第十一章 反 常 积 分
§ 1 反常积分概念 （2学时）
一 两类反常积分的定义
定义1. 设函数
定义在无穷区间
上，且在任何有限
区间
上可积，如果存在极限
（1）
则称此极限J为函数
在
上的无穷限反常积分（简称
无穷积分），记作
,并称
收敛.
如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称
发散.
定义2. 设函数
间
定义在
上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区
上有界且可积，如果存在极
则称此极限为无界函数
在
上的反常积分，记作
并称反常积分
收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分
发散.
例1 ⑴ 讨论积分
, , 的敛散性 .
⑵ 计算积分
例 2 讨论以下积分的敛散性 :
.
⑴
; ⑵
.
例3 讨论积分
的敛散性 .
例4 判断积分
的敛散性 .
例5 讨论瑕积分
的敛散性 ,并讨论积分
的敛散性 .
二 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数
连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;设
, 有
，把无穷积分化成了瑕积分.
可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .
§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）
一 无穷积分的性质
⑴
在区间
上可积 , — Const , 则函数
在区间
上可积 , 且
.
⑵
和
在区间
上可积 ,
在区间
上可积 , 且
.
⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则:
Th 积分
收敛 .
⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
绝对收敛 收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .
二 比较判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有
. 非负函数无穷
积分敛散性记法.
⑴ 比较判敛法: 设在区间
，又对任何
> ,
和
上函数
在区间
和
上可
非负且
积 . 则
,
.
例6 判断积分
的敛散性.
推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间
上函数
,
. 则
ⅰ>
与
共敛散 :
ⅱ>
,
ⅲ> ,
时, . ( 证 )
推论2 （Cauchy判敛法）: ( 以
为比较对象, 即取
,
.以下 > 0 )设对任何
>
,
,
且
；若
且
,
.
Cauchy判敛法的极限形式 : 设
且
. 则
是在任何有限区间
可积的正值函数.
ⅰ
>
ⅱ>
. ( 证 )
例7 讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ>
ⅱ>
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:
1.Abel判敛法: 若
收敛.
在区间
上可积 , 单调有界 , 则积分
2.Dirichlet判敛法: 设
上单调，且当
时，
在区间
.则积分
上有界 ，
在
收敛.
例8 讨论无穷积分
与
的敛散性.
例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :
, , .
例10 ( 乘积不可积的例 ) 设
,
由例6的结果, 积分
。
却发散.
收敛 . 但积分
§3 瑕积分的性质与收敛判别（2学时）
类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限
的原意写出相应的命题.
Th ( 比较原则 ) P277 Th11.6.
系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.
系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3.
例11 判别下列瑕积分的敛散性 :
⑴
( 注意被积函数非正 ). ⑵
.
例12 讨论非正常积分
的敛散性.
注记. C—R积分与R积分的差异:
1. 积 ,
R
,
在
上
上有界 .
; 但在区间
上可
在区间
例如函数
2.
|在区间
R
,
|
| R
,但反之不正确. R积分是绝对型积分. |
在区间
上可积 , 但反之不正
上可积 ,
确. C—R积分是非绝对型积分.
3.
,
上可积 ,
R
,
在区间
R
; 但上可积. 可见,
和在区间
在区间
上可积
, 在区间上可积.