高等数学中空间曲线的切线问题分析
作者：縢吉红 黄晓英 张习勇
来源：《科技创新导报》2011年第03期
摘 要:在高等数学中求空间曲线在某点处的切线时, 关键是求曲线在该点处的切向量。如果空间曲线是用一般方程给出, 通常利用方程组所确定的隐函数的求导法则, 借助Crammer 法则求出切向量, 但这种方法在求解某些实际问题时可能失效。本文针对一个具体问题说明遇到上述情况时应该如何处理, 提出了解决问题的思想方法——将空间曲线的切向量、空间曲面切平面、法向量联系起来, 并将这种方法一般化, 给出了空间曲线用一般方程给出时求切线的新的思路和方法。相比较而言, 文中所给出的方法计算简便, 更容易为学生所理解和接受。 关键词:切向量隐函数法向量行列式Crammer 法则
中图分类号:O182.1 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)01(c)-0145-01
在高等数学中求空间曲线在某点处的切线时, 关键是求曲线在该点处的切向量。如果空间曲线是用一般方程给出, 通常利用方程组所确定的隐函数的求导法则, 借助Crammer 法则求出切向量, 但这种方法在求解某些实际问题时可能失效。本文针对一个具体问题说明遇到上述情况时应该如何处理, 提出了解决问题的思想方法—— 将空间曲线的切向量、空间曲面切平面、法向量联系起来, 并将这种方法一般化, 给出了空间曲线用一般方程给出时求切线的新的思路和方法。
1 基本方法
求空间曲线在某点处的切线是多元函数微分学在几何方面的一个重要应用[1],而解决这个问题的关键是求曲线在该点处的切向量, 即可给出切线的点向式方程。如果空间曲线是由两个光滑曲面所确定的, 即, 且具有对各个变量的连续偏导数, 又有, 则方程组在的某个邻域内确定了一组函数。此时, 在方程组两边分别对x 求全导数, 再利用Crammer 法则[2]可求出。则曲线在点处的切向量为, 由此写出切线方程。(见同济大学数学系主编《高等数学》第六版下册p95) 2 问题及解决方法
上述方法涉及到方程所确定的隐函数问题, 这正是学生难于理解、做题中容易出错的知识点。同时, 该方法限制, 当此条件不满足时, 利用此法求空间曲线的切线不可行, 如:
问题 设曲线的方程为, 求该曲线在点(2,1,1)处的切线方程。
分析:假设,, 则:
==0。
这说明上述方程不满足隐函数存在定理, 因此在求曲线在点(2,1,1)处的切向量时就不能利用前面所提到的方法。既然这样, 这个问题该如何求解呢？我们将空间曲线的切向量、确定这条曲线的两个空间曲面的切平面以及切平面的法向量联系起来, 给出解决问题的思想方法。
1．思路:方程, 分别表示空间中的曲面, 我们记为, 则曲线既在上, 又在上; 而曲线在点(2,1,1)处的切线既在曲面于点(2,1,1)处的切平面上, 又在曲面上点(2,1,1)处的切平面上。因此, 两个切平面的交线即为曲线在点(2,1,1)处的切线。
由上面的思路, 我们可以很容易的给出上面例题的求解方法。
2．解法:曲面和在(2,1,1)的法向量分别为,, 因此曲面和在(2,1,1)的切平面分别为和, 联立上述两个方程并化简可得曲线在点(2,1,1)处的切线方程为。
3 求空间曲线的切线一般方法
事实上, 求解问题的思想方法可以作为一般方法加以推广。设空间曲线是用一般方程给出, 即, 且具有对各个变量的连续偏导数, 则求空间曲线在点处的一个切向量时, 不管上面的方程组是否满足隐函数存在定理, 通过上面例题的求解思想, 我们都可以按照下面的步骤来进行计算:
1．求曲面在处的法向量:
=;
=;
2．写出曲面和在点的切平面的点法式方程, 分别为:
;
。
3．曲线在处的切线可用一般方程表示为:
。
4 结语
本文给出了高等数学中空间曲线用一般方程表示时求该曲线在某点处切线的一种新的思路和方法, 这种思想方法将空间曲线在某点处的切线、确定这条曲线的任意两个光滑曲面在该点处的切平面联系起来, 一方面可以让学生更好的理解曲线和曲面、直线和平面的关系, 另一方面, 这种方法可以避开方程组所确定的隐函数的求导问题, 计算简便, 更容易为学生理解和接受, 可作为计算空间曲线上某点处切线已有求法的一种很好的补充。