数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲
线
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数且此常数
一定要大于
，当常数等于
时，轨迹是线段FF，当常数小于
，且此常数
，
时，无轨迹；
双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数的“绝对值”与
＜|FF|不可忽视。若
一定要小于|FF|，定义中
﹥
＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若
|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：
①已知定点 A． C． ②方程
表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
D．
（答：C）；
B．
，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点
及抛物线
上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时
（
）
（参数方程，其中为参数），
焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，
且A，B，C同号，A≠B）。比如：
①已知方程 ②若
，且
表示椭圆，则的取值范围为____（答：）；
，则的最大值是____，的最小值是___（答：）
（2）双曲线：焦点在
轴上： =1
，焦点在
轴上：＝1
（
）。方程
表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：
①
双曲线的离心率等于
，且与椭圆
有公共焦点，则该双曲线的方程_______
（答：
）；
②设中心在坐标原点方程为_______（答：
（3）抛物线：开口向右时开口向下时
。
，开口向左时
，开口向上时
，
，焦点
）
、
在坐标轴上，离心率
的双曲线C过点
，则C的
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由
,
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
（2）双曲线：由
,
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、
双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数
，确定椭圆、双曲
线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，
，在双曲线中，最大，
。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以
（
）为例）：①范围：
，一个对称中心（0,0），四个顶点
；②焦点：两个焦点
，其中长轴
；③对称性：两条对称轴
长为2，短轴长为
2；④准线：两条准线椭圆越圆；越大，椭圆越扁。比如：
①若椭圆
的离心率
，则
； ⑤离心率：
，椭圆，越小，
的值是__（答：3或）；
②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）
（2）双曲线
（以
焦点为2
（
）为例）：①范围：
或
；②焦点：两个，其中实轴长
；③对称性：两条对称轴，虚轴长为
2
，一个对称中心（0,0），两个顶点
，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
；④准线：两条准线； ⑤离心率：，
双曲线，
等轴双曲线，
越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：
。比如：
①双曲线的渐近线方程是 ②双曲线
的离心率为
，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；
，则= （答：4或）；
③
设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈
[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是
________（答：
（3）抛物线
（以
）；
为例）：①范围：；②焦点：一个焦点
，其中的
几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
④准线：一条准线
如设 5
、点
和椭圆
； ⑤离心率：
，抛物线。
，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；
（）的关系：（1
）点
在椭圆外；
（2）点
在椭圆上＝1；（3）点
在椭圆内
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：
直线与椭圆相交；
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有
是直线与双曲线
，
，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故相交的充分条件，但不是必要条件；
直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有
当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相
交的充分条件，但不是必要条件。比如：
①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：
(-
,-1)）；
②直线y―kx―1=0与椭圆+∞））；
恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，
③
过双曲线条（答：3）；
（2）相切：
（3）相离：
的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____
直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。
特别提醒：
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
（2）过双曲线
＝1外一点
的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两
条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如：
①过点
②过点(0,2)
与双曲线
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
（答：
作直线与抛物线
只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
）；
③过双曲线条（答：3）；
④对于抛物线C：物线的内部，则直线：
，我们称满足
的点
在抛物线的内部，若点
在抛
的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若
4，则满足条件的直线有____
与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；
⑤过抛物线
的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、
，则
_______（答：1）；
⑥
设双曲线
，则
和
的右焦点为
，右准线为，设某直线
交其左支、右支和右准线分别于
的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；
⑦求椭圆 ⑧直线
上的点到直线的最短距离（答：）；
与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支
上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①；②）；
7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径
①已知椭圆
②已知抛物线方程为____；
③若该抛物线上的点
④点P在椭圆
上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______到焦点的距离是4，则点
的坐标为_____（答：
）；
，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：
）；
，其中表示P到与F所对应的准线的距离。比如：
（答：
）；
⑤抛物线2）；
上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：
⑥椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则
点M的坐标为_______（答：）
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
到两焦点
的距离分别为
，焦点
的面积
为，则在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为
＝
；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc
；对于双曲线
的焦点三角形有：①
①短轴长为
，离心率
；②。比如：
的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，
则
的周长为________（答：6）；
②设P是等轴双曲线
则该双曲线的方程为 （答：
右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
）；
，|PF1|=6，
③双曲线的虚轴长为4，离心率e＝于A、B两点，且
是
与
，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交
＝__________（答：
）；
等差中项，则
④已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求
该双曲线的标准方程（答：）；
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，
且分别为A、B的横坐标，则
＝
，则
，若＝
分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB
所在直线方程设为
。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用
弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：
①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；
②过抛物线
焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心
的横坐标为_______（答：3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦
所在直线的斜率k=比如：
①
如果椭圆
）；
；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
（答：
②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－
2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：
③试确定m
的取值范围，使得椭圆
）；
上有不同的两点关于直线
对称（答：
）；
特别提醒：因为务必别忘了检验
！
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，
12．你了解下列结论吗？
（1）双曲线
的渐近线方程为；
（2）以
为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。
如与双曲线
有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：）
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为物线的通径为
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物
线
的焦点弦为AB
，
，焦准距为
；
，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛
，则
①；
②
（7）若OA、OB是过抛物线
13．动点轨迹方程：
顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立
之间的关系
；
如已知动点P到定点F(1,0)和直线或
）；
的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件
确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）
，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称
）；
轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
如(1)由动点P
向圆为 （答：点M的轨迹方程是_______ （答：
作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程
）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线）；(3) 一动圆与两圆⊙M：
和⊙N：
的距离小于1，则
都
外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点用
的代数式表示
如动点P是抛物线
上任一点，定点为
,点M分
所成的比为2，则M的轨迹方程为__________
依赖于另一动点，再将
的变化而变化，并且
又在某已知曲线上，则可先
代入已知曲线得要求的轨迹方程；
（答：
）；
⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量
（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点求点
的轨迹。（答：
）；（2）若点
在圆
上运动，则点
，使
，
的轨迹方
程是____（答：
点M的轨迹方程是________（答：
）；（3）过抛物线
）；
的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆点，满足
的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动
点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（1）设为点P的横坐标，证明
轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=
；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.
（答：（1）略；（2）
；（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2）
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量 （2）给出 （3）给出 （4）给出
（5） 给出以下情形之一：
①
,等于已知
；②存在实
数三点共线.
；③若存在实
数
或；
与相交,等于已知过的中点;
,等于已知是的中点;
,等于已知与的中点三点共线;
（6） 给出
（7）
给出是钝角, 给出
，等于已知是的定比分点，为定比，即
,
等于已知
,等于已知
,
即是直角,
给出
是锐角。
,
等于已知
（8）给出
（9）在平行四边形
（10） 在平行四边形
（11）在 （12） 在
点）；
中，给出中，给出
,等于已知是的平分线/
中，给出，等于已知是菱形;
中，给出，等于已知是矩形;
，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是
三角形三边垂直平分线的交点）；
，等于已知
是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交
（13
）在
中，给出
，等于已知
是的垂心（三角形的垂心
是三角形三条高的交点）；
（14）在
（15
）在
中，给出等于已知通过的内心；
中，给出
等于已知
是的内心（三角形内切圆的圆
心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在
中，给出,等于已知是中边的中线