竞赛辅导----三面角

三面角的余弦定理

一、三面角的余弦定理及其推论

定理：设三面角V-ABC的三个面角分别为、、，它们所对的二面角分别是A、B、C，则

cosA

cosB

cosCcoscoscossinsincoscoscossinsincoscoscos

sinsin

推论：直二面角MABN，若AC面M，AD面N，CAB1,

DAB2,AC和AD所成的角为，则coscos1cos2

二、三面角的余弦定理的应用

例1：（ 92年高考）如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值

例2：（ 98年高考）如图4，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。 例3：（ 05年全国联赛）如图，E、F为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，求平面CEB1和D1FB1平面所成的二面角的大小。

三、练习

1、平行六面体的各面都是全等的菱形，并且有一个三面角的各面角都是60°，各条棱长都是a，求这个平行六面体的体积。

2、（97上海联赛）已知直角三角形ABC的两直角边AC=2，CB=3，CP为ACB的平分线（点P在斜边AB上），沿CP将三角形ABC折成一个二面角ACPB,当AB22时，求二面角ACPB的大小。

3、（98全国联赛）如图，设E、F、G分别为正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，求二面角CFGE的大小。

4、（04全国联赛）正方体ABCD—A1B1C1D1中，求二面角ABD1A1的大小。

5、（02湖南奥赛） E、F为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，求二面角BFB1E。