《导数及其应用》
【学习目标】 1. 导数概念
通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义. 2. 导数运算
（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数； （2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；
（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数. 3. 体会研究函数的意义
（1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用； （2）会用导数的符号来判断函数的单调性； （3）会利用导数研究函数的极值点和最值点. 4. 导数在实际问题中的应用
（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型； （2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；
（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决. 【要点梳理】
要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：
' (x 0)表示，定义为： 函数y =f (x ) 在x 0点的导数，通常用符号f ‘
要点诠释： （1）
∆y f (x 1)-f (x 0)f (x 0+∆x )-f (x 0)==，它表示当自变量x 从x 0变x 1，函数值从f (x 0)变到f (x 1)时，
∆x x 1-x 0∆x
函数值关于x 的平均变化率. 当∆x 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数
y =f (x ) 在x 0点的导数.
（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间t 1到t 2的平均变化率即为t 1到t 2这段时间的平均速度． 导数的几何意义：
f ‘' (x 0)表示曲线y =f (x ) 在x =x 0处的切线的斜率，即
f ‘' (x 0)=tan α（α为切线的倾斜角）
要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
导数的物理意义：
在物理学中，如果物体运动的规律是s =s (t )，那么该物体在时刻t 0的瞬时速度v 就是s =s (t )在t =t 0时的导数，即v =s ' (t 0)；
如果物体运动的速度随时间变化的规律是v =v (t )，那么物体在时刻t 0的瞬时加速度a 就是v =v (t )在
t =t 0时的导数，即a =v ' (t 0)．
要点诠释：f '(x 0) 表示函数f (x ) 在x 0处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度θ(t )对时间t 的变化率；瞬时电流是电量Q (t )对时间t 的变化率；瞬时功率是功W (t )对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量Φ(t )对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 基本初等函数的导数
要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数
要点诠释：
（1）一个推广：(u 1±u 2± ±u n )' =u ' 1±u ' 2± ±u ' n ． （2）两个特例：(cu )' =cu ' （c 为常数）；⎢
复合函数的导数
设函数u =ϕ(x ) 在点x 处可导，u ' x =ϕ'(x ) ，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处也可导y ' u =f '(u ) ，则复合函数y =f [ϕ(x )]在点x 处可导，并且y ' x =y ' u ⋅u ' x ，或写作f ' x [ϕ(x )]=f '(u ) ⋅ϕ'(x ) ． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性
设函数y =f (x ) 在区间（a ，b ）内可导，
（1）如果恒有f '(x ) >0，则函数f (x ) 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有f '(x )
（1）在区间(a , b ) 内，f '(x ) >0（或f '(x )
（2）只有当在某区间上有有限个点使f '(x ) =0时，f '(x ) ≥0（或f '(x ) ≤0）≡f (x ) 在该区间内是单调递增（或减）.
利用导数研究可导函数的极值
求函数y =f (x ) 在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f '(x ) ；
⎡1⎤1' ⋅g (x ) -1⋅g '(x ) g '(x )
' ==-(g (x ) ≠0) ． ⎥22
g (x ) g (x ) ⎣g (x ) ⎦
③求方程f '(x ) =0的根；
④检查f '(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：
①注意极值与极值点的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ．．．．．②可导函数f (x ) 在点x 0取得极值的充要条件是f '(x 0) =0
，
且在x 0两侧f '(x ) 的符号相异。
③可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 即f '(x 0) =0是可导函数
f (x ) 在点x 0取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x，在x=0处，f '(0)=0，但x=0不是函数的极值
点.
利用函数研究可导函数的最值
若函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]有定义，在开区间(a , b ) 内有导数，则求函数y =f (x ) 在[a , b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数②求方程
f (x ) 在(a , b ) 内的导数f '(x ) ； f '(x ) =0在(a , b ) 内的根；
f '(x ) =0的的点的函数值和f (x ) 在闭区间端点处的函数值f (a ) ，f (b )
3
③求在(a , b ) 内所有使；
比较上面所求的值，其中最大者为函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]上的最大值，最小者为函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]上的最小值. 要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若
f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
【典型例题】
类型一：导数的概念与公式的应用 例1. 求下列各函数的导数：
e x +1（1）y =(x -3)(x +1)；（2）y =x ；（3）y =tan x ；（4
）y =e 12
【变式1
】计算函数y =
的导数.
【变式2
】函数y =cos2x + ）
A. －2sin2x +
cos x 2x
B.2sin2x +
cos x 2x
C. －2sin2x +
sin x 2x
D.2sin2x －
cos x 2x
例2. 一个作直线运动的物体，其位移s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系是：s (t )=3t （1）求此物体的初速度；（2）求此物体在1 s时的瞬时速度；（3）求0 s～2 s的平均速度.
t 2.
【变式】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果第x h时，原油的温度（单位：︒C ）为化率，并说明它们的意义.
f (x )=x 2 7x +15(0揶x 8). 计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变
类型二：导数的简单应用 例3. 已知函数
f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .
(1) 当a =0时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【变式1】已知函数y =x 3-3x ，过点（A 0，16）作曲线y =f (x ) 的切线，求此切线方程．
【变式2】函数y =
ln x
x
的最大值为 (
)
例4. 设函数f (x ) =ax 3+bx +1在x =1处取得极值-1.
(Ⅰ) 求a 、b 的值； (Ⅱ) 求f (x ) 的单调区间.
【变式1】设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ，求f (x ) 的极值和单调增区间.
【变式2】若a >0，b >0，且函数
f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于(A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
【变式3】已知函数f (x ) =ax 4ln x +bx 4-c (x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数. （1）试确定a,b 的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间并求极值；
类型三：分类讨论思想在导数中的应用 例5. 已知函数f (x )= ln(1+x ) -x +k 2
x 2
(k ≥0)，求f (x )的单调区间.
)
【变式1】设函数f (x ) =-x (x -a ) 2（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当a =1时，求曲线y =f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程； （Ⅱ）当a ≠0时，求函数f (x ) 的极大值和极小值.
【变式2】已知函数f (x ) =ax -ln x (a 为常数). （Ⅰ）当a =1时，求函数f (x ) 的单调区间； （Ⅱ）求函数f (x ) 在[1, +∞)上的最值.
类型四： 转化与化归思想在导数中的应用
【变式1】已知函数f (x ) =的取值范围.
2
+a ln x -2 (a >0) . 若对于∀x ∈(0,+∞) 都有f (x ) >2(a -1) 成立，试求a x
【变式2】已知函数f (x ) =x ln x , g (x ) =
类型五：数形结合思想在导数中的应用 例7. 求函数
x 2
-．证明：对任意m , n ∈(0,+∞) ，都有f (m ) ≥g (n ) 成立． x e e
3ax ＋2＝0何时有三个不同的实根？何f (x )＝x 3－3ax ＋2的极值，并说明关于x 的方程x 3－
时有唯一的实根(其中a>0)？
【变式1】设函数(1)求函数
f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R .
f (x )
的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程
f (x )＝a
有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．
【变式2】直线y ＝a 与函数y ＝x －3x 的图像有三个相异的交点，则a 的取值范围是________．
3
【巩固练习】
一、选择题
1．函数y ＝f (x ) 在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )
A ．等于0
C ．小于0 B ．大于0 D ．以上都有可能
4上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） x e +1
ππππ3π3π] (D) [, π) (A)[0,) (B)[, ) （C ） (, 422444
3. f (x ) =x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是（ ） 2． 已知点P 在曲线y =
A -2 B 0 C 2 D 4
324．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x ) ＝4x －ax －2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) ．
A ．2 B．3 C．6 D．9
135．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元) 与年产量x (单位：万件) 的函数关系式为y ＝－x ＋81x －234，3
则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A ．13万件
C ．9万件
4 B ．11万件 D ．7万件 6．曲线f (x ) =2x 上的点到直线y =-x -1的距离的最小值为( )
B.
C.
23
7．已知f (x ) ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )
A ．有最大值15 2
15 2B ．有最大值－
C ．有最小值15 2
15 2D ．有最小值－
二、填空题
8．函数f (x ) =x 的单调递减区间是． ln x
39．曲线f (x ) =x +x -3在p 0处的切线平行于直线y =4x -1，则p 0点的坐标为_ _____．
3210. 函数f (x ) =x -3a x +a （a >0）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围。
三、解答题
12．设函数f (x ) =ax 3+bx +1在x =1处取得极值-1.
(Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 求f (x ) 的单调区间.
13. 设函数f (x )=sin x -cos x +x +1，0
2，求函数f (x )的单调区间与极值。
14. 已知函数f (x ) =-x 3+ax 2+bx +c 图象上的点P (1,f (1))处的切线方程为y =-3x +1.
⑴若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
⑵若函数f (x ) 在区间[-2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围.
315．已知函数f (x )=ax -32x +1(x ∈R ) ，其中a>0. 2
（Ⅰ）若a=1，求曲线y =）处的切线方程； f (x )在点（2，f （2）
（Ⅱ）若在区间⎢-
⎡11⎤, ⎥上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围. 22⎦⎣
《推理与证明》
【学习目标】
1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；
2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；
3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；
4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点；
5. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
【要点梳理】
要点一：有关推理概念
归纳推理：
又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．
类比推理：
又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的
“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．
演绎推理：
又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．
要点诠释：
演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．
三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M 都是P ；小前提：S 是M ；结论：S 是P ．
要点二：有关证明方法
综合法
综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是p ⇒q ，那么证明步骤用符号表示为p (已知) ⇒p 1⇒p 2⇒p 3⇒„⇒q ．
分析法
分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q (结论) ⇐p n ⇐„⇐p 3⇐p 2⇐p 1⇐p (已知) ．
间接证法
间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．
反证法证题步骤为：
(1) 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2) 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．
(3) 由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．
反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：
①导出非p 为真，即与原命题的条件矛盾．
②导出q 为真，即与假设“非q 为真”矛盾．
③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．
数学归纳法
数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题时，常采用的一种方法，它是一种完全归纳法，其步骤为：
第一步：证明n 取第一个值n 0时命题成立．
第二步：假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N +) 时命题成立，证明n ＝k+1时命题成立．
第三步：下结论，命题对从n 0开始的所有自然数n 都成立．
要点诠释：
（1）用数学归纳法证明与自然数n 有关的命题时，如果证明恒等式或不等式应特别注意项及项数的变化规律；证明几何命题时，要特别注意从n ＝k 到n ＝k+1的几何图形中几何元素的变化规律；证明整除性命题时，要特别注意凑配项的变形技巧；证明与奇、偶数有关的命题要注意过渡时的特点，如一个命题对所有奇数n 成立，应假设n ＝2k -1时命题成立，推证n ＝2k+1时命题成立或假设n ＝k (k 为奇数) 时命题成立，推证n ＝k+2时命题成立．
（2）“归纳一猜想—证明”的论题，要特别关注项的构成规律，作出合理的猜想后再证明．
【典型例题】
类型一：合情推理与演绎推理
例1. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①________________________________；
充要条件②________________________________．
(写出你认为正确的两个充要条件)
【变式1】在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE AC ，把这个结论类比EB CB
到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示) ，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．
【变式2】将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示：
根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3) 行从左至右第3个数是________．
例2. 在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=4a n -3n +1，n ∈N +．
(1) 证明数列{a n -n }是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ；
(3) 证明不等式S n +1≤4S n ，对任意n ∈N +皆成立．
【变式】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )
A ．南 B ．北 C ．西 D ．下
类型二：直接证明与间接证明
例3. 设a ＞0，b ＞0，a+b＝1，求证：
【变式】设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
例4. 设二次函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a 、b 、c 都为整数，已知f (0)、f (1)均为奇数，求证：方程f (x ) ＝0无整数根．
111++≥8． a b ab
【变式1】用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )
A 2是有理数B ．假设3是有理数C ．假设23是有理数D 23是有理数
【变式2】已知a 、b ∈R ，|a |+|b |＜1，求证：方程x +ax +b =0的两根的绝对值都小于1．
类型三：数学归纳法
例5. 已知△ABC 的三边长为有理数．
(1) 求证：cos A是有理数；(2) 求证：对任意正整数n ，cos nA是有理数．
【变式1】用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2) „(n ＋n ) ＝2n ·1·3·„·(2n －1)(n ∈N *) ，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式是( )
A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C. 22k +12k +3 D. k +1k +1
【变式2】求证： 1115++ +>(n ≥2, n ∈N *) . n +1n +23n 6
【巩固练习】
一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )
A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件
2．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程a +bx +c =0(a ≠0) 有有理数根，那么，AC 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是 ( )
A ．假设a 、b 、c 都是偶数
B ．假设a 、b 、c 都不是偶数
C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数
D ．假设a 、b 、c 中至多有两个是偶数
3．用数学归纳法证2>n (n ∈N +且n ≥5) 时，应当首先验证( )
A ．2＞1 B ．24＞42 C ．23＞32 D ．25＞52
4．黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：
n 22
则第n 个图案中有白色地砖 ( )
A ．4n -2块 B ．4n+2块 C ．3n+3块 D ．3n -3块
5．《论语²学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是 ( )
A ．类比推理 B ．归纳推理 C ．演绎推理 D ．一次三段论
6．用数学归纳法证明“5-2能被3整除”的第二步中，n ＝k+1时，为了使用假设，应将5
形为( )
n n k +1-2k +1变
A ．(5k -2k ) +4⨯5k -2k B ．5(5k -2k ) +3⨯2k
C ．(5-2)(5k -2k ) D ．2(5k -2k ) -3⨯5k
7．下面几种推理是合情推理的是 ( )
(1) 由圆的性质类比出球的有关性质；
(2) 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
(3) 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
(4) 三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n -2) ²180°．
A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(1)(2)(4) D ．(2)(4)
二、填空题
8．观察下列式子：
131151117
19．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S =r (a +b +c ) ，根据类比思想，2 1+
若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________．
10．用数学归纳法证明11111+++>-„时，假设n ＝k 时结论成立，则当n ＝k+1时，应2232(n +1) 22n +2
推证的目标不等式是________．
11．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等，如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
(1) 自反性：对于任意a ∈A ，都有a ～a ；
(2) 对称性：对于a ，b ∈A ，若a ～b ，则有b ～a ；
(3) 传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a ～b ，b ～c ，则有a ～c ．
则称“～”是集合A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立) ，请你再列出三个等价关系：
三、解答题
12．若a ＞6
13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．
求证：1
a +b +13
b +c =a +b +c ．
14．用反证法证明：已知a 与b
15．已知数列{a a n +1+a n -1
n }中，a 2=6且a =n ．
n +1-a n +1
(1) 求a 1，a 3，a 4； (2) 由a 1，a 2，a 3，a 4的值归纳出{a n }的通项公式，并证明．
《数系的扩充与复数》
【学习目标】
1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程；
2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件；
3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；
4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.
【要点梳理】
要点一：复数的基本知识
21、虚数单位i ，规定它的平方等于-1，即i =-1.
i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2、形如a +bi （a , b ∈R ）的数叫做复数，记作：z =a +bi （a , b ∈R ）；
当b=0时，z 是实数a ；当b ≠0时，z 叫做虚数；当a=0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数.
3、两个复数相等的充要条件：若a , b , c , d ∈R ，则a +bi =c +di ⇔⎨
4、复数的几何意义： ⎧a =c . ⎩b =d
→复平面内的点Z (a , b ) ←−−−→平面向量 复数z =a +bi ←−−−一一对应一一对应 Z =a +b i （a , b ∈R ），则向量的长度叫做复数z =a +bi 的模，记作|a +bi |.
5、复数的模：设O
即|z |=|OZ |=0.
要点诠释：（1）i 的周期性：如果n ∈N ，则有：i 4n =1，i 4n +1=i ，i 4n +2=-1，i 4n +3=-i ；
（2）复数z =a +bi 的共轭复数，记为z =a -bi ；
22（3）z ⋅z =(a +bi ) ⋅(a -bi ) =a +b =z . 2
要点二：复数的运算
设z 1=a +bi ，z 2=c +di （a , b , c , d ∈R ），则：z 1+z 2=(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i z 2-z 1=(c -a ) +(d -b ) i z 1⋅z 2=(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i
z 1a +bi (a +bi )(c -di ) ac +bd bc -ad ====2+i z 2c +di (c +di )(c -di ) c +d 2c 2+d 2
要点诠释：（1）设ω
＝-
∈N +) 等；
（2）复数求解计算时，要灵活利用i 、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i 、ω的计算问题． 比如(1±i ) =±2i ；21131+ω+ω2=0=ω2，ω3n =1，ω3n +1=ω(n 则ω=1，ω2=，±，ω21+i 1-i =i ；=-i ； 1-i 1+i
（3）作复数除法运算时，有如下技巧：
【典型例题】
类型一：复数的概念及运算
例1. 化简下列式子： a +bi (a +bi ) i (a +bi ) i ===i ． b -ai (b -ai ) i a +bi
⎛⎫（1
； （2
+ ⎪⎪1-i ⎝⎭42010 ．
【变式1】i 是虚数单位，计算i +i +i = ( ) A ．-l B ．1 C ．-i D ．i 23
i (2+i ) 等于 ( ) A．i B ．-i C ．1 D ．-1 1-2i
2【变式3】已知复数z =1+i ，则-z =________· z 【变式2】复数
例2. 已知z 1=a -3+(a +5) i ，z 2=a -1+(a +2a -1) i (a ∈R ) 分别对应向量OZ 1，OZ 2（O 为原22
点），若向量Z 2Z 1所对应的复数为纯虚数，求a 的值．
【变式1】设z 2=z 1-iz 1(其中z 1表示z 1的共轭复数) ，已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为________．
1+2i =1+i ，则( ) a +bi
3113A ．a =，b = B ．a ＝3，b ＝l C ．＝a =，b = D ．a ＝1，b ＝3 2222【变式2】 设a ，b 为实数，若复数
类型二：复数的几何意义
例3. 已知复数z 1=1+2i ，z 2=-2+i ，z 3=-1-2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【变式】如图，在复平面上，平行四边形OABC 的三个顶点O,A,C 对应的复数分别为0，4-3i ，1+2i，求顶点B 对应的复数。
(1+i ) 3(a +bi ) 例4. 复数z =且|z |=4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的1-i
三个顶点，求实数a ，b 的值．
【变式1】复数z =i 在复平面上对应的点位于( ) 1+i
z 的点是(
) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【变式2】若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1+i
A ．E B ．F C ．G D ．H
类型三：复数与方程
例5. 已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根，求p ，q. （
A ．p ＝-4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝-5 D ．p ＝-4，q ＝-5
【变式】在复数集中解方程x 2+x +1=0.
例6. 已知Z ∈C ，解方程z z -3iz =1+3i ．
）
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016 张掖校级模拟）若复数a 2-1+（a-1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A. ±1 B. -1 C. 0 D. 1
(1+i ) 2
2．复数等于( ) 1-i
A ．1-i B ．1+i C ．-1+i D ．-1-i
3．复数z 1=3-i ，z 2=1+i 则z =z 1 z 2在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．已知复数z 与(z+2) 2-8i 均是纯虚数，则z 等于( )
A ．2i B ．-2i C ．i D ．-i
5．已知m =1-ni ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m+ni＝ ( ) 1+i
A ．1+2i B ．1-2i C ．2+i D ．2-i
6. （2016 怀化模拟）设复数z 的共轭复数z ，若（2+i）z=3-i，则z ²z 的值为（ ）
A. 1 B.
C. 2 D. 4
7．如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i，-2+i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(
)
A ．3+i B ．3-i C ．1-3i D ．-l+3i
二、填空题
8．在复平面内，已知复数z =x -i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是________．
9．关于x 的不等式mx 2-nx +p >0(m ，n ，p ∈R ) 的解集为(-l ，2) ，则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第_______象限．
10．设x ，y 为实数，且
n 13x y 5+=，则x+y＝________． 1-i 1-2i 1-3i n ⎛1+i ⎫⎛1-i ⎫11．设f (n ) = ⎪+ ⎪(n ∈N +) ，则集合{x |x =f (n )}中的元素是________． ⎝1-i ⎭⎝1+i ⎭
三、解答题
12．设复数z =(a +a -2) +(a -7a +6) i ，其中a ∈R ，当a 取何值时，(1) z ∈R ；(2) z 是纯虚数；(3) z 是零?
22
(1+i ) 2+3(1-i ) 213．设复数z =，若z +az +b =1+i ，求实数a 、b 的值． 2+i
⎛⎫+ 14
⎪⎪1+i ⎝⎭
320422