三角形全等与轴对称图形
一．选择题（共 9小题）
1．如图1，已知MN 是△ABC 边AB 的垂直平分线，垂足为F ，AD 是∠CAB 的平分线，且MN 与AD
3．如图3所示，在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB=7cm，AC=3cm，则BE 等于（ ）A 、4cm B 、3cm C 、2cm D 、1cm
5．如图5，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB 为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）
7．如图5，直线l 是一条河，P ，Q 两地相距8千米，P ，Q 两地到l 的距离分别为2千米，5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
二．填空题（共8小题）
10．如图6，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC ，D 为垂足，由以上两个条件可得（写出一个结论即可） 11．如图7，点P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP ≌△BOP
，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）
12．如图8，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AC﹣BD ，则∠B ：∠C 的值是
13．如图9，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= 14．如图10，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格纸中所有与△ABC 成
轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 _________ 个． 15
．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填在下表格中，
AB=m，则△ABD 的面积是m ．
17．如图12，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是．
三．解答题（共7小题）
18．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A 、B 、C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A 、B 、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；
（2）若∠BAC=66°，则∠BPC= _________ 度．
19．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC 的其他边上．请在图①，图②，图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图中标明所画等腰三角形的腰长．（不要求尺规作图）
20．如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．
你所添加的条件为： _________ ；得到的一对全等三角形是△ _________ ≌△ _________ ．
21．近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P ，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P 点的位置．
22．如图，AM=AN，BM=BN．
（1）求证：MP=NP，∠MPA=∠NPA ； （2）若点P 在线段AB 之间，（1）中的结论是否成立？ （3）若点P 在线段AB 的延长线上运动，（1）中的结论是否还成立？
23．画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1，并指出△A 1B 1C 1的顶点坐标．
24．如图，AB ∥CD ，BE 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，点E 在AD 上，BE 的延长线交CD 的延长线于F ．求证：（1）AE=ED；（2）BC=AB+CD．
三角形全等与轴对称图形参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，已知MN 是△ABC 边AB 的垂直平分线，垂足为F ，AD 是∠CAB 的平分线，且MN 与AD 交于O ．连接BO 并延长AC 于E ，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
∴无法判断OE 、OF 是否相等，∴B 错误；∵MN 是边AB 的垂直平分线， ∴AF=BF，OA=OB，∴C 、D 正确．故选B ．
2．如图，EB 交AC 于M ，交FC 于D ，AB 交FC 于N ，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN ≌△ABM ；④CD=DN．其中正确的结论有（ ）
∠BAE ﹣∠BAC=∠CAF ﹣∠BAC ∴∠1=∠2△ABE ≌△ACF ∴∠B=∠C ，AB=AC又∠BAC=∠CAB △ACN ≌△ABM ．④CD=DN不能证明成立，3个结论对．故选B ．
3．如图所示，在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB=7cm，AC=3cm，则BE 等于（
）
解：∵AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠ADC=∠ADE ，∴AE=AC=3，∴BE=AB﹣AE=7﹣3=4（cm ）．故选A ． 4．（2007•盐城）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标
边，向左为正，y 轴是左右正中的线，向上为正方向，所以炮的坐标为（3，2）．故选A ．
5．（2010•贵阳）如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB 为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）
解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，不符合题意； C 、是轴对称图形，符合题意；D 、不是轴对称图形，不符合题意．故选C ．
解：结合定义可得，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 故选D ． 7．（2007•山西）如图，直线l 是一条河，P ，Q 两地相距8千米，P ，Q 两地到l 的距离分别为2
千米，5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
解：使铺设的管道最短，即在直线l 上取一点M ，使PM+QM的值最小．
作点P 关于直线l 的对称点P ′，连接P ′Q ，交直线l 于点M ，点M 即为所求点．
证明：∵P 与P ′关于直线l 对称．∴PM=P′M ∴PM+QM=P′M+QM．根据两点之间线段最短可知M 是P ′Q 与直线l 的交点时，满足条件．错误原因：B 答案所述为连接PM 、MP 时最短的情况，
计算可知P ′Q=而A 中P ′Q=10，故选A ．
B 、符合全等三角形的判定AAS ，能作出唯一直角三角形； C 、符合全等三角形的判定SAS ，能作出唯一直角三角形；
D 、符合全等三角形的判定AAS ，能作出唯一直角三角形；故选A ．
B 、不能确定此角是否为两边的夹角，故选项错误；
C 、一边及这边所对的角对应相等的两个直角三角形不符合HL 判定，故选项错误；
D 、因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了，故选项错误．故选A ． 二．填空题（共8小题） 10．（2005•湘潭）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC ，D 为垂足，由以上两个条件可得
．（写出一个结论即可）
解：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=CD． 11．（2008•双柏县）如图，点P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP ≌△BOP ，则需添加的一个条件是．（只写一个即可，不添加辅助线）
解：已知点P 在∠AOB 的平分线上∴∠AOP=∠BOP ∵OP=OP，OA=OB ∴△AOP=≌△BOP ．故填OA=OB． 12．（2007•十堰）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AC﹣BD ，则∠B ：∠C 的值是．
解：在AC 上截取CE=BD=X，于是AB=AE又∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD=∠EAD 又∵AD=AD∴△ABD ≌△AED ∴∠1=∠B ，DE=BD=CE=X ∴在等腰三角形
DEC
中，∠B=∠1=2∠C ∴∠B ：∠C=2：1或2． 13．（2007•江西）如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=度．
解：∵∠BAD=80°，AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB=50°， 由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°﹣∠ADB=130°，
又∵AD=DC，∴∠C=∠DAC=（180°﹣∠ADC ）=25°，∴∠C=25°．
14．（2007•泰州）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．
解：与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个， 分别为△BCD ，△BFH ，△ADC ，△AEF ，△CGH ．
15．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填在下表格中，
解：对称轴的条数，从左至右依次为3、4、5、6、7、8；
这也就说明是个正几边形就有几条对称轴；故一个正n 边形有n 条对称轴． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，
若CD=4m，AB=m，则△ABD 的面积是 2 m ．
解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∴DE=CD=4m ∴S △ABD =4m=2m．故填2．
17．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是． 31.5 ．
解：作OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，连接OA ，∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC
，
∴
OD=OE=OF，∴S △ABC =S△OBC +S△OAC +S△OAB =×OD ×BC+×OE ×AC+×OF ×AB =×OD ×（BC+AC+AB）=×3×21=31.5．故填31.5．
三．解答题（共7小题） 18．（2007•青岛）青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A 、B 、C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A 、B 、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；
（2）若∠BAC=66°，则∠BPC= 度．
解：（1）如图（3分）
（2）连接点P 和各顶点，以及AC ．∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA ，
同理∠PAC=∠PCA ，∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=66°，∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132°， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°， ∴∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132°．（6分） 19．（2007•长春）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC 的其他边上．请在图①，图②，图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图中标明所画等腰三角形的腰长．（不要求尺规作图）
解：供以下方案供参考（每画对1个得2
分）
20．（2007•河池）如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明． 你所添加的条件为： PA=PB ；得到的一对全等三角形是△ △PAD ≌△ △PBC ．
解：所添加条件为PA=PB，得到的一对全等三角形是△PAD ≌△PBC ；证明：∵PA=PB， ∴∠A=∠B ，又∵AD=BC，∴△PAD ≌△PBC ．故分别填PA=PB，△PAD ，△PBC ． 21．（2007•永州）近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P ，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P 点的位置．
解：（1）画出角平分线；（3分） （2）作出垂直平分线．（3分）交点P 即满足条件． 22．如图，AM=AN，BM=BN．
（1）求证：MP=NP，∠MPA=∠NPA ； （2）若点P 在线段AB 之间，（1）中的结论是否成立？ （3）若点P 在线段AB 的延长线上运动，（1）中的结论是否还成立？
23．画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1，并指出△A 1B 1C 1的顶点坐标．
解：如图
A 1（3，﹣4）；B 1（1，﹣2）；C 1（5，﹣1）．
24．如图，AB ∥CD ，BE 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，点E 在AD 上，BE 的延长线交CD 的延长线于F ．求证：（1）AE=ED；（2）BC=AB+CD．
证明：（1）∵CE 是∠BCD 的平分线，∴∠BCE=∠FCE ，∵AB ∥CD ，∴∠F=∠FBA ，∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABF=∠FBC ，∴∠FBC=∠F ，又CE=CE，∴△FCE ≌△BCE ，∴EF=BE，BC=FC， 又∵∠DEF=∠AEB ，EF=BE，∠F=∠FBA ，∴△AEB ≌△DEF ，∴AE=ED；
（2）∵△AEB ≌△DEF ，∴AB=FD，∴FC=AB+CD，∵BC=FC，∴BC=AB+CD．