J I A N G X I N O R M A L U N I V E R S I T Y
2016届本科毕业论文
题目：关于陀螺仪平衡问题的研究
Titl e: The research about the balance of the gyroscope
院系名称：物理与通信电子学院
学生姓名： 纪 航
学生学号： 1207020028
专 业： 物理学（师范）
指导老师： 王 琦（副教授）
完成时间： 2016年4月
声 明
本人慎重声明：
所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。其中除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写并以某种方式公开过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而做的材料。其他同志对本研究所做的任何贡献均以在文中做了明确的说明并表示致谢。
本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学读书期间在指导老师指导下取得的，成果归江西师范大学所有。
特此声明。
声明人（毕业设计（论文）作者）学号：
声明人（毕业设计（论文）作者）签名：
签名日期： 年 月 日
摘 要
陀螺仪在普通物理学教程的力学中就已经有所提及，它的力学特性是转子做高速旋转时表现出来的特性。一个高速旋转中的陀螺仪具有可以稳定地保持平衡、抵抗使它倾斜的力的特性。本文将从陀螺仪旋转的状态分析开始，然后以设想实验的方式解释该特性存在的原因。首先主要介绍了陀螺仪的运动状态，以及杠杆式陀螺仪和常平架陀螺仪的结构和运动规律，并从力学方面去分析陀螺仪的进动和回转效应，得到这两种运动情况下的平衡条件，最后对陀螺仪在未来的发展做出设想。
关键词：陀螺仪，进动，回转效应，平衡条件，实际运用
Abstract
The gyroscope has been mentioned in the part of mechanics during the course of general physics. When the gyroscope is rotating with a high speed, it can keep balance constantly and resist to a force making it incline, which is the gyroscope’s mechanical feature .This thesis will start from analyzing the situation of the rotating gyroscope, then the reason why this feature exists will be explained in the way of assuming the experiments. First of all, it mainly introduces the movement of the gyroscope, and the structure and the movement rule of the leverage gyroscope and the gimbal gyroscope. Besides, it analy zes the gyroscope’s movement and rotation effect at the mechanic aspect, which comes to the condition of balance in both cases of movements. At last, a future vision of the gyroscope will be conceived in this thesis.
Key words: Gyroscope, procession, rotation effect, the condition of balance, practical application
目 录
摘 要 ..................................................................... I Abstract .................................................................. II
1引言 ..................................................................... 1
2对不同类型陀螺仪的认识与了解 .............................................. 1
2.1陀螺罗盘 ............................................................ 1
2.2陀螺稳定器 .......................................................... 1
2.3陀螺稳定平台 ........................................................ 2
2.4陀螺方向仪 .......................................................... 2
2.5陀螺垂直仪 .......................................................... 2
3实验室陀螺仪的结构分析 .................................................... 3
4陀螺仪平衡问题 . ........................................................... 3
4.1陀螺仪平衡状态的分析 ................................................ 3
4.1.1杠杆式陀螺仪的进动分析 ........................................ 3
4.1.2常平架陀螺仪的稳定状态分析 .................................... 6
4.2陀螺仪保持平衡状态的原因 ............................................ 6
4.2.1杠杆式陀螺仪的进动水平状态原因 ................................ 6
4.2.2常平架陀螺仪的稳定状态原因 .................................... 8
5陀螺仪的实际运用 .......................................................... 9
5.1陀螺仪自古至今的运用 ................................................ 9
5.2陀螺仪在未来的前景展望 ............................................. 10
6结束语 .................................................................. 10
参考文献： ................................................................ 11
1引言
早在十八世纪中叶时期，在拉格朗日、欧拉等多位科学家已经完整的建立了刚体定点转动的经典理论的前提下，陀螺仪发展的理论基础也得到了奠定[1]。在二十世纪初，在航海方面的陀螺仪又称罗经被发明出来，且运用到了远洋航行。在如今的现代，各式各样的陀螺仪已经被发明出来并运用到实际生活当中，本文将具体研究最基本的陀螺仪的平衡问题，然后对陀螺仪在未来科技的发展领域做出设想，为人民的生活提供更好的物质体验，使它能被更多的人所运用。
2对不同类型陀螺仪的认识与了解
一个正在旋转中的陀螺仪具有稳定地保持平衡和断然地反抗一切把它推到的企图[2]。陀螺仪因为自身所具有的稳定属性，所以根据陀螺仪的动力学特性制作出不同的仪器，并应用在不同的方面。陀螺仪按功能区分可分为以下几种：陀螺罗盘、陀螺稳定器、陀螺稳定平台、陀螺方向仪、陀螺垂直仪等。下面简单介绍这几种陀螺仪的工作原理：
2.1陀螺罗盘
该仪器是一个可以使飞行物体确定方向并寻找地理位置的三自由度陀螺仪。它的外环是铅直的，转子的轴水平地放置在子午面内，它的正端指向北面，在支点下方有一个不平衡小锤固定于内环。当重心沿着铅垂轴向下或向上偏离支承中心，转子轴偏离子午面时，这时偏离水平面而产生重力矩使陀螺旋进到子午面，这种利用重力矩的陀螺罗盘称摆式罗盘。
2.2陀螺稳定器
该仪器是根据陀螺仪的稳定特性来使船体得到平稳的装置。施利克的被动式稳定器实质上是大型的二自由度重力陀螺仪，其转子轴铅直放置，框架轴平行于船的横轴。当轮船发生摇晃时，陀螺仪产生的力矩将迫使框架携带转子一起相对于船体旋进。这种摇摆式的旋进将引起另一个陀螺力矩，促使船体得到一种很平稳的姿态。斯佩里发明的主动式稳定装置是在施利克的被动式稳定器的基础上增
加了一个可以操控的小型的陀螺仪，它转子沿船体横轴放置。如果船体发生摇晃，小型陀螺将沿着铅直轴发生旋进，然后促使主陀螺仪框架轴上的控制马达及时开动，在该轴上施加与原陀螺力矩方向相同的主动力矩，借以加强框架的旋进和由此旋进产生的效果对整个船体进行稳定。
2.3陀螺稳定平台
该仪器主要以陀螺仪为主要的元器件制成，使一个物体在给定了一个稳定的姿态后，能在惯性空间中继续保持这个姿态的装置。稳定平台一般使用外环和内环组成平台框架轴上的力矩器，使其产生力矩与干扰力矩平衡，让陀螺仪旋进停止的稳定平台称为动力陀螺稳定器。陀螺稳定平台可以使一些需要精确定位方向的仪器得到稳定不偏移的效果。
2.4陀螺方向仪
该仪器能够给出在航空方面转弯时的角度以及航向与方位。陀螺方向仪是一个具有三自由度均衡陀螺仪，一般将它固定在航天器上，转子轴提供了惯性空间所给定的方向。在起飞前转子轴调整到水平并让它指向仪表的零方位，则当航天器绕铅直轴转弯时，仪表的零方位就和转子轴发生相对转动，这样就可以得到转弯的角度。由于外界的干扰，转子轴不会一直指向原来的方向而是会发生一定偏移，所以每经过一段时间都要对它进行一次精密的调整。
2.5陀螺垂直仪
该仪器主要利用摆式敏感元件对偏离平衡位置的物体发生感应的功能，它对陀螺仪施加增加一个修正力矩以精确标识出地垂线，又称陀螺水平仪。陀螺仪中的转子轴若发生偏离地垂线时，力矩器将收到一个来自摆式敏感元件输出的信号，此时力矩器产生修正力矩，在力矩作用下转子轴旋进回到地垂线位置。
3实验室陀螺仪的结构分析
图1 常平架陀螺仪
图2 杠杆式陀螺仪
本文主要分析实验室中常见的两种陀螺仪，分别是常平架陀螺仪和杠杆式陀螺仪。
陀螺仪由陀螺和框架组成，在不同数目框架的情况下它们的作用不一样，所以按框架的数目分又有三自由度陀螺仪和二自由度陀螺仪，这里的三自由度陀螺仪就是上面提到的常平架陀螺仪。三自由度陀螺仪构造上由一个转子和两个框架构成。如图1所示，在没有任何力矩装置时，它就已经构成一个自由的陀螺仪，当转子高速旋转时，它可在三维空间中保持稳定的姿态。
除了上面所述的陀螺仪外，还有一种运用杠杆的陀螺仪，称为杠杆式陀螺仪。顾名思义是由杠杆为主要的结构，一端是一自由度陀螺仪，该陀螺仪的转子以杠杆为转轴，可以绕轴进行高速旋转。另一端是一重物，重物的质量和位置都可以随意的改变，这就是杠杆式陀螺仪[3]。如图2所示，该仪器中一个自转的物体，它的自转轴绕着一个定点进行转动，这种现象称之为进动[4]。
4陀螺仪平衡问题
4.1陀螺仪平衡状态的分析
4.1.1杠杆式陀螺仪的进动分析
下面以假设的方式来研究杠杆式陀螺仪的进动，设陀螺的重量为G 1，陀螺到支点的距离为l 1, 物块的重量为G 2，物块在杆的节点处到支点的距离为l 2。
图
3 物块端下降
如图3所示，假设起始时物块端相对水平时下降，那么此时有
G 1l 1
则 M =M 1+M 2=l 1⨯G 1+l 2⨯G 2 （2）
M =m 2gl 2-m 1gl 1 （3）
总力矩M 的方向垂直纸面向里。
d L =Mdt （4）
若陀螺仪逆时针旋转，它将产生一个沿杠杆，从支点指向陀螺仪的一个角动 量L ，此时系统中就存在两个方向不同的角动量。将这两个角动量叠加，形成一
个新的角动量，促使杠杆从L 方向转到新的角动量方向。随时间的推移，杠杆就
会做一个顺时针转动的运动；若轮子顺时针转动，同理得到的是杠杆做一个逆时针转动的运动。 图4 物块端上升
如图4所示，假设起始时物块端相对水平时上升，那么此时有
G 1l 1>G 2l 2 （5）
则 M =M 1+M 2=l 1⨯G 1+l 2⨯G 2 （6）
M =m 1gl 1-m 2gl 2 （7）
总力矩M 的方向垂直纸面向外。
d L =Mdt （8）
若陀螺仪顺时针旋转，它将产生一个沿杠杆，从陀螺仪指向支点的一个角动 量L ，此时系统中就存在两个方向不同的角动量。将这两个角动量叠加，形成一
个新的角动量，促使杠杆从L 方向转到新的角动量方向。随时间的推移，杠杆就
会做一个顺时针转动的运动；若轮子逆时针转动，同理得到的是杠杆做一个逆时针转动的运动。
图5 物块端水平
如图5所示，假设起始时物块端与陀螺仪重量一致，那么此时杠杆是水平的
G 1l 1=G 2l 2 （9）
则 M =M 1+M 2=l 1⨯G 1+l 2⨯G 2 （10）
M =m 1gl 1-m 2gl 2=0 （11）
d L =Mdt =0 （12）
所以这种情况下，不管陀螺仪的旋转方向是顺时针还是逆时针，系统的总角动量依旧是 L ，所以随时间的改变杠杆也不会做旋转运动。
4.1.2常平架陀螺仪的稳定状态分析
图
6 常平架陀螺仪简图
在这里本文讨论实验室中常见的常平架陀螺仪简图（如图6所示），当用加速器将陀螺仪的转子加速后，我们发现当转子速度足够大时，不管抓住陀螺仪的外层框架如何的在三维空间中进行移动，中心转子的位置总是保持着一开始离开加速器后的位置。但是当你抓住第二层框架并尝试去旋转它时，可以感受到存在一股“力”阻碍着它发生旋转。若抓着最外层的框架，而此时转子的速度不是很快的情况下，只要外框架在三维空间中进行位置变换，那么也将引起中心转子转轴的位置改变，那么我们可以简单的得到结论，要想在三维空间中三自由度的陀螺仪的中心在外框架位置改变，而旋转中心达到平衡不变的条件是转子必须是高速旋转的[5]。
4.2陀螺仪保持平衡状态的原因
4.2.1杠杆式陀螺仪的进动水平状态原因
通过假设的结论可以看出杠杆不是倾斜着做顺时针或逆时针的旋转，而是杠杆回到水平后开始进行顺时针或逆时针的旋转。这里以第一个假设为例解释该现
象，当陀螺仪未转动时，由于物块的重力和陀螺仪的重力作用产生一个角动量d L ，
在没有其它角动量的情况下，物体会带着杠杆做一个竖直面内的顺时针转动。若
此时陀螺仪逆时针转动，那么陀螺仪将产生的角动量L ，则此时系统中会出两个
角动量，将这两个角动量进行叠加。在一开始时杠杆水平，经过时间dt 后，角动
量变化成L d L ，那么由于L 和d L 以及M 在同一水平面内。本该提供杠杆在竖
直面内做顺时针转动的杠杆的d L ，由于系统中新增加了角动量，它们的合效果最
终导致杠杆在水平面内做顺时针转动而不是竖直面内的运动，这种现象就是旋进，即陀螺仪的进动。若在陀螺仪做旋进运动时，外加一个竖直向下的作用力作用在
重的一端，系统中出现新的力矩，和系统中的力矩作用后合力矩M 增大，所以d L
得到增加，导致合角动量数值增大，最终效果是杠杆的旋转角速度增大。如果该
力作用在轻的一端，系统中出现新的力矩，和系统中的力矩作用后合力矩M 减小，
所以d L 也会减小，效果为杠杆的旋转角速度减小[6]。
前面讲到一个自转刚体，它的自转轴绕着一个定点进行转动，这样的运动状态叫做进动。下面举例说明进动的角速度的变化规律，如图7所示
z
y
r
mg x ∆L L L '
M
图7 理想陀螺仪简图 图8 矢量叠加简图
将之前假设中的杠杆上的质量全部集中到陀螺上，作用在这个陀螺上并且产生力矩的力，唯一只有它的重力。当陀螺没有转动的时候，可以由重力得到一个力矩，方向沿y 的负方向，这个力矩将使陀螺绕y 轴转动。当陀螺开始转动时，会产生一个新的角动量沿x 的负方向，如图8所示，当陀螺本身在转动，又给它再增加一个力矩，这就产生了角动量的变化量。原来的角动量加上角动量的变化量就形成了新的角动量，可以发现新的角动量和原来的角动量都在同一个水平面内，从上往下看的话，是一个逆时针旋转的运动[7]。
从数学式进行分析，陀螺受重力的力矩为
d L M = （13） dt
力矩的大小等于
M=r ⋅mg （14）
由上两式可以得到
dL =rmgdt （15）
L '
d θ L ∆L
图9 直角三角形矢量叠加简图
从另外一个角度来看，如图9所示，角动量的变化量∆L , 经过dt 的时间，陀
螺扫过的角度为d θ，可以知道∆L 垂直于L 。因为∆L 很小，所以可以想象
∆L =Ld θ （16）
联立（15）（16）式子，可以得到
dL =rmgdt =Ld θ （17）
整理式子可以得到
Ω=d θrmg rmg == （18） dt L Iw
这样就得到旋进角速度Ω。由于w 是陀螺的旋转速度，根据上面的式子还可以看出，旋进的角速度Ω随着w 的增大而减小。如果w 减小，那么旋进角速度Ω会增大，最后陀螺就会摔倒。
从上面的式子还可以得到
rmg rmg rg ≅= （19） 22Iw Cmr w Cr w
式子中C 是随不同陀螺改变的一个常数，化简式子后发现旋进的角速度和陀螺的质量没有关系。 [8]
4.2.2常平架陀螺仪的稳定状态原因
要想理解陀螺仪稳定的状态，可以从陀螺仪的进动去分析。4.1.1中讲到当陀螺仪旋转时，若杠杆的左右重量不一致，就会导致陀螺仪产生进动形式的运动。而当左右重量一样时，陀螺仪则平稳的旋转不产生进动。
设想将杠杆的支点移动到陀螺仪的质心上，让另外一端的质量无限的趋于零，在这种情况下杠杆就换成了陀螺仪自己。通过第三个假设的结果，我们可以知道此时陀螺仪很稳定不会产生旋进运动，所以用来判断一个常平架式陀螺仪的精准度，一般是以这个陀螺仪在不受外界力矩干扰时产生旋进的程度来判断的。
一个常平架陀螺仪如果不考虑各个轴之间的摩擦力的作用，以及空气阻力的作用时，那么对于该系统质心而言所受的外力矩的和就为零，所以此时转子的角动量就守恒。若中心的转子开始旋转，让它的支架在三维空间中进行运动的时候，转子可以在陀螺仪中心平稳的转动而与外界的支架运动无关[9]。如图6所示，转子以转子的轴做高速自转运动，若自转轴上增加一个额外的力矩，此时陀螺仪有垂直于该轴而转动的运动趋势，但是最终的情况是陀螺仪的最外层的边框进行转动，最外层边框的轴与前两个轴相互垂直，陀螺仪中的转子与最外层边框的轴发生的转动称之为回转效应[10]，也就上面提到的旋进。根据之前所得到的结论，当遇到外界力矩作用于一个已经稳定的陀螺仪时，将会导致陀螺仪的轴绕另一垂直轴转动速度发生改变，但是由于陀螺仪稳定所以速度不管增加还是减少，都不会导致陀螺仪中的转子发生转动。综上所述，我们就可以知道三自由度陀螺仪在三维空间中即使支架运动的幅度很大，只要转子速度足够的快，那么转子将不会因为支架的运动而运动[11]。
5陀螺仪的实际运用
5.1陀螺仪自古至今的运用
在十九世纪末，陀螺仪开始进入人们的视野并开始在实际生活中得到运用。1875年的贝塞曼利用陀螺仪的动量矩来稳定“贝塞曼”号轮船[1]，不过由于当时技术上的问题，无法将质量不是很大的陀螺仪产生足够的稳定力矩与海浪抬升力矩和轮船侧倾斜力矩相抗衡。在 20世纪初，陀螺罗盘被制造出来并安装在当时的海军舰船上，也就是后来被称为电罗经的东西。 从此陀螺仪的应用开始走进了人们的视野，当时的大多时候都是应用在海上战争，在普通的人们眼中这就是一个在地上原地打转的陀螺玩具。不过经过时间的演变，而科技不会因为时间的推移而后退，所以在我们21世纪许多类型的陀螺仪被制造出来，最常见的还属现在大多数电子设备如手机里的电子陀螺仪，又称角速度传感器，可根据手机的旋转、偏转做出反馈，然后经处理器实现与外界的同步画面动作。目前手机中的光学防抖技术也需要用到陀螺仪来进行辅助，通过检测相机抖动的方向、移动量、速度，然后再由系统计算出需要补偿的移动量，能够有效的实现相机防抖[12]。现在拍动
作电影的时候，一些复杂的地形，要求拍摄的过程中画面稳定不抖动，为了达到这一点，摄像机也装有陀螺仪来进行防抖的处理[13]。在无人航天飞机上也同样装有陀螺仪，用来判断飞行器的飞行路线与翻转角度，同理在跟踪导弹上也装有陀螺仪来确定方向[14]。现在人们在陀螺仪上的运用，不仅仅只是一个小小的陀螺这么简单了。
5.2陀螺仪在未来的设想
既然陀螺仪具有如此好的稳定性，那么我们可以将它运用到更贴近生活的地方，基于这个想法Strollever 概念婴儿车的被设计出来，该婴儿车由于内置了陀螺仪悬架系统，它的车轮装有传感器用来检测路面的起伏情况，在路面不平滑或外力导致车体发生侧倾时，传感器对车身及时调整让躺在里面的婴儿没有晃动感。以及目前在设计当中的永不翻车的摩托车，其中也同样装有陀螺仪稳定装置，让侧翻的摩托车经陀螺仪的反馈后调整姿态不翻倒。
基于对陀螺仪的理解，本人对它的未来做出设想，如今汽车厂商对所设计出来的车辆进行用户体验，为的是让用户在驾驶车辆时能够有很舒适的驾乘体验，在乘车过程中减少震动感是最能够增加舒适感的一项。设想，整个车里的座位都运用陀螺仪的这个平衡原理，即使车在凹凸不平的路面行驶，坐在座位上的人仍然不会感到很强烈的震动感。当车体进行转弯的时候，陀螺仪将会对座位进行缓慢调整，为了保证驾驶位的司机第一时间观察到前方道路的路况，驾驶位将在转弯时恢复与车保持静止状态，也就是失去陀螺仪减震的功能，以提高驾驶安全性。那么具体当转弯多大时，会失去陀螺仪的减震效果，可以根据方向盘的旋转度数进行反馈，这样即使是直线行驶，要进行超车变换车道时驾驶位也能够很平稳。 6结束语 论文主要概述了陀螺仪的分类和作用，以及对陀螺仪平衡问题进行研究。研究过程中，经过理论的推导，利用实验方法解开陀螺仪平衡的问题，并根据力学知识推导出杠杆式陀螺仪的旋进角速度公式，懂得了杠杆式陀螺仪和常平架陀螺仪之间的关系，也知道并学会把陀螺的原理应用到实际生活和科学创造中。经过这次的实验研究，提高了自己的逻辑思维能力，为将来自己在工作上的发展能更好的解决问题奠定了基础。
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