矩阵及其运算
矩阵的线性运算；矩阵的转置（对称矩阵；反对称矩阵）；方阵的行列式 矩阵运算注意事项：
利用运算定义和运算律进行运算.
注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.
（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变. （ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.
（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A (BC ) =(AB ) C . （ⅴ）A , B 分别是m 创n , n
s 矩阵，则(AB ) =B A .
T
T
T
（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别. （ⅶ）A , B 都是n 阶方阵时，如果AB =E ，必有B A =E ，当然有A B =B A
分块矩阵及其运算的注意事项
1. 利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便. 分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；
2. 第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即A ik 列数必须等于B kj 的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；
3. 由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换. 即上面的A ik B kj 绝对不能写成B kj A ik .
4. 分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.
可逆矩阵
定义：设A 是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的一个逆矩阵.
唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一.
伴随矩阵的性质
*
设A 是n 阶方阵，A 是A 的伴随矩阵，则AA =A A =A E .
**
A =
(a ij ) n 矩阵的伴随阵A *=
(A ji ) 具有如下性质：
1）AA *=A *A =A E , 特别地A 可逆时A ìïn ïn -1ïï
2）A *=A ；3）r (A *) =í1
ïï0ïïî
-1
=
1A
A *
r (A ) =n r (A ) =n -1r (A )
4）(A ) =A
**
n -2
A （其中A 是n 阶方阵，n >2）
注意 A *的第i (i =1, 2, , n ) 列元素是A 的第i (i =1, 2, , n ) 行元素在A 的代数余子式； 求法：设A =(a ij )
, 称由以A 的第i (i =1, 2 , , n 行) 元素在A 中的代数余子式
*
n ⨯n
A ij (j =1, 2, , n ) 为第i 列元素构成的矩阵A =A ji
()
n ⨯n
为A 的伴随矩阵.
初等变换与初等矩阵
1. 设A 是m ⨯n 矩阵，A 左（右）乘一个m 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换.
2. A 与B 等价当且仅当存在可逆矩阵P 与可逆矩阵Q ，使得A =PBQ . 3. n 阶方阵A 可逆当且仅当A 可以写成一些初等矩阵的乘积.
逆矩阵的求法：1. 求可逆矩阵的逆矩阵：A -1=
矩阵求逆或理论证明）；
1A
A （用于阶数较低的具体给定的数字
*
2. 利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A 的逆矩阵：即 找到n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，则A 可逆，且A
-1
=B .
3. 用初等行变换求矩阵方程AX =B (A 可逆) 的求法：
(A
B E )−−−−(→
初等行变换
-1
A B X =A )，则
-1
B 即可求得.
矩阵的秩
1. 设A 是一个m ⨯n 矩阵，如果A 中存在r 阶子式不为零，而所有r +1阶子式（如果有的话）全为零，我们称r 为矩阵A 的秩，记为R (A ) 或秩(A ). 2. 矩阵的秩具有如下性质： （ⅰ）R (A ) =0当且仅当A =O ； （ⅱ）R (A ) =R (A ) ；
T
（ⅲ）n 阶方阵A 的秩R (A ) =n 的充分必要条件A ≠0； 即n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为R (A ) =n .
矩阵秩的运算性质：
1. R
(A +B )≤R (A )+
R (B )
2. R
(AB )≤
m in {R (A ), R (B ) }
3. R (kA ) =R (A ) ，其中k 为非零数； 4. 初等变换不改变矩阵的秩.
5. 矩阵P ，Q 可逆，则R (PAQ )=R (A ).
6. 设A 是秩为r 的m ⨯n 矩阵，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q , 使得
⎛E r
P A Q =
⎝O
O ⎫⎪. O ⎭
常用方法
1. 求矩阵A 的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A 的秩. 2. 如果A 是n 阶方阵，A ≠0时R (A ) =n .
求元素含有参数的方阵A 的秩时，先求出A ≠0时的参数取值，此时R (A ) =n ； 对于使A =0的参数再特别讨论.
矩阵基础部分习题
矩阵乘法运算
⎛a 1b 1
a 2b 1 1. A =
⎝a n b 1
a 1b 2a 2b 2 a n b 2
a 1b n ⎫
⎪a 2b n
⎪，求A n ⎪
⎪a n b n ⎭
⎛λ
2. A =
⎝
1
λ
⎫⎪
1，求A n ⎪λ⎪⎭
⎛1 0
3. A =
0 ⎝0
0200
0011
0⎫⎪0
⎪，求与矩阵A 乘积可交换的矩阵具有的形式； 0⎪⎪1⎭
⎛a 11
4. 设实矩阵A =a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32a 13⎫
⎪T
a 23, 且A A =O , 证明A =O ；
⎪a 33⎪⎭
5．A , B 分别是m 创n , n m 矩阵，证明trAB =trBA .
伴随矩阵
1. A 是3阶方阵, B 是2阶方阵, 且A =-2, B =1，则
，且(A
2A O
O -3B
= ；2A
*
= .
2. A ÎR 解：A
*
3´3*
)
*
=16, det A >0, 求det (-2A )
)
*
=A
*
2
=
(A )
2
2
=16, det A =2, det (-2A ) =(-2) 3det A =-16
-1
3. 设A 是n 阶方阵，A =3, A *是A 的伴随矩阵，则2A
-A
*
=
4. 设A , B 均为2阶方阵，A *, B *分别为A , B 的伴随矩阵，若A =3, B =2
⎛O ⎝B
A ⎫
⎪的伴随矩阵为（ ） O ⎭
*3A ⎫
⎪；B. O ⎪⎭
则
⎛O
A ．
2B *⎝⎛O 3B *⎝
*2A ⎫
⎪ ；C. O ⎪⎭
⎛O
3A *⎝
*2B ⎫
⎪ ；D. O ⎪⎭
⎛O
2A *⎝
*3B ⎫
⎪ O ⎪⎭
⎛1
5. 设A 是n 阶方阵， A =
⎝0
11
1⎫⎪
⎪，求A 的所以代数余子式之和. 1⎪⎪1⎭
方阵与行列式
⎛A B A B +3E =O A =-9A B 1. 已知，都是3阶方阵, 且，, 求及
⎝O
⎛2
2. 设矩阵A =
⎝-1
O ⎫⎪2B ⎭
-1
.
1⎫
⎪，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足B A =B +2E ，求B . 2⎭
-1
3. A =
(a ij ) n 可逆，且A , A
所以元素都是整数，证明：A =1或-1
解：由于行列式是取自不同行、不同列元素乘积的代数和，且A , A -1所以元素都是整数，所以A , A -1
都是整数，又AA -
1
=A A
-1
=1, 所以A =1或-1
矩阵的逆与矩阵方程
1. A 是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A 可逆，证明：A -1也是行等和矩阵. 骣珑骣珑1鼢骣1
证明：设A 的行和为a ，则A 珑1鼢骣1
珑珑1珑珑M 鼢鼢鼢鼢珑鼢珑鼢=a M , (a 0) ，所以A -珑珑珑M 鼢鼢=a -1M 桫1鼢鼢桫
1珑鼢， 珑鼢桫1鼢鼢桫
1即A -1是行等和矩阵.
2. A , B 都为n 阶方阵，且A +B =AB
骣ç1-30÷
1) 证明：A -E 可逆；2）证明：A B =B A ；3）如果B =çççç210÷÷÷ç÷，求A ç桫
00
2÷÷÷
证明：1）由A +B =AB 有A -(A -E ) B =O ，所以A -E -(A -E ) B =-E , 即(A -E ) (B -E ) =E , 所以A -E 可逆，且(A -E ) -1=B -E 2）由(A -E ) (B -E ) =E ，有(B -E ) (A -E ) =E ， 所以(A -E ) (B -E ) =(B -E ) (A -E ) ，即有A B =B A
骣珑100鼢骣-30-1
3）由(A -E )
-1
=B -E 有A =E +(B -E )
-1
=珑珑珑珑010鼢0
鼢鼢
珑鼢珑鼢+200桫
00
1鼢鼢桫0
1
骣
珑11珑0骣鼢ç1
00珑珑20鼢骣
鼢鼢1鼢鼢20=çç÷çç010÷÷珑÷珑10鼢鼢鼢1ç÷鼢ç÷+珑珑-0鼢=-10 桫
00
1÷
珑÷珑珑3珑鼢珑珑珑00
1鼢3鼢鼢珑鼢桫
鼢00
2
鼢桫
骣çç2
1-2-1÷
ç3. 已知A =çç0-121÷÷÷ç÷ççç0021÷÷÷, B =(A -E ) -1(A +E ), 求(B -E ) -1 ç÷ç桫
00
03÷÷÷
解：由B =(A -E ) -1
(A +E ), 有(A -E ) B =(A +E ), AB -B -A =E ,
A (B -E ) -(B -E ) =2E , 所以(A -E ) (B -E ) =2E , (B -E )
-1
=
12
(A -E )
4. 方阵A 满足A 2+2A -3E =O 求证：A +4E 可逆，并求其逆；
证明：由于A 2+2A -3E =O ，有(A +4E )(A -2E ) =-5E ，所以A +4E 可逆，其逆为(A +4E )
-1
=-
15
(A -2E ) .
5. A , B , A +B 均为n 阶可逆矩阵，求证A -1+B -1也可逆，并求其逆 证明：A (A -1+B -1
) B =B +A , 所以(A
1
-1
+B
-1
) =
A
-1
(B +A ) B -1，
所以A -1+B -1可逆，且(A -1+B -)
-1
=B (B +A )
3
-1
A .
6. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A =0，则（ ） A ．E -A 不可逆，E +A 不可逆；B. E -A 不可逆，E +A 可逆； C. E -A 可逆，E +A 可逆; D. E -A 可逆，E +A 不可逆 7. A =0，求(E -A )
⎛1 3
8. 设A -1XA =6A +XA , 其中A =0
0 ⎝
0140
⎫0⎪⎪
0⎪，求X . ⎪⎪1⎪⎪7⎭
k
-1
⎛1
9. 设A = 0
0⎝
0-20
0⎫⎪
0，且满足A *X A =2X A -8E , 求X ⎪1⎪⎭
矩阵的初等变换
1. 已知A =(a ij )
3´3
可逆，将A 的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍
得到B , 求B -1A 骣1
珑珑
解：B =A 珑珑珑珑珑桫
骣1
鼢鼢鼢鼢-2鼢鼢鼢1鼢桫
骣1
珑珑=珑-2珑珑珑珑桫
骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢
1鼢桫
-1
-1
-1
15
1
1
， B
-1
115
1
A ，
骣1珑珑-1
B A =珑-2珑珑珑珑桫
1
骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢
1鼢桫
-1-1
15
1
骣1珑珑=珑2珑珑珑珑桫
1
骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢
1鼢桫
1-5
骣1
= 2 1桫
1-5
1
.
2．设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得⎛1
10⎫C ，记P =
10⎪
⎪，则 ⎝
00
1⎪⎭
（A ）C =P -1AP . （C ）C =P T AP .
（B ）C =PAP -1.
（D ）C =PAP T . 】
【