八离散系统

第八章离散控制系统

一、选择填空题（每题2分）

1．y(t)=sinωt=sint，采样角频率ωs =3rad/s，所以y*(t)------（填能或不能）恢复原连续信号。 2．y(t)=sinωt=sin4t ，采样角频率ωs =3rad/s，所以y*(t)------（填能或不能）恢复原连续信号 3．求Z 变换时，若二个信号不同，但采样时刻的值相同，则这二个信号的Z 变换-----（填相同或不同）。 4．已知C （z ）=

(0. 2z +0. 19) 0. 2

，则其终值C*（∞）=---------。 2-12

(z -1. 03z +0. 5)(1-z )

-at

5．已知函数f(t)=1-e ，则其Z 变换是-------。

6．离散系统框图如图，其传递函数C(z)/R(z)为( )

A.G(z)/[1+G(z)H(z)] B.G(z)/[1—G(z)H(z)] C.G(z)/[1+ GH(z)] D. 无表达式 7．离散系统框图如图，其传递函数C(z)/R(z)为( )

A.G(z)/[1+G(z)H(z)] B.G(z)/[1—G(z)H(z)] C.G(z)/[1+ GH(z)] D. 无表达式

8．已知差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，已知r(k)=1，c(0)=0，c(1)=1，则

c(2)=_____。

9．设离散系统的闭环特征方程式为：(z+1)(z+0.5)(z+2)=0，则系统是否稳定？________。

10．设离散系统的闭环特征方程式为：z -0.632z+0.896=0，则系统是否稳定？________。

-1 –2

11．系统闭环传函为：G （z ）=2z-z ，则系统（是否）-----最小拍系统，如是则调节时间是------拍。

参考答案 1．能 2．不能 3．相同 4． ∞

5．（1-e -aT ）z/(z-1)(z-e-aT )

6． D 7． C 8． 6

9．不稳定 10．稳定 10．是，二

二、综合计算题及参考答案

a1（6分）已知开环系统的z 传递函数如下, 试判断其单位闭环系统的稳定性.

G (z ) =

0. 368z +0. 264

z +1. 368z +0. 368

解:系统的闭环传递函数为

Φ(z ) =

G (z ) 0. 368z +0. 264

2’ =2

1+G (z ) z +1. 736z +0. 632

由此得系统的特征方程为 z 2+1.736z+0.632=0 解得

z 1=-0.5195,z2=-1.2165 2’ 因为有一个根在单位圆外, 所以系统不稳定. 2’ a2（8分）:求如图所示系统的脉冲传递函数。

解：设G 1(s ) =

1S ，G 2(s ) =10S +10

则图（a ）系统的的脉冲传递函数为

C (z ) ⎡10⎤R (z ) =G (z ) =G 1G 2(z ) =Z ⎢z (1-e -10Ts )

⎣s (s +10) ⎥⎦=(z -1)(z -e

-10Ts

) 图（b ）的脉冲传递函数为

C (z ) R (z ) =G (z ) =G 1(z ) G 2(z ) =

10z 2

(z -1)(z -e -10Ts )

a3（8分）求图所示系统的脉冲传递函数。

4’ 4’

） C (z ) 10e -2T -e -5T

解：图（a R (z ) =G 1G 2(z ) =3⨯(z -e -2T )(z -e -5T

) 4’ 图（b ） C (z ) R (z ) =G 10z 2

1(z ) G 2(z ) =(z -e -2T )(z -e -5T

)

4’ a4（10分）求如图所示系统的闭环系统脉冲传递函数。

解：其中间方程为

E （z ）=R（z ）-H 2（z ）C （z ）（1） 1’ E 1（z ）=H1G 1（z ）E （z ）- H1G 1（z ）E 1（z ）（2） 1’ C （z ）= G1E （z ）- G1（z ）E 1（z ）（3） 1’ 把式（1）代入式（2），有

E 1(z ) =

H 1G 1(z ) R (z ) -H 1G 1(z ) H 2(z ) C (z )

1+H (4)

1G 1(z )

把式(1)和式(4)代入式(3),求得

C (z ) =G ) [R (z ) -H G 1(z ) [H 1G 1(z ) R (z ) -H 1G 1(z ) H 2(z ) C (z ) ]1(z 2(z ) C (z ) ]-

1+H 1G 1(z )

经整理得闭环系统脉冲传递函数为

Φ=

C (z )

G 1(z ) R (z ) =

1+H 3’1G 1(z ) +G 1(z ) H 2(z )

a5（10分）已知系统如图所示，求系统输出的z 变换表达式。

解：E(s)=R(s)-B*(s) C(s)=C2(s)E*1(s) B *(s)=H1G *2(s)E*1(s)

E 1(s)=G1(s)E(s)-H2(s)G2(s)E*1(s)

4’

E(s)=R(s)-H1G *2(s) E*1(s)

E *1(s)=G1R *(s)-G*1(s)H1G *2(s)E*1(s)-H2G *2(s)E*1(s) *C(s)=C2(s)E*1(s)=

G 2(s ) G 1R (s )

1+G *

1(s ) H *

8’

1G 2(s ) +H 2G 2(s )

对上式式进行z 变换，有

C (z )

G 2(z )G 1R (z )1+G

2H 2z +G 1z G 2H 1z 2’

a6（10分）已经系统如图所示, 采样周期Ts=1s,求系统的单位阶跃响应.

解:系统连续部分的传递函数为

G (s ) =1-e -T s s 2s ⨯s +1

其z 变换为 G (z ) =2(1-e -T s )

z -e

-T S

当T s =1s时 G (z ) =1. 264

z -0. 368

而R (z ) =

z -1

, 系统的输出的z 变换为 C (z ) =

G (z ) 1+G (z ) ⨯R (z ) =1. 264z

z 2-0. 104Z -0. 896

由长除法得

C(z)=1.264z-1+0.131z-2+1.146z-3+… 2’系统的阶跃响应为

c*(t)=1.264δ(t-Ts)+0.131δ(t-2Ts)+1.146δ(t-3Ts)+… 2’

b1（10分）设系统如图所示.

(1) 求系统的闭环z 传递函数;

(2) K=10,T=1s时, 判断系统的稳定性; 解：（1）系统的闭环z 传递函数为

3’ 3’

Φ(z ) =

GH (z )

1+GH (z )

⎡1-e -ts K ⎤K e -T +T -1z +1-e -T -Te -T

GH (z ) =Z ⎢⨯⎥=-T

s (s +1) ⎦(z -1)(z -e ) ⎣s

所以

[()()]

Φ(z ) =

z 2+e -T

K e -T +T -1z +1-e -T -Te -T

6’ -T -T -T -T

+T -1-1+e z +K 1-Te -e +e

[(

)()]

（2）K=10，T=1s时，闭环系统的特征方程为

z 2+2.31z+3=0

z =

-2. 31±2. 58j

因为有一个根在单位圆外，所以系统不稳定。 4’ b2（10分+4分）设系统如图所示.

(1)求系统的闭环z 传递函数; （6分）

(2)* K=10，T=1s时, 判断系统的稳定性; （4分）（3）T=1s时, 求系统的临界放大增益; （4分）解：（1）系统的闭环z 传递函数为

Φ(z ) =

GH (z )

1+GH (z )

⎡1-e -ts K ⎤K e -T +T -1z +1-e -T -Te -T

GH (z ) =Z ⎢⨯⎥=-T

s (s +1) ⎦(z -1)(z -e ) ⎣s

所以

[()()]

Φ(z ) =

z 2+e -T

K e -T +T -1z +1-e -T -Te -T

6’ -T -T -T -T

+T -1-1+e z +K 1-Te -e +e

[(

)()]

（2）K=10，T=1s时, 系统的特征方程为

Z 2+2.31Z+3=0 Z =

-2. 31±2. 58j

因为有一个根在单位圆外, 所以系统不稳定。 4’

（3）T=1s时，系统的特征方程为 Z 2+(0.368k-1.368)Z+0.264k+0.368=0

把z =

w +1

代入上述方程中，得 w -1

0. 632Kw 2+(1.264-0.528K)w+2.736-0.104K=0 要使系统稳定, 其系统必须大于零, 即 0.632K ＞0

1.264-0.528K ＞0 2.736-0.104K ＞0

所以 0＜K ＜2.4

故系统的临界放大增益为K=2.4. 4’

b3（12分）设离散系统如图所示, 其中T=0.1s,r(t)分别为1(t)和t 时, 求系统的稳定误差.

解:系统的开环脉冲传递函数为

G (z ) =(1-z

-1

⎡1⎤⎡T ⎤-T -1(1-e ) z z ⎥=(1-z ) ⎢⎥) Z ⎢2-2-T ⎥ ⎢⎥⎢s (s +1) (z -1) (z -1)(z -e ) ⎣⎦⎣⎦

把T=0.1s代入上式, 得

G (z ) =

0. 005(z +0. 9)

6’

(z -1)(z -0. 905)

当r(t)=1(t)时,

⎡0. 005(z +0. 9) ⎤

K P =lim (G (z ) =lim ⎢⎥=∞ 2’ z →1z →1(z -1)(z -0. 905) ⎣⎦

e (∞) =

=0 1'

1+K P

当r(t)=t时,

K V =

110. 005(z +0. 9) lim (z -1) G (z ) =lim (z -1) =1 2’ z →1z →1T T (z -1)(z -0. 905)

e (∞) =

=1 1’ K v

b4(12分) 已知系统如图所示, 其中时间常数T=0.5s. 当采样周期Ts=0.4s时, 求使系统稳定的K 值范围.

解:连续部分的传递函数为

G (s ) =

s (Ts +1)

相应的z 变换为

z ⎡z

G (z ) =K ⎢--Ts /T

⎣z -1z -e

当Ts=0.4s,T=0.5s时,

⎤

⎥ 4’ ⎦

G (z ) =

0. 55Kz

(z -1)(z -0. 45)

系统的闭环特性方程为

1+G(z)=1+

0. 55Kz

(z -1)(z -0. 45)

即:z2+(0.55K-1.45)z+0.45=0 3’ 作w 变换并整理, 得

0.55Kw 2+1.1w+(2.9-0.55K)=0 2’ 要使系统稳定, 必须满足: 0.55K ＞0 2.9-0.55K ＞0

即:0＜K ＜5.27 3’

b5(12分) 设有离散系统如图所示，采样周期T 为1s,G 1(s)为零阶保持器, G 2(s ) =求:当K=8时, 分别在z 域和w 域分析系统的稳定性

s (s +2)

解:由方框图得出

K z (1+e -2) +(1-3e -2)

6’ G (z ) =

4(z -1)(z -e -2)

所以系统的特征方程为1+G(z)=0,即

4z 2+(1.135K-4.54)z+0.594K+0.54=0 3’ (1),将K 值代入上式, 有4z 2+4.54z+5.29=0 得z=-0.57±j 系统不稳定. 1’ (2),则将z =

[]

1+ω

代入上式, 用劳斯行列式进行判定. 系统不稳定. 2’ 1-ω

b6(12分) 已知系统如图所示, 其中时间常数T=0.5s. 当采样周期Ts=0.4s时, 求使系统稳定的K 值范围.

解:连续部分的传递函数为

1-e -Ts s K

G (s ) =⨯

s s (Ts +1)

相应的z 变换为

⎡Ts T (1-e -Ts /T ) ⎤

G (z ) =K ⎢-⎥-Ts /T

z -e ⎣z -1⎦

当Ts=0.4s,T=0.5s时,

G (z ) =

0. 125K (z +0. 76)

6’

(z -1)(z -0. 45)

系统的闭环特性方程为

1+G(z)=1+

0. 125K (z +0. 76)

(z -1)(z -0. 45)

即:z2+(0.125K-1.45)z+(0.45+0.095K)=0 作w 变换并整理, 得

1. 22Kw 2+2(0.55-0.095K)w+(2.9-0.03K)=0 3’ 要使系统稳定, 必须满足: 0. 22K ＞0

2(0.55-0.095K)＞0 2.9-0.03K ＞0

即:0＜K ＜5.79 3’

b7(12分) 设有离散系统如图所示，采样周期T 为1s,G 1(s)为零阶保持器, G 2(s ) =

s (s +2)

求:使系统稳定的K 值范围

解:由方框图得出

K z (1+e -2) +(1-3e -2)

6’ G (z ) =-2

4(z -1)(z -e )

所以系统的特征方程为1+G(z)=0,即

4z 2+(1.135K-4.54)z+0.594K+0.54=0 将z =

[]

1+ω

代入上式, 用劳斯行列式进行判定. 1-ω

即：1.73Kw 2+(6.92-1.2K)w+(9.08-0.54K)=0 3’ 1.73K>0 6.92-1.2K>0 9.08-0.54K>0

b8（14分）设系统如图所示.

K=10,T=1s时, 系统在单位阶跃、单位速度和单位加速度输入时的稳定误差。解：系统的闭环z 传递函数为

Φ(z ) =

GH (z )

1+GH (z )

⎡1-e -ts K ⎤K e -T +T -1z +1-e -T -Te -T

GH (z ) =Z ⎢⨯⎥=-T

s (s +1) ⎦(z -1)(z -e ) ⎣s

所以

[()()]

Φ(z ) =

z 2+e -T

K e -T +T -1z +1-e -T -Te -T

+T -1-1+e -T z +K 1-Te -T -e -T +e -T

[(

)()]

当K=10,T=1s时, 系统的闭环传递函数为

Φ(z ) =

3. 68z +2. 644

z +2. 31z +3. 012

系统的误差脉冲传递函数为

E (z ) z 2-1. 368z +0. 368

Φc (z ) ==1-Φ(z ) =2

R (z ) z +2. 31z +3. 012

所以

e (∞) =lim (1-z -1) E (z ) =lim (1-z -1)(Φe (z ) R (z ))

z →1

(z -1) z 2-1. 368z +0. 368

=lim ⨯2R (z ) z →1z z +2. 31z +3. 012

a, 当单位阶跃输入时, R (z ) =, 稳定误差为

z -1

5’

(z -1) z 2-1. 368z +0. 368z

e (∞) =lim ⨯2⨯=0 3’

z ←1z z +2. 31z +3. 012z -1

b, 当单位速度输入时, R (z ) =

Tz z

=, 稳定误差为 22

(z -1) (z -1)

e (∞) =lim

(z -1) 2z

⨯2⨯=1 3’ 2z →1z z +2. 31z +3. 012(z -1)

T 2z (1+z ) z (1+z )

c, 当单位加速度输入时, R (z ) ==, 稳定误差为 33

3(z -1) 2(z -1)

(z -1) 2z (1+z )

e (∞) =lim ⨯2⨯=∞ 3’

z →1z z +2. 31z +3. 0122(z -1) 3

b9（14分）采样系统如图所示，采样周期T=0.1S，试确定单位阶跃输入、单位斜坡输入、

单位加速度输入时系统的稳定性误差。

解:系统的开环脉冲传递函数为

G (z ) =

0. 632z

5’ 2

z -1. 368z +0. 368

z →1

单位阶跃函数输入时，K P =lim G (z ) =∞ 2’

lim [(z -1) G (z ) )]=10 2’ T z →1

单位抛物线函数输入时，K a =2lim (z -1)G (z ) =0 2’

T z →1

单位斜坡函数输入时，K V =

[]

再分别求它们的倒数即得相应的稳态误差。

单位阶跃输入时e (∞) =0 1’ 单位斜坡输入时e (∞) =0. 1 1’ 单位加速度输入时e (∞) =∞ 1’ B10（12分）设离散系统如图所示, 其中Ts=10s。

（1）求闭环系统脉冲传递函数

C (z )

R (z )

（2）求使系统稳定的K 值范围

解:（1）

ke -10s 0. 01ke -10s

G (s ) =s (100s +1) =s (s +0. 01) =e -10s G 1(s )

G ) =0. 01k k k

1(s s (s +0. 01) =s -

s +0. 01

G kz kz kz kz

1(z ) =z -1-z -e -0. 01T s =z -1-

z -0. 9

G (z ) =z -1G 1(z )

所以

C (z ) 0. 1k 0. 1k

R (z ) =(z -1)(z -0. 9) +0. 1k =z 2-1. 9z +0. 9+0. 1k

（2）将z=(w+1)/(w-1)代入闭环系统脉冲传递函数，使分母为0，则

0.1kw 2+(0.2-0.2k)w+(0.1k+3.8)=0 列劳斯表，系统稳定时，有 k > 0

0.2-0.2k > 0

即 0

B11 求图示系统的闭环脉冲传递函数和系统的单位阶跃响应。

6’ 3’

’

解：

e -1z +1-2e -10. 368z +0. 264

G (z ) =2=

z -(1+e -1) z +e -1z 2-1. 368z +0. 368

系统闭环脉冲传递函数为

C (z ) G (z ) 0. 368z +0. 264

==2

R (z ) 1+G (z ) z -z +0. 632

z C (z ) G (z ) 0. 368z +0. 264

R (z ) ===

z -1R (z ) 1+G (z ) z 2-z +0. 632

=0. 368z -1+z

-2+1. 4z -3+1. 4z -4+1. 147z -5+0. 895z -6+

0. 368z -1+0. 264z -2

=-1-2-3

1-2z +1. 632z -0. 632z

0. 368z +0. 264z 0. 368z +0. 264z C (z ) =2=3

(z -z +0. 632)(z -1) z -2z +1. 632z -0. 632

C (kT ) =0. 368δ(t -T ) +δ(t -2T )

+1. 4δ(t -3T ) +1. 4δ(t -4T ) +1. 147δ(t -5T ) +0. 895δ(t -6T ) +

B12（12分）设离散系统如图所示, 其中T=1s，要求：（1）求系统开环脉冲传递函数；

（2）当r(t)分别为1(t)和t 时, 求系统的稳态误差。解：（1）系统的开环脉冲传递函数为

G (z ) =(1-z

-1

⎡1⎤⎡T ⎤-T -1(1-e ) z z ⎥=(1-z ) ⎢⎥) Z ⎢2-2-T ⎥ ⎢⎥⎢s (s +1) (z -1) (z -1)(z -e ) ⎣⎦⎣⎦

把T=1s代入上式, 得

e -1z +1-2e -10. 368z +0. 2640. 368z +0. 264

G (z ) ===

z 2-(1+e -1) z +e -1(z -1)(z -e -1) z 2-1. 368z +0. 368

6分

（2）当r(t)=1(t)时,

⎡0. 368z +0. 264⎤

K P =lim (G (z ) =lim ⎢⎥=∞ z →1z →1(z -1)(z -e -1) ⎣⎦

e (∞) =

=0 3分

1+K P

当r(t)=t时,

K 1T lim z →1(z -1) G (z ) =10. 368z +0. 264V =

T lim z →1(z -1) (z -1)(z -e -1) =1 e (∞) =

K =1 v

3分

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