习题二
2-1 已知y=f(x)的数值如下： (1)
x y
(2)
x y
解： (1)L 3(x ) =
+
(x -x 1)(x -x 2)(x -x 3) (x 0-x 1)(x 0-x 2)(x 0-x 3)
f (x 2) +
f (x 0) +
(x -x 0)(x -x 2)(x -x 3) (x 1-x 0)(x 1-x 2)(x 1-x 3)
f (x 3)
f (x 1)
0 2 -2 15
1 3 -1 4
2 12 0 5
3 147 1 24
求Lagrange 插值多项式并写出截断误差。
(x -x 0)(x -x 1)(x -x 3) (x 2-x 0)(x 2-x 1)(x 2-x 3)
(x -x 0)(x -x 1)(x -x 2) (x 3-x 0)(x 3-x 1)(x 3-x 2)
⨯147
=
(x -1)(x -2)(x -5)
(-1)(-2)(-5)
3
2
⨯2+
x (x -2)(x -5) (1-2)(1-5)
⨯3+
x (x -1)(x -5) 2(2-1)(2-5)
⨯12+
x (x -1)(x -2) 5(5-1)(5-2)
=x +x
-x +2
R 3(x ) =
124
x (x -1)(x -2)(x -5) f
(4)
(ξ),
0
(x -x 0)(x -x 2)(x -x 3) (x 1-x 0)(x 1-x 2)(x 1-x 3)
f (x 3)
f (x 1)
(2)L 3(x ) =
+
(x -x 1)(x -x 2)(x -x 3) (x 0-x 1)(x 0-x 2)(x 0-x 3)
f (x 2) +
f (x 0) +
(x -x 0)(x -x 1)(x -x 3) (x 2-x 0)(x 2-x 1)(x 2-x 3) (x +1) x (x -1) (-2+1)(-2)(-2-1)
3
2
(x -x 0)(x -x 1)(x -x 2) (x 3-x 0)(x 3-x 1)(x 3-x 2)
⨯4+
2(-1)
⨯5+
(x +2)(x +1) x (1+2)(1+1)
⨯24
=⨯15+
(x +2) x (x -1) (-1+2)(-1)(-1-1)
(x +2)(x +1)(x -1)
=x +9x +9x +5
2
R 3(x ) =
124
(x +2)(x -1) xf
(4)
(ξ),
-2
2-2 已知函数lnx 的如下数据
x y
8
10
12
14
2.07944 2.30259 2.48491 2.63906
试分别用Lagrange 线性插值和二次插值计算ln(11.85)的近似值，并估计它的截断误差。 解：线性插值公式：L 1(x ) =当x=11.85时，
L 1(11. 85) =R 1(x ) =
12x
2
x -x 1x 0-x 1
f (x 0) +
x -x 0x 1-x 0
f (x 1)
x -1210-12
⨯2. 30259+
x -1012-10
⨯2. 48491=2. 47124
-3
(11. 85-10)(11. 85-12) ≤1. 3875⨯10
二次插值：
L 2(x ) =
(x -x 1)(x -x 2) (x 0-x 1)(x 0-x 2)
0. 15⨯2. 15
2⨯4
f (x 0) +
(x -x 0)(x -x 2) (x 1-x 0)(x 1-x 2)
⨯2. 48491+
f (x 1) +
(x -x 0)(x -x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)
⨯2. 63906=2. 47221
-4
f (x 2)
=⨯2. 30259+
13x
3
1. 85(-2. 15) 2⨯(-2)
1. 85(-0. 15)
4⨯2
误差估计：
R 2(x ) ≤
⨯(11. 85-10)(11. 85-12)(11. 85-14) ≤1. 98875⨯10
。
2-3 设x 0, x 1, , x n 为任意给定的n+1个互不相同的节点，证明：
(1) 若f(x)为不高于n 次的多项式，则f(x)关于这组节点的n 次插值多项式就是它自己。 (2) 若l i (x ) (i =0, 1, , n ) 是关于这组节点的Lagrange 基函数，则有恒等式
n
∑x
i =1n
k i
l i (x ) ≡x ,
k
k
k =0, 1, , n k =0, 1, , n
∑l
i =1
i
(x )(x i -x ) ≡0,
证明：
(1)R (x ) =f (x ) -P n (x ) =
f
(n +1)
(ξ)
(n +1)!
w n +1(x )
因为f(x)是n 次多项式，所以它的n+1阶导数为零。故f(x)关于这组节点的n 次插值多项式就是它自己。 (2) 取f (x ) =x k ,
k =0, 1, , n ，在x 0, x 1, , x n 处进行n 次拉格朗日插值，则有
n
x
k
=P n (x ) +R n (x ) =
∑
i =0
l i (x ) ⨯
k x i
+
f
(n +1)
(ξ)
(n +1)!
w n +1(x )
n
由于f
(n +1)
(ξ) =0，故有
∑x
j =0
k j
l j (x ) ≡x ,
k
k =0, 1, , n 。
(3) 将(x j -x ) 按二项式展开，得 (x j -x ) =
⎛ (x j -x ) l j (x ) =则
j =0j =0⎝
n
n
k
i
k
k
k
∑(-1)
i =0
k -i
C k x j x
i i k -i
，
∑
k
∑∑(-1)
i =0
C x
i
k k -i j
⎫
x ⎪l j (x ) =⎪⎭
i
k n
i
∑(-1)
i =0
C x
i k
i
∑x
j =0
k -i j l j
(x )
由上题的结论得：
k
k
i
=
∑(-1)
i =0
C x x
i k
i k -i
=x
k
∑(-1)
i =0
i
C k =0。
i
2-4 已知函数表
x y
0.1 0.9950
0.2 0.9801
0.4 0.9211
0.6 0.8253
0.9 0.6216
试构造四次Newton 插值多项式，计算cos0.47的近似值并估计截断误差。
解：
P 4(x)=0.9950-0.149(x-0.1)-0.4867(x-0.1)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)
+0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) (x-0.6)
当x=0.47时，P 4(x)= 0.8916
R 2(x ) ≤
sin(0. 9)
5! 15!
⨯(0. 47-0. 1)(0. 47-0. 2)(0. 47-0. 4)(0. 47-0. 6)(0. 47-0. 9) ≤2. 5517⨯10
-6
-6
。
R 2(x ) ≤
⨯(0. 47-0. 1)(0. 47-0. 2)(0. 47-0. 4)(0. 47-0. 6)(0. 47-0. 9) ≤3. 2576⨯10
2-5 在区间[-4,4]上给出f(x)=ex 在等距节点下的函数表，若用二次插值求e x 的近似值，要使截断误差不超过10-6，问所用函数表的步长应怎样选取？ 解：在区间[xi-1,x i ]上，记x =x 误差
R 2i (x ) =
e
ξ
12
+
h 2
i -
s
3!
[(x -x i -1))(x -x
-2
i -
12
)(x -x i )]≤
e
4
3!
⨯
h
3
8
[s (s -1)(s +1)]≤
324⨯9
e h
43
≤10
-6
则用二次插值的步长应：⇒h ≤0. 6585⨯10-2
⇒h ≤1. 317⨯10
2-6 对区间[a,b]作步长为h 的剖分，且f (x ) ≤M , 做线性插值，其误差限为R 1(x ) ≤证明：区间上的误差限：
误差限：
R 1i (x ) ≤
x ∈[a , b ]，证明：在任意相邻两节点间
18
Mh 。
x -x i x -x i +1
≤
M 8h ,
2
2
f '(ξ) 2
x ∈[x i , x i +1]
R 1(x ) ≤max R 1i (x ) =
M 8
h ,
2
i =0, 1, , n
2-7 设f (x ) =x 7-125x 5+237x 3-999, 计算差商f [20, 21], f [20, 21, , 27]及f [20, 21, , 28]. 解：
f [2, 2]=-2089， f (2, 2, 2, , 2) =
1
2
7
1
f
(7)
(ξ)
7!
=1，
f (2, 2, 2, , 2) =
0128
f
(8)
(ξ)
8!
=0。
2-8 设f (x ) 在[a , b ]有三阶导数，x 0, x 1∈[a , b ]，证明：当x ∈[a , b ]
f (x ) =-
(x -x 1)(x -2x 0+x 1)
(x 1-x 0) 16
2
2
f (x 0) +
(x -x 0)(x -x 1)
x 0-x 1
f ' (x 0) +
(x -x 0)
22
(x 1-x 0)
f (x 1)
+
(x -x 0) (x -x 1) f ' ' ' (ξ),
ξ∈(a , b )
证明：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件：
建立差商表：
则由newton f (x 1) -f (x 0)
f (x ) =f (x 0) +f ' (x 0)(x -x 0) +
x 1-x 0
x 1-x 0
-f ' (x 0)
(x -x 0) +R (x )
2
整理得：
f (x ) =-
(x -x 1)(x -2x 0+x 1)
(x 1-x 0)
2
f (x 0) +
(x -x 0)(x -x 1)
x 0-x 1
f ' (x 0) +
(x -x 0)
22
(x 1-x 0)
f (x 1) +R (x )
其中R(x)由以下计算得到： 构造辅助函数： ϕ(t ) =
f (t ) -N 2(t ) -
(t -x 0) (t -x 1) (x -x 0) (x -x 1)
22
(f (x ) -N 2(x ))
ϕ(x ) 有x 0, x , x 1三个零点，ϕ' (x ) 有x 0, ξ1, ξ2三个零点，则ϕ' ' ' (x )
至少有一个零点，记作ξ。
则
ϕ' ' ' (ξ) =f ' ' ' (ξ) -
3!
(x -x 0) (x -x 1)
2
(f (x ) -N 2(x )) =0⇒R (x ) =
f ' ' ' (ξ) 3!
(x -x 0) (x -x 1)
2
。
2-9 用下列函数值表构造不超过3次的插值多项式，并建立误差估计式。
x f(x) f ’(x)
解：
建立差商表：
0 1
1 2 3
2 9
则由newton 插值公式可得：
P (x ) =1+x +2⨯x (x -1) +x (x -1)
2
=1+x
2
3
。 。
误差估计式：R (x ) =
f
(4)
(ξ)
4!
x (x -1) (x -2)
2-10 求满足下列条件的Hermite 插值多项式
x i y i y ’i
解：H 2
=11[2(1+2
x -11
)(x -2) +3(1-2
2
1 2 1
2
2 3 -1
2
2
x -21
)(x -1) +(x -1)(x -2) -(x -1) (x -2)]
=-2x 3+8x 2+3x +5
2-11 求一个不高于4次的插值多项式P 4(x)，使得
p (0) =p ' (0) =0, p (1) =p ' (1) =1, p (2) =1。
建立差商表：
则由2
2
P (x ) =1⨯(x -0) -1⨯(x -0) (x -1) +0. 25⨯(x -0) (x -1) =0. 25x
224
-1. 5x +2. 25x 。
32
2-12 根据下表建立三次样条插值函数
x f(x) f ’1(x)
解：λ1=
12
12
1 2 1
2 4
3 2 -1
, μ1=
1
, g 1=3(λ1f [x 0, x 1]+μ1f [x 1, x 2])=0
12
m 2=0⇒m 1=0
列方程：m 0+2m 1+
2
则三次样条插值函数为：
S 1(x ) =[1+2(x -x 0) ](x -x 1) y 0+[1-2(x -x 1) ](x -x 0) y 1+(x -x 0)(x -x 1) m 0+(x -x 0) (x -x 1) m 1
2
2
2
2
=8-16x+13x2-3x 3，
2
x ∈[1, 2]
。
2
2
2
S 2(x ) =[1+2(x -x 1) ](x -x 2) y 1+[1-2(x -x 2) ](x -x 1) y 2+(x -x 1)(x -x 2) m 1+(x -x 1) (x -x 2) m 2
=-40+56x-23x+3x， 2-13 已知y=f(x)的如下数值
x y
0 -8
23
x ∈[2, 3]。
1 -7
2 0
3 19
4 56
求三次样条插值函数S(x)，满足边界条件
(1) S ’(0)=0，S ’(4)=48 (2) S ”(0)=0，S ”(4)=24
解：用三转角算法计算：
(1)λ1
=
h 2h 1+h 2
h 3h 2+h 3
h 4h 3+h 4
=
121212
, μ1=, μ2=, μ3=
12212
121212
, g 1=3(λ1f [x 0, x 1]+μ1f [x 1, x 2])=12 , g 2=3(λ2f [x 1, x 2]+μ2f [x 2, x 3])=39 , g 3=3(λ3f [x 2, x 3]+μ3f [x 3, x 4])=84
λ2=λ3=
=
=
⎡⎢2⎢1
列方程组：⎢
⎢2⎢0⎢⎣
⎡m 1⎤⎡12⎤⎧m 1=31⎥⎢⎪⎥⎢⎥
⎥m 2=39⇒⎨m 2=12
⎥⎢⎥2⎥⎢⎪m =27⎢⎥⎢⎥⎩3⎥⎣m 3⎦⎣60⎦
2⎥⎦
⎤0⎥
则三次样条插值函数为：
S 1(x ) =[1+2(x -x 0) ](x -x 1) y 0+[1-2(x -x 1) ](x -x 0) y 1+(x -x 0)(x -x 1) m 0+(x -x 0) (x -x 1) m 1
2
2
2
2
=x3-8，
x ∈[0, 1]。
2
2
2
2
S 2(x ) =[1+2(x -x 1) ](x -x 2) y 1+[1-2(x -x 2) ](x -x 1) y 2+(x -x 1)(x -x 2) m 1+(x -x 1) (x -x 2) m 2
=x3-8，
x ∈[1, 2]。
2
2
2
2
S 3(x ) =[1+2(x -x 2) ](x -x 3) y 2+[1-2(x -x 3) ](x -x 2) y 3+(x -x 2)(x -x 3) m 2+(x -x 2) (x -x 3) m 3
=x3-8，
x ∈[2, 3]。
2
2
2
2
S 4(x ) =[1+2(x -x 3) ](x -x 4) y 3+[1-2(x -x 4) ](x -x 3) y 4+(x -x 3)(x -x 4) m 3+(x -x 3) (x -x 4) m 4
=x3-8，
(2)
x ∈[3, 4]。
g 0=3f [x 0, x 1]-g 4=3f [x 3, x 4]+
h 12h 42
''=3y 0
''=123y 4
⎡2⎢1⎢2⎢
列方程组：⎢0
⎢⎢0⎢⎢0⎣
121200
0122120
001221
0⎤
⎥⎡m ⎤⎡3⎤⎧m 0=00⎥⎢0⎥⎪⎢⎥
m 1m =312⎥⎢⎥⎢⎪1⎥
⎪
0⎥⎢m 2⎥=⎢39⎥⇒⎨m 2=12⎥⎢⎥⎢⎥⎪m =271⎥⎢m 3⎥⎢84⎥⎪3
⎢123⎥⎪m 4⎥2⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎩m 4=48⎥2⎦
则三次样条插值函数为：
S 1(x ) =[1+2(x -x 0) ](x -x 1) y 0+[1-2(x -x 1) ](x -x 0) y 1+(x -x 0)(x -x 1) m 0+(x -x 0) (x -x 1) m 1
2
2
2
2
=x3-8，
x ∈[0, 1]。
2
2
2
2
S 2(x ) =[1+2(x -x 1) ](x -x 2) y 1+[1-2(x -x 2) ](x -x 1) y 2+(x -x 1)(x -x 2) m 1+(x -x 1) (x -x 2) m 2
=x3-8，
x ∈[1, 2]。
2
2
2
2
S 3(x ) =[1+2(x -x 2) ](x -x 3) y 2+[1-2(x -x 3) ](x -x 2) y 3+(x -x 2)(x -x 3) m 2+(x -x 2) (x -x 3) m 3
=x-8，
3
x ∈[2, 3]。
2
2
2
2
S 4(x ) =[1+2(x -x 3) ](x -x 4) y 3+[1-2(x -x 4) ](x -x 3) y 4+(x -x 3)(x -x 4) m 3+(x -x 3) (x -x 4) m 4
=x-8，
3
x ∈[3, 4]。
用三弯矩算法计算： (1) λ1
λ2=λ3=
=
h 1h 1+h 2
=12
, μ1=
1212
, g 1=6f [x 0, x 1, x 2]=18 , g 2=6f [x 1, x 2, x 3]=36
h 2h 2+h 3
h 3h 3+h 4
=
1212
, μ2=, μ3=
=
12
, g 3=6f [x 2, x 3, x 4]=54
'-f [x 3, x 4]y 4
h 4
=66
g 0=6
'f [x 0, x 1]-y 0
h 1
=6，g 4=6
⎡2
⎢1⎢2⎢
列方程组：⎢0
⎢⎢0⎢⎢0⎣
121200
0122120
001221
0⎤
⎥⎡M ⎤⎡6⎤⎧M 00⎥⎢0⎥⎪⎢⎥
M 1M 18⎥⎢⎥⎢⎥⎪1
⎪
0⎥⎢M 2⎥=⎢36⎥⇒⎨M 2⎥⎢⎥⎢⎥⎪M 1⎥⎢M 3⎥⎢54⎥⎪3
⎥⎢⎥⎪2⎥⎢⎣M 4⎦⎣66⎦⎩M 4
⎥2⎦
=0=6=12=18=24
(2) 列方程组：
⎡
⎢2⎢1⎢⎢2⎢0⎢⎣
12212
⎡M 1⎤⎡18⎤⎧M 1=61⎥⎢⎪⎥⎢⎥
⎥M 2=36⇒⎨M 2=12
⎥⎢⎥2⎥⎢⎪M =18⎢M ⎦⎢⎣42⎥⎦⎩3⎥⎣3⎥
2⎥⎦
⎤0⎥
第三章 最佳逼近
3-1 求下列函数在指定区间上得一次最佳平方逼近多项式并估计平方误差 (1)
f (x ) =
x
，x ∈[0, 1]
解： 设p 1(x ) =c 0+c 1x 法方程组为：⎢
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0) ⎤⎡c 0⎤⎡(f , ϕ0) ⎤
⎥⎢⎥=⎢⎥
(ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) 0111⎣⎦⎣c 1⎦⎣(f , ϕ1) ⎦
基函数为：ϕ0=1，ϕ1=x ，得到：(ϕ0, ϕ0) =
(f , ϕ0) =
f =x
⎰0
1
1
dx =1，(ϕ0, ϕ1) =
23
⎰0
1
xdx =
1
3
12
，(ϕ1, ϕ1) =
25
⎰0
1
x dx =
2
13
，
⎰0
x dx =
，(f , ϕ1) =
⎰0
x 2dx =
。
12⎧
c +c =01⎪⎪23
于是法方程组为：⎨
⎪1c +1c =2
01⎪35⎩2
解之得：c 0=
415
，c 1=
45
。
415+45x 。
所以，最佳平方逼近一次多项式为：p 1(x ) =误差估计： 由误差估计式：δ
2
=f -p 1(x )
22
=f
22
-(f , p 1) =
⎰0
1
1
f (x ) dx -
2
∑⎰0f (x ) ϕi (x ) dx
c i
i =0
1
=
⎰0
1
xdx -
23
c 0-
25
c 1=2. 22⨯10
-3
。
(2) f (x ) =
1x
，x ∈[1, 3]
解： 设p 1(x ) =c 0+c 1x 法方程组为：⎢
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0) ⎤⎡c 0⎤⎡(f , ϕ0) ⎤
⎥⎢⎥=⎢⎥
(ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) 11⎦⎣c 1⎦⎣(f , ϕ1) ⎦⎣01
基函数为：ϕ0=1，ϕ1=x ，f =
3
1x
3
得到：(ϕ0, ϕ0) =⎰dx =2，(ϕ0, ϕ1) =⎰xdx =4，(ϕ1, ϕ1) =
1
1
⎰1
3
x dx =
2
263
，
(f , ϕ0) =
⎰1
3
1x
dx =ln 3，(f , ϕ1) =
⎰1dx =2。
3
⎧2c 0+4c 1=ln 3
⎪
于是法方程组为：⎨26
4c +c 1=20⎪
3⎩
解之得：c 0=
132
ln 3-6，c 1=3-3ln 3。
所以，最佳平方逼近一次多项式为：p 1(x ) =(误差估计： 由误差估计式：δ
2
132
ln 3-6) +(3-3ln 3) x
。
=f -p 1(x )
22
=f
22
-(f , p 1) =
⎰1
3
1
f (x ) dx -
2
∑⎰1
c i
i =0
3
f (x ) ϕi (x ) dx
=
⎰1
3
1x
2
dx -c 0ln 3-2c 1=12ln 3-
132
(ln3)
2
-
163
=4. 847⨯10
-3
。
(3) f (x ) =e -x ，x ∈[0, 1] 解： 设p 1(x ) =c 0+c 1x 法方程组为：⎢
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0) ⎤⎡c 0⎤⎡(f , ϕ0) ⎤
⎥⎢⎥=⎢⎥ (ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) c (f , ϕ) 11⎦⎣1⎦1⎦⎣⎣01
基函数为：ϕ0=1，ϕ1=x ，f =e -x 得到：(ϕ0, ϕ0) =
(f , ϕ0) =
⎰0
1
1
dx =1，(ϕ0, ϕ1) =
-x
⎰0
1
xdx =
12
，(ϕ1, ϕ1) =
dx =1-
2e
⎰0
1
x dx =
2
13
，
⎰0
e dx =1-
1e
，(f , ϕ1) =
⎰0
1
xe
-x
。
11⎧
c +c =1-01⎪⎪2e
于是法方程组为：⎨
⎪1c +1c =1-2
01⎪3e ⎩2
解之得：c 0=
8e
-2，c 1=6-
18e
。
8e
18e ) x 。
所以，最佳平方逼近一次多项式为：p 1(x ) =(-2) +(6-误差估计： 由误差估计式：δ
2
=f -p 1(x )
22
=f
22
-(f , p 1) =
⎰0
1
1
f
2
(x ) dx -
∑⎰0f (x ) ϕi (x ) dx
c i
i =0
1
=
⎰0e
1
-2x
dx -c 0(1-
1e
) -c 1(1-
2e
) =4. 945⨯10
-4
。
(4) f (x ) =cos πx ，x ∈[0, 1]
解： 设p 1(x ) =c 0+c 1x 法方程组为：⎢
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0) ⎤⎡c 0⎤⎡(f , ϕ0) ⎤
⎥⎢⎥=⎢⎥ (ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) c (f , ϕ) 11⎦⎣1⎦1⎦⎣⎣01
基函数为：ϕ0=1，ϕ1=x ，f =cos πx 得到：(ϕ0, ϕ0) =
⎰0
1
dx =1，(ϕ0, ϕ1) =
⎰0
1
xdx =
12
，(ϕ1, ϕ1) =
⎰0
1
x dx =
2
13
，
(f , ϕ0) =
⎰0
1
cos πxdx =0，(f , ϕ1) =
⎰0
1
x cos πxdx =-
2
π
2
。
1⎧c +c 1=00⎪⎪2
于是法方程组为：⎨
112⎪c +c =-
012⎪3π⎩2
解之得：c 0=
12
π
2
，c 1=-
24
π
2
。
12
-24
x 。
所以，最佳平方逼近一次多项式为：p 1(x ) =误差估计： 由误差估计式：δ
2
π
2
π
2
=f -p 1(x )
22
=f
22
-(f , p 1) =
⎰0
1
1
f (x ) dx -
2
∑⎰0f (x ) ϕi (x ) dx
c i
i =0
1
=
⎰0(cosπx )
1
2
dx +
2
π
2
c 1=7. 2328⨯10
-3
。
3-2 求f (x ) =sin x ，x ∈[0, 0. 1]在Φ=Span {1, x , x 2}上的最佳平方逼近多项式，并给出平方误差。
解：设p 2(x ) =c 0+c 1x +c 2x 2
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0) (ϕ2, ϕ0) ⎤⎡c 0⎤⎡(f , ϕ0) ⎤
⎥⎢⎥⎢⎥
(ϕ0, ϕ1) (ϕ1, ϕ1) (ϕ2, ϕ1) c 1=(f , ϕ1) 法方程组为：⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣(ϕ0, ϕ2) (ϕ1, ϕ2) (ϕ2, ϕ2) ⎦⎣c 2⎦⎣(f , ϕ2) ⎥⎦
基函数为：ϕ0=1，ϕ1=x ，ϕ2=x 2，f =sin x 得到：(ϕ0, ϕ0) =⎰
(ϕ1, ϕ1) =(ϕ2, ϕ2) =(f , ϕ0) =
0. 1
dx
2
=0. 1，(ϕ0, ϕ1)
1315⨯10
-3
=
⎰
0. 1
xdx =
12
⨯10
3
-2
，(ϕ0, ϕ2) =
14⨯10
-4
⎰
0. 10
x dx =
2
13
⨯10
-3
⎰
0. 100. 10
x dx =
4
，(ϕ1, ϕ2) =
⎰
0. 10
x dx =
，
⎰
x dx =⨯10
-5
⎰
0. 1
sin xdx =1-cos 0. 1，(f , ϕ1) =
2
⎰
0. 1
x sin xdx =sin 0. 1-0. 1cos 0. 1，
(f , ϕ2) =
⎰
0. 1
x sin xdx =-0. 01cos 0. 1+0. 2sin 0. 1+2cos 0. 1-2
11⎧-2-3
0. 1c +⨯10c +⨯10c 2=1-cos 0. 101⎪23⎪
11⎪1
于是法方程组为：⎨⨯10-2c 0+⨯10-3c 1+⨯10-4c 2=sin 0. 1-0. 1cos 0. 1
34⎪2
11⎪1-3-4-5
⎪⨯10c 0+⨯10c 1+⨯10c 2=1. 99cos 0. 1+0. 2sin 0. 1-2
45⎩3
解之得：c 0=-0. 8324407⨯10-5，c 1=1. 0009991，c 2=-0. 0249851。
所以，最佳平方逼近一次多项式为：p 2(x ) =-0. 8324407⨯10-5+1. 0009991x -0. 0249851x 2。 误差估计： 由误差估计式：δ
=
2
=f -p 2(x )
22
=f
22
-(f , p 2) =
⎰0
0. 1
f
2
2
(x ) dx -∑c i ⎰
i =0
0. 1
f (x ) ϕi (x ) dx
⎰0
0. 1
(sinx ) dx -c 0(1-cos 0. 1) -c 1(sin0. 1-0. 1cos 0. 1) -c 2(1. 99cos 0. 1+0. 2sin 0. 1-2)
-12
2
=2.8814×10 3-3 求参数α, β，使⎰
π
20
(sinx -α-βx ) dx
2
达到极小。
解：本题也就是求f(x)=sinx的最佳平方逼近一次多项式p 1(x ) =α+βx 。 法方程组为：⎢
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0) ⎤⎡α⎤⎡(f , ϕ0) ⎤
⎥⎢⎥=⎢⎥
(ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) 11⎦⎣β⎦⎣(f , ϕ1) ⎦⎣01
基函数为：ϕ0=1，ϕ1=x ，f =sin x 得到：(ϕ0, ϕ0) =⎰
(f , ϕ0) =
π2
dx =
π
2
，(ϕ0, ϕ1) =
⎰0
π2
xdx =
π
2
8
，(ϕ1, ϕ1) =
⎰0
π2
x dx =
2
π
3
24
，
⎰0
πsin xdx =1，(f , ϕ1) =
⎰0
π2
x sin xdx =1。
2⎧ππ
β=1⎪α+
⎪28
于是法方程组为：⎨
23
π⎪π
α+β=1⎪824⎩
解之得：α
=
2
π
-6(4-π) ，β=
24(4-π)
π
。
3-4 已知一组数据如下：
xi yi
2 2
4 11
6 28
8 40
用最小二乘法求拟合这组数据的一条直线，并估计平方误差。 解：线性拟合：p 1(x ) =c 0+c 1x 根据基函数给出法方程组
A
T
⎡1111⎤
=⎢⎥⎣2468⎦
，Y T =[2112840]
,
⎡81⎤T
A Y =⎢
⎣536⎦
求得
20⎤⎡4T
A A =⎢⎥
⎣20120⎦
法方程组为：⎢
20⎤⎡c 0⎤⎡81⎤⎥⎢⎥=⎢⎥
20120⎣⎦⎣c 1⎦⎣536⎦⎡4
解得：c 0=-12.5，c 1=6.55 求得拟合线性多项式函数 p 1(x)=-12.5+6.55x
误差为：δ
2
=
∑[p 1(x ) -y i ]
i =0
6
2
先计算出拟合函数值：
xi P 1
得到：δ
2
1 1 1 26.80
1 39.90
0.600 13.70
=10.7
3-5 已知函数值表
xi y i
-2 0
-1 1
0 2
1 1
2 0
试用二次多项式拟合这组数据并给出平方误差。 解：二次拟合：p 2(x ) =c 0+c 1x +c 2x 2 根据基函数给出法方程组
1111⎤⎡1
⎢⎥=-2-1012⎢⎥⎢1014⎥⎣4⎦
A
T
，Y T =[01210]
求得
⎡5010⎤
⎢⎥T
A A =0100
⎢⎥⎢⎣10034⎥⎦
,
⎡4⎤
⎢⎥
A Y =0
⎢⎥⎢⎣2⎦
T
⎡5010⎤⎡c 0⎤⎡4⎤
⎥⎢⎥
0100⎢c 1⎥=0法方程组为：⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣c 2⎥⎦⎢⎣10034⎥⎦⎢⎣2⎥⎦
解得：c 0=58/35=1.6571，c 1=0，c 2=-3/7=-0.4286
求得拟合线性多项式函数 p 2(x)=1.6571-0.4286x2 误差为：δ
2
=
∑[p 2(x ) -y i ]
i =0
6
2
先计算出拟合函数值：
xi P 2
得到：δ
2
-2 -0.0573
-1 1.2285
0 1.6571
1 2
1.2285 -0.0573
=0.2286
3-6 给出下列数据
xi yi
-3 14.3
-2 8.3
-1 4.7
2 8.3
4 22.7
用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式。 解：根据基函数给出法方程组
A
T
⎡11111⎤=⎢⎥⎣941416⎦
⎡5T
A A =⎢
⎣34
⎡5⎣34
，Y T =[14. 38. 34. 78. 322. 7] ,
⎡58. 3⎤T
A Y =⎢
⎣563⎦
求得
34⎤
⎥370⎦34⎤
⎥370⎦
法方程组为：⎢
⎡a ⎤⎡58. 3⎤⎢⎥=⎢⎥⎣b ⎦⎣563⎦
解得：a=3.5，b=1.2。 3-7 确定经验公式y =
xi yi
cx 1+ax +bx
2
中的参数，使之与下列数据拟合： 0.2
0.3 0.484
2
0.1 0.172
1y =
0.4 0.690
a c +11c x
0.5 1.000
0.6 1.579
0.323
1+ax +bx
cx =1c
解： 将经验公式转化为：
1y
=
b c
x +
1x
令
z =
，a 0
=
b c
，a 1
=
a c
，a 2
，则上式转化为：z
=a 0x +a 1+a 2
。
上表的的数据变为：
xi zi
取ϕ0(x ) =1,
0.1 5.814
x
0.2 3.096
0.3 2.066
0.4 1.449
0.5 1.000
0.6 0.633
ϕ1(x ) =, ϕ2(x ) =x
⎡⎢6⎢T
，D D =⎢24. 5
⎢
5⎢149⎢36⎣
⎤
2. 1⎥
⎥6⎥⎥⎥0. 91
⎥⎦
这时
D
T
11111⎤⎡1
⎢⎥=1051032. 525⎢⎥⎢⎣0. 10. 20. 30. 40. 50. 6⎥⎦
24. 5
5149
366
，
z T =[5.814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633],
⎡14.058⎢T
D z =87.1842
⎢⎢⎣3.2798
⎤
⎥⎥⎥⎦
解得：a 0=-1.9674，a 1=0.9761，a 2=0.5034。 则 a=1.939，b= -3.908，c=1.987。
3-8 在某化学反应里，生成物的质量浓度y(10-3g/cm3) 与时间t(min)的关系式为y 现测得一组数据如下： xi
1
2
3
4 8.79
1y
=
t
α+βt
，
6 9.53
8 9.86
1t
10 10.33
12 10.42
14 10.53
16 10.61
yi 4.00 6.41 8.01
试确定出参数α、β。 解：将经验公式转化为：z
上表的的数据变为：
=
=
α+βt
t
=β+α
xi zi
1 0.25
2 0.156
3 0.125
t
4 0.114
6 0.105
8 0.101
10 0.0968
12 0.096
14 0.095
16 0.094
取ϕ0(x ) =1, 这时
D
T
ϕ1(x ) =
10. 25
10.16667
10. 125
⎤⎥， 0. 10. 083330. 071430. 062⎦51
1
1
1
1⎡11
=⎢
⎣10. 50. 333
⎡10T
D D =⎢
⎣2.69226
T
2.69226⎤
⎥
1.492967⎦
，
z =[0.25 0.156 0.125 0.114 0.105 0.101 0.0968 0.096 0.095 0.094],
D
T
⎡1.2328⎤z =⎢⎥
⎣0.45863⎦
解得：α= 0.1650，β= 0.0789。 3-9 用最小二乘法求下列方程组的解 (1)
⎧x 1+2x 2=5⎪
⎨2x 1+x 2=6 ⎪x +x =4
2⎩1
(2)
⎧2x +4y =11
⎪
⎪3x -5y =3⎨
⎪x +2y =6⎪4x +2y =14⎩
解：
⎧x 1+2x 2=5⎡12⎤⎡5⎤
x ⎡⎤⎪⎢⎥1⎢⎥
⎨2x 1+x 2=6⇒⎢21⎥⎢⎥=⎢6⎥
⎣x 2⎦⎢⎥⎪x +x =4⎢⎥1112⎣⎦⎣4⎦⎩
=Y
(1)
简化为：Ax
两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：A T Ax =A T Y 具体计算如下：
⎡12⎤⎡5⎤
x 121⎡⎤⎡121⎤⎢⎡⎤⎥1⎢⎥
⎢⎥⎢21⎥⎢⎥=⎢⎥⎢6⎥⎣211⎦⎢⎣x 2⎦⎣211⎦⎢⎥⎥11⎣⎦⎣4⎦
⎡65⎤⎡x 1⎤⎡21⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥56⎣⎦⎣x 2⎦⎣20⎦
解得最小二乘解：x 1=26/11，x 2=15/11
⎧2x +4y =11⎡24⎤⎡11⎤
⎪⎢⎥⎢⎥
3-5⎡x ⎤3⎪3x -5y =3⎥⎢⎥⇒⎢=(2)⎨⎥⎢12⎥⎢⎣y ⎦⎢6⎥⎪x +2y =6
⎢⎥⎢⎥
⎪4x +2y =14⎩⎣42⎦⎣14⎦
简化为：Ax
=Y
两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：A T Ax =A T Y
⎡24⎤⎡11⎤
⎢⎥⎢⎥
⎡2314⎤⎢3-5⎥⎡x ⎤⎡2314⎤⎢3⎥
具体计算如下：⎢⎥⎢⎢⎥=⎢⎥⎥4-52212⎣⎦⎣y ⎦⎣4-522⎦⎢6⎥
⎢⎥⎢⎥⎣42⎦⎣14⎦
⎡30
⎢⎣3
3⎤⎡x ⎤⎡93⎤⎥⎢⎥=⎢⎥49⎦⎣y ⎦⎣69⎦
解得最小二乘解：x=1450/487=2.9774，y=597/487=1.2259
第四章 数值积分与数值微分
4-1 用四节点复化梯形公式计算积分
(1)
⎰0
1
+x dx
2
， (2)
⎰1
2
sin(cosx ) dx
2
23
23
解：(1)
T 3=
12⨯3
2
[f (0) +f (1) +2⨯
∑
i =12
i 1f ()]=[1+36
2++]=1. 1543
(2)
T 3=
12⨯3
[f (1) +f (2) +2⨯
∑
i =1
f (1+
i 3
)]=-0. 3517
4-2用四节点复化Simpson 公式计算积分
π
(1)
⎰06
2-sin
2
x dx
， (2)
π
6
⎰1
2-
x
2
e
2
dx
π
2⨯18
2
解：(1)
S 3=
π
6⨯18
3
[f (0) +f () +4⨯
∑
i =1
f ((2i -1) ) +2⨯
∑
i =1
f (
i 18
)]=0. 7241
(2)
S 3=
16⨯3
3
[f (1) +f (2) +4⨯
∑
i =1
f (1+
2i -16
2
) +2⨯
∑
i =1
f (1+
i 3
)]=0. 3407
4-3 分别用复化梯形和复化Simpson 公式计算积分
I =
⎰0
1
e
-x
dx
并使绝对误差限解：复化梯形：
R [f ]=-
12
⨯10
-6
不超过，问需要将区间[0, 1]多少等分?
(b -a ) 12n
2
3
f ''(η) =-
112n
2
f ''(η) ≤
112n
2
≤
12
⨯10
-6
⇒n ≥408. 2
所以区间应该409等分。 复化Simpson 公式：
R [f ]=-
(b -a ) 2880n
54
f
(4)
(η) =-
12880n
4
f
(4)
(η) ≤
12880n
4
≤
12
⨯10
-6
⇒n ≥5. 1
所以区间应该6等分。 4-4 利用积分⎰
8
1x
2
dx =2ln 2
计算ln2时，若采用复化Simpson 公式，问应取多少个节点才能
⨯10
-5
使其误差的绝对值不超过
(b -a ) 2880n
54
12
。
6
5
4
解：
R [f ]=-f
(4)
(η) =⨯
24
2880n η
5
≤
3⨯242880n
4
5
≤
12
⨯10
-5
⇒n ≥25. 2
所以应26等分，节点数为：2×26+1＝53个。 4-5 直接验证Simpson 求积公式
b
⎰a
具有3次代数精确度。 证明：
b
f (x ) dx ≈
b -a 6
f (a ) +4f (
b +a 2
) +f (b )]
当f(x)=1时，⎰f (x ) dx =b -a
a
b -a 6
[f (a ) +4f (
a +b 2
2
) +f (b )]=b -a
，等式成立。
当 f(x)=x时，⎰
b
a
f (x ) dx =
b
2
-a 2
) +f (b )]=
b -a 6
[a +2(a +b ) +b ]=
b
2
b -a 6
[f (a ) +4f (
b
3
a +b 2
3
-a 2
2
，等式成立。
当 f(x)=x时，⎰a
2
b
f (x ) dx =
-a 3
) +f (b )]=
b -a 6
[a
2
b -a 6
[f (a ) +4f (
a +b 2
4
+(a +b )
2
+b ]=
2
b -a
3
33
，等式成立。
当 f(x)=x时，⎰a
3
b
f (x ) dx =
b
4
-a 4
) +f (b )]=
b -a 6
[a
3
b -a 6
[f (a ) +4f (
a +b 2
5
+
(a +b )
2
3
+b ]=
3
b
4
-a 4
4
，等式成立。
当 f(x)=x时，⎰a
b -a 6
[f (a ) +4f (
4
b
f (x ) dx =
b
5
-a 5
[a
4
a +b 2
) +f (b )]=
b -a 6
+
(a +b )
4
4
+b ]=
4
5b
5
-ab
4
+2a b -2a b
24
2332
+a b -5a
45
等式不成立，所以Simpson 求积公式具有3次代数精度。
4-6 设函数由下表给出，分别用复化梯形和复化Simpson 公式计算积分⎰
x i f(xi )
解：
复化梯形公式：
T 6=
0. 22
5
1. 8
0. 6
f (x ) dx
0.6 5.7
0.8 4.6
1.0 3.5
1.2 3.7
1.4 4.9
1.6 5.2
1.8 5.5
[f (0. 6) +f (1. 8) +2⨯∑f (0. 6+0. 2i )]=0. 1[5. 7+5. 5+2(4. 6+3. 5+3. 7+4. 9+5. 2)]=5. 5
i =1
复化Simpson 公式：
S 3=
0. 46
[f (0. 6) +f (1. 8) +4f (0. 8) +4f (1. 2) +4f (1. 6) +2f (1. 0) +f (1. 4)]=5. 4667
4-7 用两点Guass 型求积公式计算积分 (1) (2)
⎰-1⎰0
∞
1
1-
-x
12
2
cos
2
x dx
e x dx
(3)
⎰-∞
1
∞
e
-x
2
+x dx
2
解： (1)⎰
-1
1-
12
cos
2
x dx =f ([1**********]) +f (-[1**********]) =1. 6112
(2)⎰e -x x 2dx =0. 8535533905f (0. 5857864376) +0. 1464466094f (3. 4142135624) =2. 0000
∞
(3)
⎰-∞
∞
e
-x
2
1+x dx =0. [1**********][f (0. 7071067811) +f (-0. 7071067811)]=2. 1767
2
4-8 用两点Guass-chebgshev 公式计算积分
⎰-1
解：⎰
1
1
1-x
2
dx
2
-x
1-x
2
-1
dx =
2
π
2
f (cos
π
4
) +f (cos
3π4
)]=
π
2
1-x
4-9 如何用两点Guass 型求积公式计算下列积分： (1)
⎰0x
1
x
2
+1dx
，(2)
⎰0
∞
sin x x
dx
，(3)
⎰-∞1+x 2
e
2x
1
dx
，(4)
⎰03
6x x (1-3x )
。
解： (1)
1
⎰0
x +x dx =
2
12
⎰-1
1
(
12
+
12
t ) 1+(
12
+
12
t ) dt =
2
12
[f ([1**********]) +f (-[1**********])]=0. 6102
(2)
⎰0
∞
sin x x
dx =
⎰0
∞
e
-x
sin x ⋅e
x
x
dx =0. 8535533905f (0. 5857864376) +0. 1464466094f (3. 4142135624) =1. 0961
(3)
⎰-∞1+x 2
(4)
1
e
2x
dx =
1
⎰20
∞
e
-t 2
dt =4
12
0. 8535533905f (0. 5857864376) +0. 1464466094f (3. 4142135624)]=0. 4118
1+t
⎰3
6x x (1-3x )
dx =
16
⎰-1
1
(1+t ) (
16
+
16
t )(
12
-
12
t ) dt =
16
[f ([1**********]) +f (-[1**********])]=1. 4142
4-10 确定x 1，x 2，A 1，A 2使下式成为Guass 型求积公式
⎰0f (x ) dx
解： 因为 ⎰-1则⎰0
1
1
1
≈A 1f (x 1) +A 2f (x 2)
f (x ) dx =f (
1
1
331
) +f (-12t ) d t =
3312
) ， f (12+112
3) +
12f (12-112
3)
f (x ) dx =
⎰f (2+
2-1
上面的求积公式显然是两点Guass 型求积公式，其中A 1
x 2=
12(1-
13)
=A 2=
12
，x 1
=
12
(1+
13
) ，
。
4-11 已知y=f(x)的如下数据
x i 0.6
0.8
0.9
1 1.1
1.2
1.4
解：
f '(1) =
1. 1105-0. 9095
2⨯0. 1
=1. 005
f ''(1) =
0. 9095-2⨯1+1. 1105
=2 2
0. 1