碰撞和动量守恒
一、动量定理 例题1 一艘帆船在湖面上顺风行驶，在风力的推动下做速度为v=4m/s的匀速直线运动，已知该帆船在运动状态下突然失去风的动力作用，帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t=8s才可静止；该帆船的帆面正对风的有效面积为S=10m2，帆船的总质量约为M=936kg，若帆船在行驶过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为ρ=1.3kg/m3，在匀速行驶状态下估算：
（1）帆船受到风的推力F 的大小；
（2）风速的大小V
解析：（1）风突然停止，帆船只受到阻力f 作用，做匀减速直线运动，设帆船的加速度大小为a ，则a= 0-v t =-0.5m/s2
根据牛顿运动定律有：
-f=Ma；
解得：f=468N
设帆船匀速运动时受到风的推力为F ，所以
F-f=0
F=468N
（2）设在时间t 内，正对吹入帆面空气的质量为m ，根据动量定理有-Ft=m（v-V ） 又因为 m=ρS （V-v ）t
Ft=ρS （V-v ）t
解得：V=10m/s
答：（1）帆船受到风的推力F 的大小为468N ；
风速的大小为10m/s
习题1
高压采煤水枪出水口的横截面积为s ，水的射出速度为v ，射到煤层上后，水的速度为零，设水的密度为ρ，求对煤层的冲力大小．F N =ρSv 2.
点拨：对“连续流体” (如高压水枪，漏斗装煤，水车洒水等) 的问题，如用牛顿运动定律求解，一般比较麻烦，甚至难以求解，但可采用“微元法”，即取时间Δt ，得出相应的质量Δm ，然后对Δm 在时间Δt 中应用动量定理可得到问题的解．
设在Δt 时间内，水枪中喷出水的质量为Δm ，则Δm ＝ρ(s·v Δt) ，这部分水冲到煤层上动量由Δmv 变为零，由动量定理列等式可解得煤层对这部分水的作用力，再用牛顿第三定律得出问题的解．
习题2
采煤中有一种方法是用高压水流将煤层击碎将煤采下．今有一采煤水枪，由枪口射出的高压水流速度为v ，设水流垂直射向煤层的竖直表面，随即顺煤壁竖直流下，求水对煤层的压强(水的密度为ρ)
二、动量守恒定律
例题1
一质量为2m 的物体
P 静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab 为粗糙的水平面，长度为L ；bc 为一光滑斜面，斜面和水平面通过与θ和bc 均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为
m
的木块以大小为v0的水平初速度从a 点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h ，返回后在到达a 点前与物体P 相对静止。重力加速度为g 。求：
（1）木块在ab 段受到的摩擦力f ；
（2）木块最后距a 点的距离s
试题分析：（1）设木块和物体P 共同速度为v, 两物体从开始到第一次到达共同速度过程由动量守恒得： ①
，则根据功能关系有 此过程，摩擦力做功损失能量为
②
由①②得：
③
（2）木块返回与物体P 第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒），全过程能量守恒得：
④
由②③④得：
⑤
习题1
在固定的光滑水平杆（杆足够长）上，套有一个质量为m=0.5kg的光滑金属圆环．一根长为L=1m的轻绳，一端拴在环上，另一端系着一个质量为M=2kg的木块，如图所示．现有一质量为m0=20g的子弹以v0=1000m/s的水平速度射穿木块，子弹穿出木块后的速度为u=200m/s （不计空气阻力和子弹与木块作用的时间），试问：
（1）当子弹射穿木块后，木块向右摆动的最大高度为多大？
（2）当木块第一次返回到最低点时，木块的速度是多大？
（3）当木块第一次返回到最低点时，水平杆对环的作用力是多大？
（1）设子弹从木块中穿出时木块的速度为v1 在子弹与木块的相互作用的过程中两者动量守恒： m0v0=m0u+Mv1
解之得：v1=8m/s
在木块与圆环一起向右运动的过程中，两者满足水平方向动量守恒，机械能守恒； Mv1（M+m）v2
1 2 Mv12= 1 2 （M+m）v22+Mgh，
解得：h=0.64m
（2）木块从最高点返回最低点的过程中，由水平方向动量守恒、机械能守恒得： （M+m）v2=mv3+mv4
1 2 （M+m）v22+Mgh= 1 2 mv32+ 1 2 Mv42，
解得：v3=12.8m/s，v4=4.8m/s
v3=0，v4=8m/s（舍去）
（3）第一次返回到最低点时，木块的速度
v4=4.8m/s，圆环的速度v3=12.8m/s，
绳子拉力 T1-Mg=M (v4-v3)2 L
解得：T1=148N
对小环：N1=T1+mg=153N
答：（1）当子弹射穿木块后，木块向右摆动的最大高度为0.64m
（2）当木块第一次返回到最低点时，木块的速度是4.8m/s
（3）当木块第一次返回到最低点时，水平杆对环的作用力是153N
三、碰撞问题
1. 追碰的临界问题
如图所示，水平地面上静止放置着物块B 和C ，相距="1.0m" 。物块A 以速度=10m/s沿水平方向与B 正碰。碰撞后A 和B 牢固地粘在一起向右运动，并再与C 发生正碰，碰后瞬间C 的速度="2.0m/s" 。已知A 和B 的质量均为m ，C 的质量为A 质量的k 倍，物块与地面的动摩擦因数=0.45.（设碰撞时间很短，g 取10m/s2）试：
（1）计算与C 碰撞前瞬间AB 的速度；
（2）根据AB 与C 的碰撞过程分析k 的取值范围，并讨论与C 碰撞后AB 的可能运动方向
试题分析：⑴设
A 、
B 碰撞后的速度为
v1,AB 碰撞过程由动量守恒定律得 设与C 碰撞前瞬间
AB 的速度为v2，由动能定理得
联立以上各式解得
⑵若AB 与C 发生完全非弹性碰撞（AB 与C 成为一个整体），由动量守恒定律得
代入数据解得 ， 此时AB 的运动方向与C 相同
若AB 与C 发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒得
联立以上两式解得
代入数据解得 ，此时AB 的运动方向与C 相反
，代入数据解得 若AB 与C 发生碰撞后AB 的速度为0，由动量守恒定律得
综上所述得 当时，AB 的运动方向与C 相同；当时，AB 的速度为0 ； 当
时，AB 的运动方向与C 相反
习题
如图所示，滑块A 、C 质量均为m ，滑块B 质量为 3 /2 m，开始时A 、B 分别以v1、v2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动，现将C 无初速地放在A 上，并与A 粘合不再分开，此时A 与B 相距较近，B 与挡板相距足够远．若B 与挡板碰撞将以原速率反弹，A 与B 碰撞将粘合在一起．为使B 能与挡板碰撞两次，v1、v2应满足什么关系？
设向右为正方向，A 与C 粘合在一起的共同速度为v' ，
由动量守恒定律得mv1=2mv′①，
为保证B 碰挡板前A 未能追上B ，应满足v' ≤v2 ，②
设A 与B 碰后的共同速度为vn ，由动量守恒定律得2mv ′- 3 2 mv2= 7 2 mvn，③ 为使B 能一挡板再次碰撞应满足vn ＞0，④
联立①②③④式得1.5v2＜v1≤2v2或 1 2 v1≤v2＜ 2 3 v1；
答：为使B 能与挡板碰撞两次，v1、v2应满足的关系是1.5v2＜v1≤2v2或
1 /2 v1≤v2＜ 2 /3 v1
涉及弹簧的临界问题
如右图所示，用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以v=6m/s的速度在光滑水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4kg 的物块C 静止在前方，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动．在以后的运动中，求：
（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A 的速度多大？
（2）弹性势能的最大值是多大？
（3）A 的速度有可能向左吗？为什么？
（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．
由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒：
（mA+mB）v=（mA+mB+mC）vA ′„①
由①式解得 vA′=3m/s„②
（2）B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v ′，则： mBv=（mB+mC）v ′„③
由③式解得：v ′=2m/s„④
设物A 速度为vA ′时，弹簧的弹性势能最大为Ep ，根据能量守恒：
Ep= 1 2 （mB+mC）v'2+ 1 2 mAv2- 1 2 （mA+mB+mC） v 2A „⑤
由⑤式解得：Ep ═12J „⑥
（3）系统动量守恒：mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB „⑦
设A 的速度向左，vA ＜0，vB ＞4 m/s
则作用后A 、B 、C 动能之和：
E ′= 1 2 mAvA2+ 1 2 （mB+mC）vB2＞ 1 2 （mB+mC）vB2=48 （J ）„⑧
实际上系统的总机械能为：
E=Ep+ 1 2 （mA+mB+mC） v 2A =12+36=48 （J ）„⑨
根据能量守恒定律，E' ＞E 是不可能的，所以A 不可能向左运动．
答：（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A 的速度是3m/s．
（2）弹性势能的最大值是12J ．
（3）A 的速度不可能向左．
习题
如图，光滑水平直轨道上有三个质童均为m 的物块Ａ、B 、C 。 B 的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计). 设A 以速度ｖ０朝B 运动，压缩弹簧；当A 、 B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B 和C 碰撞过程时间极短。求从Ａ开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
(i) 整个系统拐失的机械能；
(ii) 弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
（Ⅰ）从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，根据动量守恒定律得
①
此时B 与C 发生完全非弹性碰撞。设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE 。对B 、C 组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得
②
③
联立①②③式得 ④
（Ⅱ）由②式可知v2
⑤
⑥
联立④⑤⑥式得 ⑦
避免相碰的临界问题
如图所示，甲车的质量m1＝m ，在车上有质量为M ＝2m 的人，甲车（连同车上的人）从足够长的斜坡上高h 处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时m2＝2m 的乙车正已vo 的速度迎面滑来。已知。为了使两车不可能再发生碰撞，当两车距离适当时，人从甲车跳上了乙车。试求人跳离甲车的水平速度（相对地面）应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可以看作质点。
解：甲车与人从斜坡上滑至水平面上的过程中机械能守恒，设在水平上的速度为v ，
① （2分） 解得：
②（1分）
人跳离甲车后，为避免甲车和乙车相撞，甲车最后的速率应当不大于人和乙车的共同速率。 当人跳离的速率比较小速度
根据动量守恒定律可得：
以甲车、人、乙车为研究对象，
以甲车、人为研究 ③（2分） 对象，的时候，甲车的临界速度和人与乙车的共同速度相同。
④（2分）
解③③④两方程可得
当人跳离的速率比较大速度
根据动量守恒定律可得： ⑤（1分） 的时候，甲车的临界速度和人与乙车的共同速度相反。
以甲车、人、乙车为研究对象，
以甲车、人为研究对象， ⑦ （2分） ⑥（2分）
解 ⑥⑦ 两方程得 ⑧（1分）
故人跳离甲车的速度为 ⑨（1分）
. 如图所示，甲、乙两小孩各坐一辆冰车在摩擦不计的冰面上相向运动，已知甲连同冰车的总质量M=30kg，乙连同冰车的总质量也是M=30kg，甲还推着一只质量m=15kg的箱子．甲、乙滑行的速度大小均为2m/s，为了避免相撞，在某时刻甲将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时被乙接住．试求:①甲至少用多大的速度(相对于地面) 将箱子推出，才可避免和乙相撞? ②甲在推出时对箱子做了多少功?
甲推出箱子可使自己减速，而乙接住箱子，也可使其自己减速，甚至反向运动．若甲、乙刚好不相撞，条件应是在乙接住箱子后，甲、乙(包括箱子) 的速度相同．根据动量守恒定律，我们先做定性分析:选甲、乙、箱子为系统，由于甲推出箱子前，系统的总动量的方向与甲的运动方向相同，所以在达到共同速度时，系统的总动量方向应不变，故判断共同速度的方
向在甲的原运动方向上．设:甲推出箱子前的运动方向为正方向，甲、乙初速度大小为 甲、乙、箱子后来的共同速度为 ，根据动量守律: ，，可求出 =0.4m/s；再以甲与箱子为研究对象，甲推出
，可求出被箱子的过程中动量守恒，设箱子被推出后的速度为
推出后箱子的速度为 . 由动能定理，甲推出箱子的过程对箱子做功等于箱子动能的增加量 J ．
子弹打木块模型
一质量为M 的木块静止光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以初速度v0水平飞来打进木块并留在其中，设木块与子弹的相互作用力为f ．试求：
（1）子弹、木块相对静止时的速度v ？
（2）子弹在木块内运动的时间为多长？
（3）子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？
（4）系统损失的机械能、增加的内能分别为多少？
（5）要使子弹不射出木块，木块至少多长？