一阶线性微分方程组

第4章一阶线性微分方程组

一内容提要

1．基本概念

一阶微分方程组：形如

dy1

dxf1(x,y1,y2,,yn)

dy2f(x,y,y,,y)212n

（3.1）的方程组，dx

  

dynf(x,y,y,,y)

n12ndx

（其中y1,y2,,yn是关于x的未知函数）叫做一阶微分方程组。

若存在一组函数y1(x),y2(x),,yn(x)使得在[a,b]上有恒等式

dyi(x)

fi(x,y1(x),y2(x),,yn(x))(i1,2,,n)dx

成立，则

y1(x),y2(x),,yn(x)称为一阶微分方程组(3.1)的一个解

含有n任意常数C1,C2,,Cn的解

y11(x,C1,C2,,Cn)y(x,C,C,,C)2212n



 yn3(x,C1,C2,,Cn)

称为(3.1)通解。如果通解满方程组

1(x,y1,y2,,yn,C1,C2,,Cn)0(x,y,y,,y,C,C,,C)0212n12n



 n(x,y1,y2,,yn,C1,C2,,Cn)0

则称这个方程组为（3.1）的通积分。

满足初始条件y1(x0)y10,y2(x0)y20,,yn(x0)yn0,的解，叫做初值问题的解。

令n维向量函数

f1(x,y1,y2,,yn)y1(x)

f(x,y,y,,y)y(x)

12n2，F（x，Y）=2

Y(x)=

    

y(x)f(x,y,y,,y)12nnn

dy1xf(x)dxdx1x0xdy2xdY(x)f(x)dxdx，F(x)x02 x0dx  xdynfn(x)dxx0dx

则（3.1）可记成向量形式

F(x,Y), (3.2) dx

初始条件可记为

y10y20

Y(x0)=Y0,其中Y0

 yno

则初值问题为:

dY

F(x,Y)

(3.3) dx

Y(x0)Y0

dy1

dxa11(x)y1a12(x)y2a1n(x)f1(x)

dy2a(x)ya(x)ya(x)f(x)2112222n2

一阶线性微分方程组:形如dx (3.4)

  

dyna(x)ya(x)ya(x)f(x)

n11n122nnndx

的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.

令

f1(x)

a(x)  a(x)111nf(x)

2   A(x)=及F(x)= 

an1(x)  ann(x)

f(x)n

则(3.4)的向量形式:

A(x)YF(x) (3.5) dxdY

A(x)Y (3.6) F(x)0 时 dx

称为一阶线性齐次方程组,

(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。

a11 a12  a1na a  a21222n

在（3．5）式A(x)的每一个元素都为常数即A(x)A ，

  a a  annn1n2

AYF(x) (3.7) dx

叫做常系数线性非齐次微分方程组.

AY (3.8) dx

叫做常系数线性齐次微分方程组.

2．一阶线性微分方程组的通解结构.

定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组

A(x)YF(x)中的A(x)及F(x)在区间I=a,b上连续，则对于a,b上任一点x0以dx

A(x)YF(x)的满足初始条件的解在a,b上存在且唯及任意给定的Y0，方程组 dx

一。

1)向量函数线性相关性及其判别法则

定义：设Y1(x),Y2(x),Ym(x)是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数C1,C2,,Cm,使得C1Y1(x)C2Y2(x)CmYm(x)0恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。判别法则：①定义法

②朗斯基（Wronski）行列式判别法：对于列向量组成的行列式

y11(x)  y1n(x)

 W(x) 

yn1(x)  ynn(x)

通常把它称为n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x),Yn(x)的朗斯基（Wronski）行列式。定理1 如果n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x),Yn(x)在区间I线性相关，则们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在I上恒等于零。

逆定理未必成立。

如：

x22x

Y1(x) Y 2 ( x)

00

朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零，但它们却是线性无关。

定理2 如果n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x),Yn(x)的朗斯基（Wronski）行列式即W(x0)0,则向量函数组Y1(x),Y2(x),Yn(x)W(x)在区间I上某一点x0处不等于零，在区间I线性无关。

逆定理未必成立。同前例。

但如果Y1(x),Y2(x),Yn(x)是一阶线性齐次微分方程组两定理及其逆定理均成立。即

定理3 一阶线性齐次微分方程组

A(x)Y的解，则上述dx

A(x)Y的解Y1(x),Y2(x),Yn(x)是线性无dx

关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在区间I上任一点x0处不等于零；解Y1(x),Y2(x),Yn(x)是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在区间I上任一点x0处恒等于零

2).基本解组及其有关结论

A(x)Y的n个线性无关解称为它的基本解组 dxdY

A(x)Y的解Y1(x),Y2(x),Yn(x)是一个基本判别：一阶线性齐次微分方程组dx

定义：一阶线性齐次微分方程组

解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式W(x)在区间I上任一点x0处不等于零。

结论：①一阶线性齐次微分方程组 ②基本解组有无穷多个。 3）一阶线性齐次微分方程组

A(x)Y必存在基本解组。 dx

A(x)Y通解的结构 dx

A(x)Y的基本解dx

定理：如果Y1(x),Y2(x),Yn(x)是线性齐次微分方程组

组，则其线性组合Y(x)C1Y1(x)C2Y2(x)CnYn(x)是线性齐次微分方程组

A(x)Y的通解。 dx

A(x)Y的解的全体构成一n维线性空间。 dx

A(x)Y的解，则dx

结论：线性齐次微分方程组

4）解与系数的关系，即刘维尔公式

定理：如果Y1(x),Y2(x),Yn(x)是线性齐次微分方程组

这n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组

A(x)Y的系数的关系是： dx

W(x)W(x0)e

a11(t)a22(t)ann(t)dt

此式称为刘维尔（Liouville）公式.

由此公式可以看出n个解的朗斯基行列式W(x)或者恒为零，或者恒不为零

a

k1

(x)称为矩阵A(x)的迹。记作trA(x)。

一阶线性非齐次方程组的通解结构

A(x)YF(x)的通解等于对应的齐dx

dYdY

A(x)Y 的通解与A(x)YF(x)的一个特解之和。即次微分方程组 dxdx

dY~

AYF(x)的通解为Y(x)C1Y1(x)C2Y2(x)CnYn(x)Y(x) dx

A(x)Y的通其中C1Y1(x)C2Y2(x)CnYn(x)为对应的齐次微分方程组dx

dY~

A(x)YF(x)的一个特解。解，Y(x)是dx

A(x)Y的一个求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组dx

定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组基本解组Y1(x),Y2(x),Yn(x)构成基本解矩阵

y11(x)  y1n(x)

   (x)  yn1(x)  ynn(x)

齐次微分方程组

A(x)Y的通解为 dx

C1C2

Y(x)(X)C 其中C

 Cn

AYF(x)的通解为线性非齐次方程组dx

Y(x)(x)C(x)1(t)F(t)dt。

结论：线性非齐次方程组

A(x)YF(x)解的全体并不构成n+1维线性空间。 dx

3．常系数线性微分方程组的解法

常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）

① 求特征根：即特征方程式

a12  a1n a11

 a a  a 21222n0 det(A-E)     a a  an2nnn1

的解。

②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）

常系数线性非齐次微分方程组的解法：

①求相应的齐次微分方程组的基本解组； ② 用待定系数法求特解。（详略）

二．典型例题及解题方法简介

（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。

例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：

d2ydy

p(x)q(x)y0 dxdx

解：令yy1,dy

y2则 dx

dy1d2y1dy2dy2

y2 ,2,p(x)y2q(x)y10 dxdxdxdx

∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：

dy1

y2

dx



dy2p(x)yq(x)y

21dx

例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：

d2x

y0dt2



t3dy2x0dt

解：令xx1 ,dx

x2 ,yx3,则有 dt

dx1dydx3

x2 , dtdtdt

∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：

dx1

dtx2dx2

x3 dt

dx32x1dtt3

（一）

一般线性微分方程组的求解问题

对于一般线性齐次微分方程组

A(x)Y ，如何求出基本解组，至今尚无一般dx

方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。

消元法（化方程组为单个方程的方法）例3 求解方程组

dxtxytdt



tdy2xytdt

解：有前一个方程解出y并求导，有 y

xdx

 tdt

dyx1dxd2x2 dttdtdt2t

代入后一方程化简得

d2x

0 t2

假定t0,则有d2xdt20，积分得

xC1C2t

y

C xdxC1C2t

C22C21tdttt

原方程组的通解为 

xC1C2t,

(t0)

yC12C2

常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单

常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。

例4 解方程组

dx

y1dt



dyx1dt

解：由前一方程得yx1 yx代入后一方程，得常系数二阶线性方程 xx10

其通解为

xC1eC2e

t

1

t

从而 yx1C1eC2e所以通解为

1

tt

xC1eC2e1



tt

yC1eC2e1

例5解方程组

x3x8y

yx3y

x(0)6, y(0)2

解：由第二式得x3yy

 x3yy代入第一式得yy0 从而可求得 yC1etC2et 代入x3yy得 x4C1et2C2et 将t0代入上述两式得解得 C1C21 所以原方程组的解为

ttx4e2e

tt

yee

64C12C2

2C1C2

（三）常系数线性齐次微分方程组虽然一般线性齐次微分方程组但是常系数线性齐次微分方程组

AY的通解问题 dx

A(x)Y ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法，dx

AY通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，dx

根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。

在此我们介绍一种通用的方法——待定系数法

步骤：①解特征方程式

a12  a1n a11

 a a  a 21222n0，得特征根； det(A-E)     a a  an2nnn1

②根据根的重数，求出对应于每一个根的解式设λ是线性齐次微分方程组方程组

AY是k重根（单根为k=1），则线性齐次微分dx

AY对应λ的解式为 dx

x1(C11C12tC1ktk1)etk1tx2(C21C22tC2kt)e



 

x(CCtCtk1)et

n1n2nkn

其中Cij(i1,2,,n,j1,2,,k)为待定常数，将此解式代入

AY中，比dx

较两端同类项的系数，得一关于Cij的线性代数方程组，解之即可定出Cij。

③ 把对应于每一个根的解式相加，即可得到

AY的通解。 dx

例6 （均为单根的情形，教材170页例3.5.1）解方程组

x3xyz

yx5yz

zxy3z

解：特征方程为

3 1 1

5 1 1

1 1 3

即311236360

解之得特征根12,23,36（均为一重）

12时令待定解为x11e2t,y11e2t,z11e2t代入原方程组，化简得

1110

1310 0

111

解得11,10，若1C1为任意常数，1C1 对应于12的解式为：

x1C1e2t

y10

2tz1C1e

同理对应于23的解式为：

x2C2e3t

3t y2C2e

3tzCe22

对应于36的解式为：

x3C3e6t

6t y32C3e

6tzCe33

xC1e2tC2e3tC3e6t

3t6t通解为： yC2e2C3e

2t3t6tzCeCeCe123

例7 （特征方程有复根的情形）解方程组：

xx5y y2xy

解：特征方程为

 5 =0 2 1

即2901,23i都是单根象例6可得对应13i的特解：

x15e,y1(13i)e

因为原题是实系数的方程组，所以

x215e

是23i的特解

且Rex1,Rey1及Imx1,Imy1为原题的实线性无关解。（注：若zabi则记Rez=a,Imz=b）

所以复通解为

3it3itx5C1e5C2e 3it3ity(13i)C1e(13i)C2e3it3it3it,y21(13i)e3it

实通解为：

x5C1cos3t5C2sin3t YC(cos3t3sin3t)C(sin3t3cos3t)12

例8 （特征方程有重根的情形）解方程组

x2xy y4yx

解：特征方程为2 1

1 4=0

即2690;解得λ=3是两重根即k=2

对应的待定解式为

3tx(11t)e 3ty(22t)e

代入原方程并比较两边的同次幂的系数，得

311212342221 31212

32421

解得，211, 2

令1C1 1C2 得

通解为

3tx(C1C2t)e 3ty(C1C2C2t)e1。

dYAYF(x)的通解问题 dx

dYAYF(x)的通解等于对应的常系数齐次微分根据常系数线性非齐次方程组dx

dYdYdYAY 的通解与AYF(x)的一个特解之和。即 AYF(x)方程组 dxdxdx

~的通解为Y(x)C1Y1(x)C2Y2(x)CnYn(x)+Y(x) （四）常系数线性非齐次微分方程组

其中C1Y1(x)C2Y2(x)CnYn(x)为对应的齐次微分方程组

面已经介绍了对应的齐次微分方程组

出一个特解即可。

例9解方程组

dYAY的通解。前dxdYAY的通解问题，只须用拉格朗日常数变易法求dxx2x3y5t

y3x2y8et

解：特征方程为

2 3 =2450 3 2

特征根为15,21

易于求得对应的对应的齐次微分方程组的通解为

5ttxC1eC2e  5ttyC1eC2e

根据拉格朗日常数变易法，令原方程组的特解为

5tt~xC1(t)eC2(t)e  5tt~yC1(t)eC2(t)e

代入原方程组得

5t(t)et5tC1(t)eC2  5ttt(t)e8eC1(t)eC2

解之得

55t4tC(t)te4e12  5C(t)tet4e2t

22

积分得

115t4tc(t)(t)ee1210  55C(t)(t)et2e2t

222

5tt~xC1(t)eC2(t)e代入  5tt~yC1(t)eC2(t)e

即得一个特解

13~tx2t3e5  12~y3tet5

所以，已知方程组的通解为

135ttx(t)CeCe2t3et

125 

y(t)Ce5tCet3t12et

125

说明：本章的理论相对来说不难理解，但在求解时非常繁琐，所以在求通解时要特别仔细，在实际解题时我们也只能求解未知函数个数较少的常系数线性微分方程组，两个或三个的情形。根据教学大纲的要求，本章的重点是：含有两个未知函数的常系数线性微分方程组且特征根是单根情形的通解。

一阶线性微分方程组

相关内容

热门内容