不考虑0的特殊情况，有C 5若C 4A 4=960 , C 5A 5=12000, 0在首位，则C 5325314 C 5C 5A 5-C 5C 4A =-96=0412000
04011
三、解答题
221．解：（1）①是排列问题，共通了A 11=110封信；②是组合问题，共握手C 11=55次。
22
（2）①是排列问题，共有A 种选法；②是组合问题，共有=90C 1010=45种选法。 2（3）①是排列问题，共有A 8=56个商；②是组合问题，共有C 82=28个积。
2．解：（1）甲固定不动，其余有A 6=720，即共有A 6=720种；
116（2）甲有中间5个位置供选择，有A 5，其余有A 6=720，即共有A 5 A 6=3600种；3（3）先排甲、乙、丙三人，有A 3，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当
6
66
于5人的全排列，即A 5，则共有A 5A 3=720种；
（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有A 5，甲、乙可以交换有A 2， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，
2
2
553
224
则共有A 5A 2A 4=960种；
4（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有A 4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排 334
这五个空位，有A 5，则共有A 5A 4=1440种；
7（6）不考虑限制条件有A 7，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即
17
A 7=2520种； 2
4
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A 7，留下三个空位，甲、乙、丙
4
三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A 7=840 766
（8）不考虑限制条件有A 7，而甲排头有A 6，乙排当中有A 6，这样重复了甲排头，
7655
乙排当中A 5一次，即A 7-2A 6+A 5=3720
⎧2x +1≥4
⎪x ≥3⎪43
3．解：(1)A 2x +1=140A x ⇔⎨
x ∈N ⎪⎪⎩(2x +1)2x (2x -1)(2x -2) =140x (x -1)(x -2)
⎧x ≥3⎪
⇔⎨x ∈N
⎪(2x +1)(2x -1) =35(x -2) ⎩⎧x ≥3⎪
⇔⎨x ∈N
⎪4x 2-35x +69=0⎩
得x =3
22112
(2)C n +C n , 2C n +2+C n +3=C n +1+C n +12C n +=2C n ++2
2
C
1n +2
n (n -1)
=C , n +2=, n =4
2
2n
1r 1⎫⎛r 28-r r r 16-3r n 7
4．解：2-2=128, n =8， x 2-⎪的通项T r +1=C 8(x ) (-) =(-1) C 8x
x x ⎝⎭
8
当r =4时，展开式中的系数最大，即T 5=70x 4为展开式中的系数最大的项； 当r =3, 或5时，展开式中的系数最小，即T 2=-56x 7, T 6=-56x 为展开式中 的系数最小的项。
25
5．解：（1）由已知得C n =C n ⇒n =7
135
（2）由已知得C n +C n +C n +... =128,2n -1=128, n =8，而展开式中二项式
系数最大项是T 4+1=C 8(44
4=70x 。 6
．解：设f (x ) =(2) 50，令x =
1，得a 0+a 1+a 2+ 令x =-
1，得a 0-a 1+a 2-
+a 50=(250
+a 50=(250
+a 49) 2=
(a 0+a 2+a 4+
+a 50) 2-(a 1+a 3+a 5+
(a 0+a 1+a 2++a 50)(a 0-a 1+a 2-
+a 50) =(250(250=1
数学选修2-3 第一章 计数原理 [综合训练B 组]
一、选择题
113113
1．C 个位A 2，万位A 3，其余A 3，共计A 2A 3A 3=36 32．D 相当于3个元素排10个位置，A 10=720 153．B 从55-n 到69-n 共计有15个正整数，即A 69-n
234．A 从c , d , e , f 中选2个，有C 4，把a , b 看成一个整体，则3个元素全排列，A 3 23 共计C 4A 3=36
5．A 先从5双鞋中任取1双，有C 5，再从8只鞋中任取2只，即C 8，但需要排除
122
4种成双的情况，即C 8-4，则共计C 5(C 8-4) =120
12
11
7
6．D
T 8=C 10) 3(-x ) 7=
7，系数为
7．A T r +1=C 2n (2x ) 则2C
2
n -1
2n
r 2n -r
(
1r r 2n -2r ) =22n -r C 2，令2n -2r =2, r =n -1 n x 2x
n -12n
3C 814x -2=2 =56, n =4，再令8-2r =-2, r =5, T 6=4x
=224, C
52
8．D (1-x 3)(1+x ) 10=(1+x ) 10-x 3(1+x ) 10=(C 10-C 10) x 5+... =207x 5+...
二、填空题
1．2 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2⨯2⨯... ⨯n 2个(
n
n
22=)
1331
2．60 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即C 5C 4+C C =5460 1123．23 C 3，其中(1, 1重复了一次 ) C 4A 2-1=23
4．3 n =1, k =2
1⎛
5．-51 (x +) -
x ⎝
'
15-r 15-r ⎫5r
C (x +) (-1) , (x +) 的通项为 的通项为其中1r ⎪x x ⎭
'
'
'
5
r 5-r -2r r r
r =0 C 5，所以通项为(-1) r C 5 C 5-r x 5-r -2r ，令5-r -2-r x
'
得r =
'
5-r ' '
，当r =1时，r =2，得常数为-30；当r =3时，r =1，得常数为-20； 2
'
当r =5时，r =0，得常数为-1；∴-30+(-20) +(-1) =-51
3241
6．4186 3件次品，或4件次品，C 4C 4+C C =64186 644
(x -1)[1+(x -1) 5](x -1) +(x -1) 6467．15 原式=，(x -1) 中含有x 的项是 =
1+(x -1) x
244
x 的系数是15 C 6x (-1) 2=15x ，所以展开式中的
3
8．105 直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数， C 4C 5+C C +C C =454=5105；间接法：C 9-C 5-C C 54105 三、解答题
1．解：A B 中有元素7+10-4=13
12
2
3
3
2
4
1
5
5
4
1
333
C 13-C 6-C 3=286-20-1=265。
3
A 101133
+C ) ÷A =C ÷A =3÷A 101=1÷A 3=。
A 363
100
3101
3101
3101
2．解：（1）原式=(C
2
100
34444
（2）原式=C 3+C 5-C 4+C 6-C 5+433另一方法： 原式=C 4+C 4+C 5+43 =C 6+C 6+
444
+C 11-C 10=C 11=330。
3
C 10
33
+C 10=C 5+
+C 13=034
=C 4+C ==330101C 011
m m -1m -1m -1m -1
C n +C n C n C n C n
（3）原式=-m =1+m -m =1 m
C n C n C n C n
3．证明：左边=
n ! m ⋅n ! (n -m +1) ⋅n ! +m ⋅n !
+=
(n -m )! (n -m +1)! (n -m +1)!
=
(n +1)! m
=A n +1=右边
[(n +1) -m ]!
所以等式成立。
(1-x ) 1363
x -2) 3=4．解：(x +，在中，的系数C 6(-1) 3=-20 (1-x ) 3
x x
就是展开式中的常数项。 另一方法：
原式=6
3
(-1) 3=-20 6，T 4=C 6
5．解：抛物线经过原点，得c =0，
当顶点在第一象限时，a
⎧a
，则有C 3>0, 即⎨C 4种；
2a ⎩b >0⎧a >0b 2
，则有A 4种； 02a ⎩
当顶点在第三象限时，a >0, -
1
1
2
共计有C 3C 4+A 4=24种。
6．解：把4个人先排，有A 4，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位
13
4
242
当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有A 5，所以共计有A 4A 5=480种。
数学选修2-3 第一章 计数原理 [提高训练C 组]
一、选择题 1．B
n ! n !
=6⨯, n -3=4, n =7
(n -3)! (n -4)! ⨯4!
2332
2．D 男生2人，女生3人，有C 30；男生3人，女生2人，有C 30 C 20C 202332 共计C 3C +C C 02030 20
222223．A 甲得2本有C 6，乙从余下的4本中取2本有C 4，余下的C 2，共计C 6C 4
4．B 含有10个元素的集合的全部子集数为S =2，由3个元素组成的子集数
为T =C
3
10，
3
T C 1015=10= S 2128
10
5．A (a 0+a 2+a 4) 2-(a 1+a 3) 2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)
=(24⋅(24=1
6．D 分三种情况：（1）若仅T 7系数最大，则共有13项，n =12；（2）若T 7与T 6系数相
等且最大，则共有12项，n =11；（3）若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，
n =13，所以n 的值可能等于11,12,13
7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有C
2C 4
=7 共计有C +2
14
1
（2）平均分二个与二个，有4；
C 42
2
8．D 复数a +bi ,(a , b ∈R ) 为虚数，则a 有10种可能，b 有9种可能，共计90种可能 二、填空题
1．9 分三类：第一格填2，则第二格有A 3，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；
14
1
1
第一格填3，则第三格有A 3，第一、四格自动对号入座，不能自由排列； 1第一格填4，则第撕格有A 3，第二、三格自动对号入座，不能自由排列； 1共计有3A 3=9
33
2．165 C 1-C 37=165 2-C 6
11123．180,30 a ≠0，C 6C 6C 5=180；b =0, A 6=3 0
3r a 9-r r r 9-r r 32r -9r
, =84．4
T r +1=C () ( =(-1) a C 9x ，令-9=3r
2x 2
r
9
(-1) 8
8998
a ) C =a a , = 492164
2322
+C n =363+1, C +4C +4C +5+C n =
2
3222
5．13 C 3+C 3+C 4+C 5+32 C 5+C 5+
4, 36
+C n 2=... =C n +31=36n 4=,
13
6．28
5!
-
m ! (5-m ) ! m 6! 77!
=⨯, m 2-23m +4=2 0! -(m 6) ! m 10-m ! (7) !
m
而0≤m ≤5，得m =2, C 8=C 82=28
7．0.956
0.9915=(1-0.009) 5=1-5⨯0.009+10⨯(0.009)2+... ≈1-0.045+0.00081≈0.956
8．-2 设f (x ) =(1-
2x n ，令) x =1，得a 0+a 1+a 2++a 7(1=-27)
= 1-
令x =0，得a 0=1，a 1+a 2+三、解答题
+a 7=-1-a =0-2
6
1．解：6个人排有A 6种, 6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中, 有C 7=35种插法， 故空位不相邻的坐法有A 6C 7=25200种。
15
6
4
4
(2)将相邻的3个空位当作一个元素, 另一空位当作另一个元素, 往7个“间隔”里插
262有A 7种插法, 故4个空位中只有3个相邻的坐法有A 6A 7=30240种。
(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
4①4个空位各不相邻有C 7种坐法;
12②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C 7C 6种坐法; 2③4个空位分两组, 每组都有2个相邻, 有C 7种坐法. 64122综合上述, 应有A 6(C 7+C 7C 6+C 7) =118080种坐法。
4
2．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有A 4=24；
若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，
22
自动进入，不需要排列，即有C 3A 4=36；
若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，
11自动进入，不需要排列，即有C 3A 4=12；
所以有24+36+12=72种。
3．解：(1-2x ) 5(1+3x ) 4=-(2x -1) 5(3x +1) 4
41
=-[(2x ) 5-C 51(2x ) 4+...][(3x ) +C 4(3x ) +3...]
=-(32x 5-8x 04+... ) x (48+1
3
x 10+8
... )
=-(2592x 9-81⨯80x 8+32⨯108x 8+...) =-2592x +3024x +...
2n +2
9
8
4．解：3
-8n -9=9n +1-8n -9=(8+1) n +1-8n -9
n -12n n +1
+C n +18+C n +18+C n +1-8n -9
n -1
+C n +1) +8(n +1) +1-8n -9
n -1
+C n +1)
0n +11n
=C n +C n +18+18+
0n -11n -2=64(C n +C n ++18+18
0n -11n -2=M ⨯64(记M =C n 8+C 8++1n +1
M 为整数，∴64M 能被64整除.
5．证明：C n +2C n +3C n +... +(n +1) C n
16
1
2
n
0n 12
=(C n +C n 1+C n 2+... +C n +) C n (+C n 2+
12n -
=2n +n (1+C n +C +... +C -1n -1n -
1
1
n
+... nC n
)
=2n +n ⋅2n -1
3
1
)
6．解：（1）C n =7C n ,
n (n -1)(n -2)
=7n , n 2-3n -40=0, 由n ∈N *, 得n =8；
6
523443
（2）C 7a +C 7a =2C 7a ,21a 2+35a 4=70a 3, a ≠0
得5a -10a +3=0⇒a =1±
2
； 4
（3）C 8(2x ) 4(x lg x ) 4=1120, x 4(1+lg x ) =1,lg 2x +lg x =0
得l g x =0，或l g x =-1 所以x =1, 或x =
1
。 10
17